17.1勾股定理 直角三角形是一类特殊三角形,它的三边具 有一种特定的关系,该关系称为勾股定理, 早在公元3世纪,我国数学家赵爽就用弦图证 明了这定理。2002年,世界数学家大会在北 京召开,大会会徽上的图形就是我国古代数 学家赵爽为证明勾股定理所做的“弦图” 用它作为会徽是国际数学界对我国古代数学 CM2002伟大成就的肯定 Bei jine ■本章就来学习勾股定理、它的逆定理以及它 Aurust 20-28 们的应用 2002年世界数学家大会会徽
17.1勾股定理 ◼直角三角形是一类特殊三角形，它的三边具 有一种特定的关系，该关系称为勾股定理， 早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用弦图证 明了这定理。2002年，世界数学家大会在北 京召开，大会会徽上的图形就是我国古代数 学家赵爽为证明勾股定理所做的“弦图”。 用它作为会徽是国际数学界对我国古代数学 伟大成就的肯定。 ◼本章就来学习勾股定理、它的逆定理以及它 们的应用。 2002年世界数学家大会会徽
探究 ■1.如图是一个行距、列距都是1的方格 网,在其中作出一个以格点为顶点的 直角三角形ABC,然后,分别以三角 A/Ⅲ 形的各边为正方形的一边,向形外作 正方形I、Ⅱ、Ⅲ。 B 思考:三个正方形面积S1、Sn、Sm之 间有怎样的关系?用它们的边长表示, 能得到怎样的式子? SI+SIESI
探究 1.如图是一个行距、列距都是1的方格 网，在其中作出一个以格点为顶点的 直角三角形ABC，然后，分别以三角 形的各边为正方形的一边，向形外作 正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。 思考：三个正方形面积SⅠ、SⅡ、SⅢ之 间有怎样的关系？用它们的边长表示， 能得到怎样的式子？ Ⅰ Ⅱ Ⅲ A C B SⅠ+SⅡ=SⅢ
探究 在行距、列距都是1的方格网中,再任意作出几个 点直角三角形,分别以三角形的各边为正方形 边,向形外作正方形工、、Ⅲ,如图。并 以S1、Sn、Sm分别表示它们的面积。 Ⅲ Ⅲ 工
◼ 在行距、列距都是1的方格网中，再任意作出几个 格点直角三角形，分别以三角形的各边为正方形 的一边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，如图。并 以SⅠ、SⅡ、SⅢ分别表示它们的面积。 探究 A C B b c a Ⅱ Ⅰ Ⅲ A C B c b a Ⅰ Ⅱ Ⅲ
探究 Ⅲ Ⅱb Cl a B 观察左图,并填写:SI=9个单位面积,Sr=9个 单位面积,Sm=18个单位面积 ■观察右图,并填写:SI=9个单位面积,Sm=16个 单位面积,Sm=25个单位面积
◼ 观察左图，并填写：SⅠ= 个单位面积，SⅡ= 个 单位面积，SⅢ= 个单位面积。 ◼ 观察右图，并填写：SⅠ= 个单位面积，SⅡ= 个 单位面积，SⅢ= 个单位面积。 A C B b c a Ⅱ Ⅰ Ⅲ A C B c b a Ⅰ Ⅱ Ⅲ 探究 9 9 18 9 16 25
探究怎样的关系?用它们的边长表示 Ⅲ Ⅱb Cl a B 每一个图中的三个正方形面积之间的关系是 S1+S=SⅢ; 用它们的边长表示,就是a2+b2=c2
◼ 每一个图中的三个正方形面积之间的关系是 SⅠ+SⅡ=SⅢ； ◼ 用它们的边长表示，就是a 2+b 2=c 2 。 A C B b c a Ⅱ Ⅰ Ⅲ A C B c b a Ⅰ Ⅱ Ⅲ 探究 下面每一个图中的三个正方形面积之间有 怎样的关系？用它们的边长表示
交流通过上面的探究,你能发现直角三角形三边 的长之间有怎样的关系吗? 定理直角三角形两直角边的平方和,等于斜边的平方。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直 角边称为股,斜边称为弦。因此,我们称上述定理为勾股 定理,国外称为毕达哥拉斯定理。 如果直角三角形的两直角边用a、b表示,斜边用c表示,那 么勾股定理可表示为a2+b2=c2
交流 通过上面的探究，你能发现直角三角形三边 的长之间有怎样的关系吗？ ◼ 定理 直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。 ◼ 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直 角边称为股，斜边称为弦。因此，我们称上述定理为勾股 定理，国外称为毕达哥拉斯定理。 ◼ 如果直角三角形的两直角边用a、b表示，斜边用c表示，那 么勾股定理可表示为a 2+b 2=c 2
操作请大家将手中的四个全等的直角边长分别为a、 b,斜边为c的直角三角形,拼成如图所示的正方形, 并找出图中的面积关系。 已知:如图,在Rt△ABC中, H G ∠C=90°,AB=C,BC=a,AC=b 求证:a2+b2=c2 A 证明取4个与R△ABC全等的直 角三角形,把它们拼成如图所示 C a be a Bi b 的边长为a+b的正方形EFGH 可以证明四边形A1BCD1是边长 图中的面积关系是: 为c的正方形(为什么?) S正方形EFGH-4S△ABC=S正方形AB1C1D1 由此,你能得出勾股定理且S正方形4S△ABC=S正方形ABCD 的证明方法吗? 即(a+b)2-4×ab=c2 化简,得a2+b2=c2
操作 请大家将手中的四个全等的直角边长分别为a、 b，斜边为c的直角三角形，拼成如图所示的正方形， 并找出图中的面积关系。 A C a B c b c c c c a B1 b a b C1 F b D1 a G a b A1 E H 图中的面积关系是： S正方形EFGH-4S△ABC=S正方形A1B1C1D1 由此，你能得出勾股定理 的证明方法吗？ 已知：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90° ，AB=c，BC=a，AC=b. 求证：a 2+b 2=c 2 . 证明 取4个与Rt△ABC全等的直 角三角形，把它们拼成如图所示 的边长为a+b的正方形EFGH。 可以证明四边形A1B1C1D1是边长 为c的正方形（为什么？）。 且 S正方形EFGH-4S△ABC=S正方形A1B1C1D1 2 1 即 (a+b) 2 -4× ab=c 2 . 化简，得a 2+b 2=c 2
注意:上面我们用面积计算证明了勾股定理,但 这不是惟一的证明方法,请大家阅读课本第15页 的《数学史话—勾股定理》 ●勾股定理的最大作用就是用在计算上,请同学们用 勾股定理来解答下列各题: 1在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=C,BC=a,AC=b (1)a=6,b-8,求c;(2)a=8,c=17,求b 2在R△ABC中,∠B=90°,a=3,b=4,求C 3在直角三角形中,已知两边的长为3和4,求第三 边的长 ●运用勾股定理时应注意: (1)在直角三角形中,认准直角边和斜边 (2)两直角边的平方和等于斜边的平方
注意：上面我们用面积计算证明了勾股定理，但 这不是惟一的证明方法，请大家阅读课本第15页 的《数学史话——勾股定理》。 1.在Rt△ABC中，∠C=90° ，AB=c，BC=a，AC=b. (1)a=6，b=8，求c；(2)a=8，c=17，求b. 2.在Rt△ABC中，∠B=90° ，a =3，b =4，求c. 3.在直角三角形中，已知两边的长为3和4，求第三 边的长. ⚫勾股定理的最大作用就是用在计算上，请同学们用 勾股定理来解答下列各题： ⚫运用勾股定理时应注意： ⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边； ⑵两直角边的平方和等于斜边的平方
课堂小结与同伴交流下面问题。 本节课中我们是如何得到勾股定理的? 又是如何证明勾股定理的? 你还了解哪些关于勾股定理的历史和它的证明方法? 下节课我们将进一步学习勾股定理的应用,敬请期 待 作业:课本习题17.1中第1、2、3题
课堂小结 与同伴交流下面问题。 ◼ 本节课中我们是如何得到勾股定理的？ ◼ 又是如何证明勾股定理的？ ◼ 你还了解哪些关于勾股定理的历史和它的证明方法？ ◼ 作业：课本习题17.1中第1、2、3题. ◼ 下节课我们将进一步学习勾股定理的应用，敬请期 待