17.2勾股定理的逆定理
17.2 勾股定理的逆定理
据说,几千年前的古埃及人 连续打上等距离 13经热,角 将第1个与第13个结钉在一起,拉紧绳子,再在 第4个和第8个结处各钅 钉子,如图。这样 围成的三角形中,最长边所对的角就是直角。知 道为什么 这节课我们一起来探讨这个问题,相信同学们会感兴趣的
• 据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根 绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子 将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在 第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图。这样 围成的三角形中，最长边所对的角就是直角。知 道为什么吗？ • 这节课我们一起来探讨这个问题，相信同学们会感兴趣的
做一做 用圆规、直尺作△ABC,使AB=5cm,AC=4cm, BC=3cm,如图,量一量∠C,它是90°吗? A ∠C是直 角吗? B 再画一个△ABC,使它的三边长分别是5cm、12cm、13cm, 这个三角形有什么特征? 为什么用上面的三条线段围成的三角形,就一定是直角三角 形呢?它们的三边有怎样的关系?
做一做 • 用圆规、直尺作△ABC，使AB=5cm，AC=4cm， BC=3cm，如图，量一量∠C，它是90°吗？ A B C 5 4 3 ∠C是直 角吗？ • 再画一个△ABC，使它的三边长分别是5cm、12cm、13cm， 这个三角形有什么特征？ • 为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角 形呢？它们的三边有怎样的关系？
猜想如果一个三角形的三边长a、b、c满足下面的 关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形吗? 已知:在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b, 并且a2+b2=c2,如图(1) 求证:∠C=90° 证明作△AB'C",使∠C=90 AC=b,B'C=a,如图(2) 那么AB2=a2+b2.(勾股定理) 又:a2+b2=c2,(已知) b .A B2=C2, AB-C(AB>0) 在ABC和ABC中, BaCB′aC BC=a=BC 2) CA=b=CA AB=C-AB ∠C=∠C=90°, △ABC≌△AB℃(SS9 △ABC是直角三角形
猜想 如果一个三角形的三边长a、b、c满足下面的 关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形吗？ 证明 作△A’B’C’，使∠C’=90° ， A’C’ =b，B’C’ =a，如图（2）， 那么A’B’ 2=a 2+b 2.（勾股定理） 又∵a 2+b 2=c 2，（已知） ∴A’B’ 2=c 2 ，A’B’ =c (A’B’＞0) 在ABC和A’B’C’中， ∵BC=a=B’C’ ， CA=b=C’A’ ， AB=c=A’B’ ， ∴△ABC≌△A’B’C’(SSS) A B C c b a （1） A′ B′ C′ b a （2） ∴∠C=∠C’=90° ， ∴△ABC是直角三角形. 已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， 并且a 2+b 2=c 2 ，如图（1）. 求证：∠C=90°
归纳总结通过上面的证明可以得到如下定理 。勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边 的平方,那么这个三角形是直角三角形 下面来看定理的应用 例1根据下列三角形的三边a、b、c的值,判断三角形是 不是直角三角形。如果是,指出哪条边所对的角是直角? (1)a=7,b=24,c=25; (2)a=7,b=8,c=11 解(1)∵最大边是c=25,c2=625, a2+b2=72+242=625,∴.a2+b2=c2 ∴△ABC是直角三角形,最大边c所对的角是直角 第(2)题由同学们仿照上面自己解答
归纳总结 通过上面的证明可以得到如下定理. • 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边 的平方，那么这个三角形是直角三角形. • 下面来看定理的应用. • 例1 根据下列三角形的三边a、b、c的值，判断三角形是 不是直角三角形。如果是，指出哪条边所对的角是直角？ • （1）a=7，b=24，c=25； • （2）a=7，b=8，c=11. 解（1）∵最大边是c=25，c 2=625， a 2+b 2=72+242=625，∴a 2+b 2=c 2 ， ∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角. 第（2）题由同学们仿照上面自己解答
例2已知:在△ABC中,三条边长分别为a=n2-1, b=2n,c=n2+1(n>1).求证:△ABC为直角三角形 分析:在a、b、c三边中,哪一条边是最大的边?需 要得出什么,才能证明△ABC为直角三角形? 请同学们自己完成证明过程 ◆能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数, 称为勾股数 ◆思考:除3、4、5外,再写出3组勾股数想想看, 可以怎样找?
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n 2 -1， b=2n，c=n 2+1（n＞1）.求证：△ABC为直角三角形. 分析：在a、b、c三边中，哪一条边是最大的边？需 要得出什么，才能证明△ABC为直角三角形？ 请同学们自己完成证明过程. ◆能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数， 称为勾股数. ◆思考：除3、4、5外，再写出3组勾股数.想想看， 可以怎样找？
练习 1.判断下列三个边长组成的三角形是不是直角三角形? (1)a=2,b=3,c=4 (2)a=9,b=7,c=12 (3)a=25,b=20,c=15 2.在△ABC中,三边长a、b、c满足(a+c)(a-c)=b2,则 △ABC是什么三角形? 3.给你一根带有刻度的皮尺,你如何用它来判断课桌面的 角是直角?用这种办法能判断柱子是否与地面垂直吗?
练习 1.判断下列三个边长组成的三角形是不是直角三角形？ （1）a=2，b=3，c=4. （2）a=9，b=7，c=12. （3）a=25，b=20，c=15. 2.在△ABC中，三边长a、b、c满足(a+c)(a-c)=b 2，则 △ABC是什么三角形？ 3.给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来判断课桌面的 角是直角？用这种办法能判断柱子是否与地面垂直吗？
小结通过本节课的学习,你有哪些收获? 1.勾股定理的逆定理 2.勾股定理与它的逆定理之间有何关系? 3.勾股定理的逆定理是如何证明的? 4.应用该定理的基本步骤有哪些? 作业课本第13页习题182中1、2、3、4
小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1.勾股定理的逆定理. 2.勾股定理与它的逆定理之间有何关系？ 3.勾股定理的逆定理是如何证明的？ 4.应用该定理的基本步骤有哪些？ 作业 课本第13页习题18.2中1、2、3、4