8图形的位似
8 图形的位似
少知顺与反术晏我是“联想”总 裁 ◆你还记得图形不同的变换及其性质吗: ◆对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对 称图形)对称轴对称中心 ◆平移:平移的方向,平移的距离 ◆旋转旋转中心,旋转方向,旋转角度 ◆全等 ◆相似:相似比 ◆图形这些不同的变换是我们学习几何必不可 的重要工具,它不但装点了我们的生活,而且是学 习后续知识的基础 ◆下面请欣赏如下图形的变换
我是“联想”总 裁 你还记得图形不同的变换及其性质吗： 平移:平移的方向,平移的距离. 旋转:旋转中心,旋转方向,旋转角度. 全等. 相似:相似比. 对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对 称图形);对称轴,对称中心. 图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少 的重要工具,它不但装点了我们的生活,而且是学 习后续知识的基础. 回顾与反思☞ 下面请欣赏如下图形的变换
探索与唇相似图形的特例 ◆你发现了什么(参照P135图4-27)? ◆下面的一组图片是形状相同的图形在图片①上取一点A 它与另一图片(如图片②)上的相应点B之间的连线是否经 过镜头P的中心?在图片上换其它的点试一试,还有类似的 结论吗?E ③ D B A 如果两个图形不仅相似而且每组对应顶点所在的直线都经 过同一个点那么这样的两个图形叫做位似图形 homothetic figures,这个点叫做位似中心 homothetic center,这时的相 似比又称为位似比( homothetic ratio)
相似图形的特例 你发现了什么(参照P135图4-27)? 下面的一组图片是形状相同的图形,在图片①上取一点A, 它与另一图片(如图片②)上的相应点B之间的连线是否经 过镜头P的中心?在图片上换其它的点试一试,还有类似的 结论吗? 探索与思考☞ 如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经 过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形(homothetic figures),这个点叫做位似中心(homothetic center),这时的相 似比又称为位似比(homothetic ratio). ① P A ② ③ ④ ⑤ B C D E F
灵网小智慧 培养逆向思维 在下图中,(1),3)中的两个图形是位似图形、2)中的两个图 形不是位似图形 ◆分别指出图(1)(3)各自的位似中心; ◆在图(1)中任取一对对应点度量这两个点到位似中心 的距离,它们的比与位似比有什么关系? ◆在图(3)中再试一试还有类似的规律吗? (1) (2) (3) 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等 于位似比
培养逆向思维 在下图中,(1),(3)中的两个图形是位似图形,(2)中的两个图 形不是位似图形. 分别指出图(1),(3)各自的位似中心; 在图(1)中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心 的距离,它们的比与位似比有什么关系? 在图(3)中再试一试,还有类似的规律吗? 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等 于位似比 O P (1) (3) (2) 灵感 智慧
1开厂“联想”的功能 你还记得本章第三节用橡皮筋放大图形 的方法吗? ◆实际上使用这种方法,放大前后的两个图形是位 似图形 ◆你能用这种方法将一个已知的多边形放大使放大 后的图形与原来图形的位似比分别是3和4吗? ◆是金子总会发光,第一个“夺冠”的会是你吗?
“联想”的功能 你还记得本章第三节用橡皮筋放大图形 的方法吗? 实际上,使用这种方法,放大前后的两个图形是位 似图形. 你能用这种方法将一个已知的多边形放大,使放大 后的图形与原来图形的位似比分别是3和4吗? 是金子总会发光, 第一个“夺冠”的会是你吗? 开启 智慧
知识源于悟曾益智的“机会” 按如下方法可以将△ABC的三边缩小为原来的1/2 如图,任取一点O连接AO,BOCO并取它们的中点DE,F △DEF的三边就是△ABC相应三边的1/2 实际上△ABC与△DEF是位似图形 实践出真知,一起来动手 O D A 任意画一个三角形,用上面的方法亲自试一试 司
益智的“机会” • 按如下方法可以将△ABC的三边缩小为原来的1/2: 知识源于悟 O A B C 如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F; △DEF的三边就是△ABC相应三边的1/2. 实际上△ABC与△DEF是位似图形. 实践出真知,一起来动手: 任意画一个三角形,用上面的方法 亲自试一试 . D E F ● ● ●
能力的源泉实践的“享受” (1)如果在射线OA,OB,OC上分别取DE,F,使 DO=2OAEO=2OBFO=2OC,那么,结果又会怎样? 结果会得到一个放大了的△DEF且△DEF的三边是 △ABC三边的2倍即它们的位似比是2:1 F O A E (2)如果在射线AOBO,CO上分别取点DEF呢? 结果会得到一个与△ABC全等的△DEF且△DEF的三边 与△ABC三边相等即它们的位似比是1:1 司
实践的“享受” (1)如果在射线OA,OB,OC上分别取D,E,F,使 DO=2OA,EO=2OB,FO=2OC,那么,结果又会怎样? 能力的源泉 (2)如果在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F 呢? 结果会得到一个与△ABC全等的△DEF,且△DEF的三边 与△ABC三边相等.即它们的位似比是1∶1. D E F A O B C D E F A O B C 结果会得到一个放大了的△DEF,且△DEF的三边是 △ABC三边的2倍.即它们的位似比是2∶1
例题欣赏 思考分 ·如图所示,作出一个新图形,使新图 形与原图形对应线段的比是2:1 析 在原图上取几个关键点ABC,D,EFG图外任取一点P ◆作射线 APBPCPDPEP FPGP 在这些射线上依次取点A,B'C,DE'FG使 PA=2PAPB=2PBPC′=2PCPD′=2PDPC=2PCPE =2PE PF=2PFPG=2PG E A B G C F === B DE A ◆顺次连接点A,B,C,D,E,F',G,所得到的图形(向下的箭 头)就是符合要求的图形 ◆实际上新图形与原图形是位似图形,位似比是2:1.驶到
例题欣赏 • 如图所示,作出一个新图形，使新图 形与原图形对应线段的比是2∶1. 思 考 分 析 A B G C D E F ●P 在原图上取几个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外任取一点P; 作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP; 在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′ ,使 PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PC′=2PC,PE′ =2PE,PF′=2PF,PG′=2PG; B′ A′ C′ E D′ ′ F′ G′ 顺次连接点A′, B′, C′, D′, E′, F′,G′,所得到的图形(向下的箭 头)就是符合要求的图形; 实际上,新图形与原图形是位似图形,位似比是2∶1
⑨一想散一敲 亲历知识的发生和发展 如果在上面的例题,你还有其它方法吗? 如果依次在射线上PA,PB,PC,PDPE,PF,PG上 取点A,B,C,D’,E,F’,G呢? A A A B B4. DE E 结果是一个向上的箭头 新图形与原图形是位似图形,位似比是2:1 望
想一想,做一做☞ 亲历知识的发生和发展 • 如果在上面的例题,你还有其它方法吗? • 如果依次在射线上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG上 取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′呢? • 结果是一个向上的箭头. • 新图形与原图形是位似图形,位似比是2∶1 A′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C D E F ●P
翘一?10 梦翘成真 下面的说法对吗?为什么? 分别在△ABC的边AB,AC上取点D,E,使DE∥BC,那么 △ADE是△ABC缩小后的图形;(正确) 分别在△ABC的边AB,AC的延长线上取点D,E,使DE∥BC, 那么△AD是△ABC放大后的图形;(正确) 分别在△ABC的边AB,AC的反向延长线上取点D,E,使 DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形;(错误) E D D E BC A C e b C
梦想成真 • 下面的说法对吗?为什么? • 分别在△ABC的边AB,AC上取点D,E,使DE∥BC,那么 △ADE是△ABC缩小后的图形; • 分别在△ABC的边AB,AC的延长线上取点D,E,使DE∥BC, 那么△ADE是△ABC放大后的图形; • 分别在△ABC的边AB,AC的反向延长线上取点D,E,使 DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形; 想一想P140 A B C D E A D E B C E D B C A (正确) (正确) (错误)