相似三角形的性质
相似三角形的性质
今1顺与反网妥我是“联想”总 裁 ◆你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关系 及其理由吗? ◆相似三角形对应高的比等于相似比理由是 A ◆如图∵△ABC∽△DEF∴∠B=∠E ◆又∵∠AMB=∠DNE=90 B C ◆∴△AMB∽△DNE M (两角对应相等的两个三角形相似) AM AB DN DDE (相似三角形对应边成比例).E ◆即,相似三角形对应高的比等于相似比
我是“联想”总 裁 你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关系 及其理由吗? 如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E. 又∵∠AMB =∠DNE =900 . ∴△AMB∽△DNE. (两角对应相等的两个三角形相似). 相似三角形对应高的比等于相似比.理由是: (相似三角形对应边成比例). A B C MD E F N . DE AB DN AM = 回顾与反思☞ 即,相似三角形对应高的比等于相似比
回顾与反 我是“联規”总 你还记得相似三角形对应角平分 比与相似比 的关系及其理由吗? A ◆相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ◆理由是: 如图∵△ABC∽△DEF∴∠B=∠E ∠BAC=∠EDF又:AMDN分别是BM_C ∠BAC和∠EDF的角平分线 ∠BAM=∠EDN △AMB∽△DNE (两角对应相等的两个三角形相似) AMAB(相似三角形 E F DNDE对应边成比例 N 即相似三角形对应角平分线的比等于相似比
我是“联想”总 你还记得相似三角形对应角平分线的比与相似比 裁 的关系及其理由吗? 如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分别是 ∠BAC和∠EDF的角平分线. ∴∠BAM=∠EDN. ∴△AMB∽△DNE. (两角对应相等的两个三角形相似). 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 理由是: (相似三角形 对应边成比例). A B C M D E F N . DE AB DN AM = 回顾与反思☞ 即,相似三角形对应角平分线的比等于相似比
国顾与反局 我是“联規”总 裁 ◆你还记得相似三角形对应中线的比与相似比的关 系及其理由吗? ◆相似三角形对应中线的比等于相似比理由是A ◆如图∵△ABC∽△DEF ab BC ∴∠B=∠E,DEEF B C M 又∵AMDN分别是△ABC和△DEF的中线.D BM BC AB BM 且∠B=∠E E EF DE EN △AMB∽△DNE(两边对应成比 例且夹角相等的两个三角形相似) AM AB E DNDE(相似三角形对应边成比例 即相似三角形对应中线的比等于相似比
我是“联想”总 裁 你还记得相似三角形对应中线的比与相似比的关 系及其理由吗? 如图∵△ABC∽△DEF. ∴∠B =∠E, 相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是: (相似三角形对应边成比例). A B C M D E F . N DE AB DN AM = . EF BC DE AB = 又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线. . EF BC EN BM = ∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比 例且夹角相等的两个三角形相似). . EN BM DE AB = 且∠B =∠E. 回顾与反思☞ 即,相似三角形对应中线的比等于相似比
国顾与反局 我是“联規”总 裁 ◆你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系及 其理由吗? ◆相似三角形周长的比等于相似比理由是 ◆如图在△ABC与△ A ABC中, △ABC∽△ABC 且相似比为kB AB AC BC B k ABA'C′BC (相似三角形对应边成比例 AB+aC + BC 对应边的比叫做相似比) k(等比) AB′+A'C+B'C 即,相似三角形周长的比等于相似比
我是“联想”总 裁 你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系及 其理由吗? 如图,在△ ABC与△ A′B′C′中, ∵△ABC∽△A′B′C′ , 且相似比为k. 相似三角形周长的比等于相似比.理由是: (相似三角形对应边成比例, 对应边的比叫做相似比). 回顾与反思☞ 即,相似三角形周长的比等于相似比. k. B C BC A C AC A B AB = = = k(等比). A B A C B C AB AC BC = + + + + A′ B′ C′ A B C
同回顾与反N 渥我是“联趣” 总裁 ●三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三 角形,叫做相似三角形( similar triangle) 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成 比例 ●相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对 应中线的比,对应周长的比等于相似比 相似比等于1的两个三角形全等 ●注意 ●要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上 ●反之写在对应位置上的字母就是对应角的顶点! ●由于相似三角形与其位置无关因此能否弄清对应是正 确解答的前提和关键
我是“联想” 总裁 ⚫ 三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三 角形, 叫做相似三角形(similar trianglec) ⚫ 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成 比例. ⚫ 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对 应中线的比,对应周长的比等于相似比. ⚫ 相似比等于1的两个三角形全等. 回顾与反思☞ ⚫注意: ⚫要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. ⚫反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点! ⚫由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正 确解答的前提和关键
反回与及吧个房我是“联想 ●判定两个三角形相似的方法 ●两角对应相等的两个三角形相似 ●三边对应成比例的两个三角形相似, ●两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相 似, 斜边直角边对应成比例的两个三角形相似 平行于三角形一边的直线截其它两边(或其延 长线),所截得的三角形与原三角形相似 E D D E BC A C e b C
我是“联想”总 裁 ⚫ 判定两个三角形相似的方法: ⚫ 两角对应相等的两个三角形相似. ⚫ 三边对应成比例的两个三角形相似. ⚫ 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相 似. ⚫ 斜边直角边对应成比例的两个三角形相似. ⚫ 平行于三角形一边的直线截其它两边(或其延 长线),所截得的三角形与原三角形相似. 回顾与反思☞ A B C D E A D E B C E D B C A
知识于悟益暂的“模型” 两个极具代表性的相似若△ADE∽△ABC则 三角形基本模型:“A” ∠DAE=∠BAC 型和“Ⅹ”型 ∠ADE=∠ABC A ∠AED=∠ACB, A AE DE ¥E AB AC BO 若△ABC∽△DEC,则 B C ∠A=∠D.∠B=∠E E D ∠ACB=∠DCE AB AC BC DE DC CE B C 司
益智的“模型” • 两个极具代表性的相似 三角形基本模型: “A” 型和“X” 型 知识源于悟 . BC DE AC AE AB AD = = 若△ADE∽ △ABC,则 ∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB, . CE BC DC AC DE AB = = 若△ABC∽ △DEC,则 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE, A B C D E E D B C A
开启0智慧 内涵与外延 ◆如图,已知△ABC,DE∥BC,交AB,AC 或其延长线于D,E,则有如下结论 E 结论1平行于三角形一边直线 截其它两边(或其延长线,所截 得的三角形与原三角形相似; 如图在△ABC中, BC 如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC 结论2平行于三角形一边直线截 E E 其它两边(或其延长线,所得的对 D 应线段成比例 如图在△ABC中如果DE∥BC,B C AD AE AD AE DB EC DB EC 那么= 或 或 或 DB EC AB AC AD AE AB A6
内涵与外延 结论1:平行于三角形一边直线 截其它两边(或其延长线),所截 得的三角形与原三角形相似; 如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC 或其延长线于D,E,则有如下结论: 开启 智慧 A B C D E ; ; ; . AC EC AB DB AE EC AD DB AC AE AB AD EC AE DB AD 那么 = 或 = 或 = 或 = 如图:在△ABC中, 如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC. 结论2:平行于三角形一边直线截 其它两边(或其延长线),所得的对 应线段成比例. 如图:在△ABC中,如果DE∥BC, A D E B C E D B C A
开启0智慧 联想的功能 ◆如图,直角三角形斜边根据上面的结论可得到 上的高分直角三角形所相等的角或对应成比例 成的两个直角三角形与的线段 原三角形相似.让数学模型◆如常用的相等的角有: “双垂直” 三角形成◆∠A=∠DCB;∠B=∠ACD 为你的好友常用的成比例的线段有 AC= AD. AB A BC=BD·AB 即有三对相似三角形.CD2=AD.DB △ACD∽△ABC AC·BC=AB·CD △CBD∽△ABC老师的建议上面红色字表示出的关系 △ACD△CBD式是几个重要的结论若能理解记忆 并运用将会促进能力的提高 望
联想的功能 如图, 直角三角形斜边 上的高分直角三角形所 成的两个直角三角形与 原三角形相似. 根据上面的结论可得到 相等的角或对应成比例 的线段. 即,有三对相似三角形. △ACD∽ △ABC △CBD∽ △ABC △ACD∽ △CBD. 常用的成比例的线段有: A B C D · · · · · · 如,常用的相等的角有: ∠A =∠DCB;∠B =∠ACD; 让数学模型 “双垂直” 三角形,成 为你的好友! 开启 智慧 ; 2 AC = AD AB; 2 BC = BD AB; 2 CD = AD DB AC BC = ABCD. 老师的建议:上面红色字表示出的关系 式,是几个重要的结论,若能理解记忆 并运用,将会促进能力的提高