中国人民大学：《金融计量学》课程教学资源（PPT课件）Lecture 03 差分方程、滞后运算与动态模型 3.3 高阶差分方程 3.4 滞后算子与滞后运算法

3.3高阶差分方程 阶差分方程可以拓展到二阶以及 更高阶的差分方程，为方便起见，把高 于一阶的差分方程统一称为高阶差分方 程。假设差分方程的阶数为p,则p阶差 分方程的一般表达式可以写成： y,=Cy-1+02y-2+.+Cpyk-p+e

3.3 高阶差分方程 一阶差分方程可以拓展到二阶以及 更高阶的差分方程，为方便起见，把高 于一阶的差分方程统一称为高阶差分方 程。假设差分方程的阶数为p，则p阶差 分方程的一般表达式可以写成： t t t p t p t 1 1 2 2 y y y y     = + + + + − − − t t t p t p t 1 1 2 2 y y y y     = + + + + − − −

要从高阶向一阶转化，首先定义几个 常用矩阵： y 02 y-1 1 0 0 Y,= y-2 F= 0 e= 0 y-(p-) 0 px1

要从高阶向一阶转化，首先定义几个 常用矩阵： 1 2 ( 1) 1 t t t t t p p y y Y y y − − − −        =           1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 p p p p F     −        =           0 0 0 t t e        =          

例如p=5时， 1 2 1 0 0 F- 0 1 0 0 0

例如p＝5时， 1 2 3 4 5 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 F            =          

现在，p阶差分方程就可以转化为： y 02 03 y-1 y-1 1 0 y-2 0 y1-2 0 y-3 十 0 y-(p-) 0 001 Y-p 0 即，Y=FY-1+e

现在，p阶差分方程就可以转化为： 即， 1 2 3 1 1 2 2 3 ( 1) 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 t t p t t t t t t p t p y y y y y y y y      − − − − − − − −                             = +                                     Y FY e t t t = + −1

通过反复迭代，可以得到： Y,=F+lY1+F'e。+F-e,+…+Fe,-1+e, y y y y-2 0 0 0 0 y-2 =F 八 +F 0+F- 0 +…十F 0 + 0 : y-p- y-p」 0 0 0

通过反复迭代，可以得到： 1 1 1 0 1 1 t t t Y F Y F e F e Fe e t t t + − = + + + + + − − 1 0 1 1 1 2 1 1 2 3 ( 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t t t t t t t t t p p y y y y y y F F F F y y −     − − − + − − − − − −                                         = + + + + +                                                        

对模型进行向前迭代，可以得到： =yeFee 其中：F时表示矩阵F的j次幂。这样，对比F 矩阵与Y矩阵的定义，可以获得p阶差分方 程的动态乘数，即： 41=f0,j=0,1… 08

对模型进行向前迭代，可以得到： 其中： 表示矩阵F的j次幂。这样，对比F 矩阵与Y矩阵的定义，可以获得p阶差分方 程的动态乘数，即： 1 1 1 1 1 j j j t j t t t t j t j Y F Y F e F e Fe e + − + − + + − + = + + + + + j F ( ) 11 , 0,1, t j j t y f j   + = = 

对比F矩阵与Y矩阵的定义，可以 获得p阶差分方程的动态乘数，即： 1=州，j=0,1… 08, 其中：为矩阵的第1行第1列位置 上的元素。一旦动态乘数的解析表达 式求解出来了，对应的p阶差分方程的 脉冲响应方程就可以很容易获得了

对比F矩阵与Y矩阵的定义，可以 获得p阶差分方程的动态乘数，即： 其中： 为矩阵 的第1行第1列位置 上的元素。一旦动态乘数的解析表达 式求解出来了，对应的p阶差分方程的 脉冲响应方程就可以很容易获得了。 ( ) 11 j f j F ( ) 11 , 0,1, t j j t y f j   + = = 

3.4 滞后算子与滞后运算法 3.4.1滞后算子定义与性质 滞后算子以英文单词“lag”的大 写首字母L表示，基本的运算规则如下： Ly =y y =y-2 IPy,=y-p

3.4 滞后算子与滞后运算法 3.4.1 滞后算子定义与性质 滞后算子以英文单词“lag”的大 写首字母L表示，基本的运算规则如下: 1 2 t t - 2 t t - p t t - p Ly = y L y = y L y = y

根据这个定义，二阶差分方程： y,=y-1+C2y-2+8: 可以写成： y.=aly,+aly,+e

根据这个定义，二阶差分方程： 可以写成： t t - t - 1 2 2 y = y y    + + 1 t 2 2 t t t y = Ly L y    + + 1 t

滞后算子运算还符合标准的“结合律” 与“交换律”等如下运算法则： (1)0=1 (2)对任何常数A取滞后运算还等于原 常数，即PA=A。 (3)结合与分配律，即 yp+y=y+1y=(1+19y p+y=Lx,+Ly=LP(飞，+y,)。 (4) 交换律，即PLy,=LLy,)=yp-g

滞后算子运算还符合标准的“结合律” 与“交换律”等如下运算法则： （1） （2）对任何常数A取滞后运算还等于原 常数，即 。 （3）结合与分配律，即 。 （4）交换律，即 。 = 1 0 L p L A = A + = + ( p q p q t - p t - q t t t y + y = L y L y L L )y ( ) p p p t - p t - p t t t t x + y = L x + L y = L x + y ) p q q p L L y L (L y y = t t t- p-q 1= = 0 L 0 L = 1 p L A = A ( ) p q p q t - p t -q t t t p p p t - p t - p t t t t y + y = L y L y L L )y x + y = L x + L y = L x + y + = + ( ) p q q p L L y L (L y y t t t- p-q = =