第9章 向量自回归(VAR)模型 9.1向量自回归模型介绍 9.2 VAR模型的估计与相关检验 9.3格兰杰因果关系 9.4向量自回归模型与脉冲相应分析 9.5VAR模型与方差分解
2 第9章 向量自回归(VAR)模型 9.1 向量自回归模型介绍 9.2 VAR模型的估计与相关检验 9.3 格兰杰因果关系 9.4 向量自回归模型与脉冲相应分析 9.5 VAR模型与方差分解
9.1 向量自回归模型介绍 9.1.1VAR模型的基本概念 考虑一组变量y,2,L,ym,定义 Y,= y21 t=1,2,L,T M
9.1 向量自回归模型介绍 9.1.1 VAR模型的基本概念 1 2 , , , , t t nt 考虑一组变量 y y y L 定义 1 2 , 1,2, , t t t nt y y Y t T y = = L M
Y,=C+④Y,1+Φ2y,-2+L+Φ,Y,-p+8, ,代表(n×1)维的向量白噪音(VWN),满足 E(8)=0 E(8,S)=2 E(8,Sg)=0,s≠t VWN不是序列相关的。例如,在两变量的模型中, E(86-i)E(e6) E(ε,8)= E(6,6)E(,6-)】 022
1 1 2 2 (n 1) (VWN), ( ) 0 ( ) ( ) 0, t t t p t p t t t t t t s Y C Y Y Y E E E s t = + + + + + − − − = = = 代表 维的向量白噪音 满足 L 1 1, 1 1 2, 1 1 2 2 2 1, 1 2 2 1 VWN , ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) t t t t t t t t t t E E E E E − − − − − = = 不是序列相关的。例如,在两变量的模型中
如果使用滞后算子,则 Φ(L)Y,=C+6 Φ(L)=In-ΦL-Φ2LL-Φ,L
2 1 2 , ( ) ( ) t t p n p L Y C L L L L = + = − − − 如果使用滞后算子 则 L
一个两变量(VAR)模型的例子 Y,=C+ΦY1+6, a-a slm is C+41y1,-1+项2y2-1+6 C2+921M11-1+2y2-1+82i
1 1 1 1 11 12 1, 1 2 2 2 21 22 2, 1 1 11 1, 1 12 2, 1 1 2 21 1, 1 22 2, 1 2 (VAR) , t t t t t t t t t t t t t t t Y C Y y c y y c y c y y c y y − − − − − − − = + + = + + + + + = + + + 一个两变量 模型的例子
Ee)LEe)月 E(ε7) -1w- [1-4L-42L -4L1-42L
2 2 1 1 2 1 12 2 2 2 1 2 21 2 11 12 21 22 11 12 21 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) 0 1 1 1 t t t t t t t t E E E E E L L L L L L L L L L = = = − = − − − = − −
高阶VAR模型要使用很多的上标和 下标。若用表示Φ矩阵④的第i行第 列的元素,则有 ,=C+4+9绍2-1+L+"y1 +-1+乃2+L+4y +L +P1+八2+L+Pyn-+E
(1) (1) (1) 1 1 11 1, 1 12 2, 1 1 , 1 (2) (2) (2) 11 1, 1 12 2, 1 1 , 1 ( ) ( ) ( ) 11 1, 1 12 2, 1 1 , 1 t t t n n t t t n n t p p p t t n n t t y c y y y y y y y y y − − − − − − − − − = + + + + + + + + + + + + + + L L L L 1 1 1 VAR ij ( ) 高阶 模型要使用很多的上标和 下标。若用 表示 矩阵 的第i行第 j列的元素,则有
9.1.2VAR模型的平稳性条件 如果以下条件满足,则对应的VAR模型为平稳的: E(Y ) E(Y,-WY-y'=T。 E(g,-Y,-0'=「 其中,「定义的是Y,在第j期的自协方差矩阵
9.1.2 VAR模型的平稳性条件 0 VAR ( ) ( )( ) ( )( ) t t t t t j j j t E Y E Y Y E Y Y Y j − = − − = − − = 如果以下条件满足,则对应的 模型为平稳的: 其中, 定义的是 在第 期的自协方差矩阵
对于一个VAR模型,其平稳条件是 Φ(z=|1n-Φ2-Φ2z2-L-Φp2P=0 的根落在单位圆外,其中表示行列式符号。? 同样地,平稳条件也可以表述为 Ln2P-D21-Φ22-2-L-Φp=0 的根落在单位圆内
2 1 2 1 2 1 2 VAR ( ) 0 ? 0 p n p p p p n p z z z z − − = − − − − = − − − − = 对于一个 模型,其平稳条件是 的根落在单位圆外,其中 表示行列式符号。 同样地,平稳条件也可以表述为 的根落在单位圆内。 L L
为了深入地理解VAR模型的平稳 性条件,为了考虑含有2个变量的简 单VAR(1)模型: e
为了深入地理解VAR模型的平稳 性条件,为了考虑含有2个变量的简 单VAR(1)模型: 1 1 1, 1 2 2 2, 1 1 1.6 0.5 0.7 t t t t t t y y y y − − − = + −