前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”“连接直线外 一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短 路径问题
问题1如图13.4-1,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然 后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短? B A 图13.4-2 图13.4-1 如果把河边近似地看成一条直线(图13.3-2),C为直线l上的一个动 点,那么,上面的问题可以转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的 和最小
由这个问题,我们可以联想到下面的问题: 如图13.4-3,点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在L上找到一个 点,使得这个点到点A、点B的距离的和最短? A B 图13.4-3 利用已经学过的知识,可以很容易地解决上面的问题,即:连接AB,与 直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求
现在,要解决的问题是:点A,B分别是直线l同侧的两个点,如何在l 上找到一个点,使得这个点到点A、点B的距离的和最短? 如果我们能把点B移到l的另一侧B处,同时对直线l上的任一点C,都 保持CB与CB的长度相等,就可以把问题转化为“图13.4-3”的情况,从而 使新问题得到解决.你能利用轴对称的有关知识,找到符合条件的点B吗? 如图13.4-4,作出点B关于l的对称点B',利用轴对称的性质,可以得 到CB=CB.这样,问题就转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB们的 和最小? 图13.4-4 图13.4-5 如图13.4-5,在连接A,B两点的线中,线段AB最短.因此,线段 AB与直线l的交点C的位置即为所求 为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C(图 13.4-5),连接AC,BC,BC",证明AC+CB<AC+CB.你能完成这个 证明吗?
1.如图,A、B两地在一条河的两岸,现要在 河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到 B的路径最短?(假设河的两岸是平行的直线, 桥要与河垂直)
1. 如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在 河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到 B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线， 桥要与河垂直） . A· B M N E
作法:1将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E, 2连接AE交河对岸于点M 则点M为建桥的位置,MN为所建的桥 证明:由平移的性质,得BNEM且BN=EM,MN=cD BDIICE BDECE 所以A、B两地的距离为 AM+MN+BN=AM+MN+EMN MN 若桥的位置建在CD处,连接AC,CD 则A、B两地的距离为: AC+CD+DBEAC+CD+CE=AC. 在△ACE中,∵AC+CE>AE, AC+CE+MN>AE+MN B 即Ac+cD+DB>AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处,A、B两地的路程最短
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸于点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A、B两地的距离为 AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN。 若桥的位置建在CD处，连接AC，CD，DB，CE, 则A、B两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN。 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，A、B两地的路程最短。 E A· B M N C D
2.如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同侧 过地腰理造边什诺:;哥 所修的渠道最短,试在图中确定该点。 作法:作点B关于直线a的对称点C连接AC交直线a于点D, 点D为建抽水站的位置。 证明:在直线a上另外任取一点E,连接AE,CE,BE,BD 点B,C关于直线a对称 B 点D,E在直线a上,∴DB=DCEB=EC ∴AD+DB=AD+DC=AC AE+EB=AE+EC 在△ACE中,AE+EC>AC C 即AE+EC>AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧， 为了方便灌溉作物， 要在河边建一个抽水站，将河 水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方， 可使 所修的渠道最短，试在图中确定该点。 作法：作点B关于直线 a 的对称点C,连接AC交直线a于点D， 则点D为建抽水站的位置。 证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE，CE，BE，BD。 ∵点B，C关于直线 a 对称, 点D，E在直线 a上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在△ACE中，AE+EC＞AC, 即 AE+EC＞AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处 · · C D A B E a
再见
再见！