14.2乘法公式 14.2.2完全平 方公式
14.2乘法公式 14.2.2完全平 方公式
请同学们探究下列问题:一位老人非常喜欢孩子。每 当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他 们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个 孩子,老人就给每个孩子两块塘,….(1)第一天有a 个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (2)第二天有b个女孩去了老人家,老人一共给了这 些孩子多少块糖?(3)第三天这(a+b)个孩子一起 去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖?(4)这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多?多多少?为什么? (1)a2(2)b2(3)(a+b)2(4)a+b)2-(a2+b2)
请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每 当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他 们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个 孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这 些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起 去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多？多多少？为什么？ (1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2 -(a2+b2 )
在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算,如何 进行这样的运算呢? 能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢? 我们知道a2=aa,所以(a+b)2=(a+b)(a+b),这样 就转化成多项式与多项式的乘积了
在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何 进行这样的运算呢？ 我们知道a 2=a•a，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样 就转化成多项式与多项式的乘积了． 能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？
像研究平方差公式一样,我们探究一下(a+b)的运算 结果有什么规律 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= (2)(m+2)2= (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= (4)(m-2)2= (5)(a+b)2 (6)(a-b)2=
像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运算 结果有什么规律． 计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______； （2）(m+2)2=_______； （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=________； （4）(m-2)2=________； （5）(a+b)2=________； （6）(a-b)2=________．
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2)(m+2)2=(m+2)m+2)=m2+2m+m2+2×2=m2+4m+4 (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p-1)+(-1)p+(-1)×(-1) =p2-2p+1 (4)(m-2)2=(m-2)m-2) =m2+m(-2)+(-2)m+(-2)×(-2)=m2-4m+4 (5)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b (6)(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2ab-ab+b2=a2-2ab+b2
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m•2+2×2=m2+4m+4 （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p•(-1)+(-1)•p+(-1)×(-1) =p2 -2p+1 （4）(m-2)2=(m-2)(m-2) =m2+m•(-2)+(-2)•m+(-2)×(-2)=m2 -4m+4 （5）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2 -ab-ab+b2=a2 -2ab+b2
与物 通过上面的研究,你能用语言叙述完全平方公式吗 完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们 的平方和,加(或减)它们的积的2倍 用符号怎么表述呢? (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？ 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍 用符号怎么表述呢？ (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2 -2ab+b2
5知 其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式 你能根据图(1)和图(2)中的面积说明完全平方公 式吗? G B a b 图(1) 图(2)
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式． 你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公 式吗？
先看图(1),可以看出大正方 形的边长是a+b.还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两 个长方形组成,所以大正方形 的面积等于这四个图形的面积 之和.阴影部分的正方形边长 是a,所以它的面积是a2; 图(1) 另一个小正方形的边长是b,所以它的面积是b2;另 外两个长方形的长都是a,宽都是b,所以每个长方形 的面积都是ab;大正方形的边长是a+b,其面积是 (a+b)2.于是就可以得出:(a+b)2=a2+2ab+b2.这正 好符合完全平方公式
先看图（1），可以看出大正方 形的边长是a+b．还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两 个长方形组成， 所以大正方形 的面积等于这四个图形的面积 之和．阴影部分的正方形边长 是a，所以它的面积是a 2； 另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另 外两个长方形的长都是a，宽都是b，所以每个长方形 的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是 (a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正 好符合完全平方公式．
如图(2)中,大正方形的边长 是a,它的面积是a2;长方形 DcGE与长方形BcHF是全等图 形,长都是a,宽都是b,所以 它们的面积都是ab;正方形 HcGM的边长是b,其面积就是 b 图(2) 正方形AFME的边长是(a-b),所以它的面积是(a b)2.从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABcD的面积减去两个长方形DcGE和BcHF的面积 再加上正方形HcGM的面积。也就是:(a-b)2=a2 2ab+b2.这也正好符合完全平方公式
如图（2）中，大正方形的边长 是a，它的面积是a 2；长方形 DCGE与长方形BCHF是全等图 形，长都是a，宽都是b，所以 它们的面积都是a•b；正方形 HCGM的边长是b，其面积就是 b2； 正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(ab)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个长方形DCGE和BCHF的面积 再加上正方形HCGM的面积． 也就是：(a-b)2=a2 - 2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
数学源于生活,又服务于生活,于是我们可以进 步理解完全平方公式的结构特征.现在,大家可以 轻松解开课前提出的老人用糖招待孩子的问题了 (a+b)2-(a2+b2)=a22ab+b2a2-b2=2ab.于是得孩子 们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总 数多2ab块
数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一 步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以 轻松解开课前提出的老人用糖招待孩子的问题了． (a+b)2 -(a2+b2 ) =a2+2ab+b2 -a 2 -b2=2ab． 于是得孩子 们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总 数多2ab块．