143因式分解 平方差公式
14.3因式分解 ——平方差公式
问题1:你能叙述多项式因式分解的定义吗? 1.多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用,也 就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式 问题2:运用提公因式法分解因式的步骤是什么? 2.提公因式法分解因式的第一步是观察多项式各 项是否有公因式,如果没有公因式,就不能使用提 公因式法对该多项式进行因式分解
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？ 1. 多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用， 也 就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式． 问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？ 2．提公因式法分解因式的第一步是观察多项式各 项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提 公因式法对该多项式进行因式分解．
问题3:你能将a2b2分解因式吗? 3要将a2-b2进行因式分解,可以发现它没有公因 式,不能用提公因式法分解因式,但我们还可以 发现这个多项式是两个数的平方差形式,所以用平 方差公式可以写成如下形式 a2-b2=(a+b)(a-b) 多项式的乘法公式的逆向应用,就是多项式的因式 分解,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可 以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法 称为运用公式法.今天我们就来学习利用平方差公 式分解因式
问题3：你能将a 2 -b2分解因式吗？ 3.要将a 2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因 式， 不能用提公因式法分解因式，但我们还可以 发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平 方差公式可以写成如下形式： a 2-b2=(a+b)(a-b)． 多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式 分解，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可 以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法 称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公 式分解因式
肩 观察平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、 符号有什么特点? (1)左边是二项式,每项都是平方的形式,两项 的符号相反 (2)右边是两个多项式的积,一个因式是两数 的和,另一个因式是这两数的差 (3)在乘法公式中,“平方差”是计算结果, 而在分解因式,“平方差”是需要分解因式的多项 由此可知如果多项式是两数差的形式,并且这 两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多 项式可以运用平方差公式分解因式
观察平方差公式：a 2 -b2=(a+b)(a-b)的项、指数、 符号有什么特点？ （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项 的符号相反． （2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数 的和，另一个因式是这两数的差． （3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果， 而在分解因式， “平方差”是需要分解因式的多项 式由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这 两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多 项式可以运用平方差公式分解因式．
肩常 例1分解因式:(1)4x29 (2)(x+p)2-(x+q) 4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) -;+--+ a2-b21=a+b)(a-b) (2) (x+)2-(x+)2=[(xp)+(x+q)[cxtp)-(x+q) ;-t;r--+-1- b21 b) (a -b) (2x+p+q)(p-g)
例1 分解因式：（1）4x2 -9 （2）(x+p)2 -(x+q)
4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) --;;-+ ia-bi( a+b)(a-b) 2) 2-(x+)=[(x+)+(x+)][(+)-(x+q)] --1;r- b21=i(a+b(a (2x+p+g)(p-g) (1)中的2x,(2)中的x+p相当于平方差公式 中的a;(1)中的3,(2)中的x+q相当于平方 差公式中的b,这说明公式中的a与b可以表示 个数,也可以表示一个单项式,也可以是多项式
（1）中的2x，（2）中的x+p•相当于平方差公式 中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方 差公式中的b，这说明公式中的a与b•可以表示一 个数，也可以表示一个单项式，也可以是多项式
例2分解因式: 分解 (1)x4-y;(2)a3b-ab 因必 分析:(1)x4y4可以写成(x2)2(y22的形式,这样进 就可以利用平方差公式进行因式分解 到每 了.(2)m3b-mb有公因式mb,应先提出公因式再多工 进一步分解. 式者 解:(1)x4y4 (2)ab-ab (x2+y2)x ab(a2-1) 不再解止 (x2+y2)(x+y)(x-y) b(+1)(a-1)
例2 分解因式: (1)x 4 -y 4 ; (2) a 3b – ab. 分析:(1)x 4 -y 4可以写成(x 2 ) 2 -(y 2 ) 2的形式,这样 就可以利用平方差公式进行因式分解 了.(2)a 3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再 进一步分解. 解:(1) x 4 -y 4 = (x 2+y 2 )(x 2 -y 2 ) = (x 2+y 2 )(x+y)(x-y) (2) a 3b-ab =ab(a 2 -1) =ab(a+1)(a-1). 分解 因式, 必须 进行 到每 一个 多项 式都 不能 再分 解为 止
练一练:把下列各式分解因式 (1)(2a+b)2-(2a-b) (2)16a4-1 (3)2b2 试一试:举一个要同时用两种方 法进行因式分解的多项式
2 2 4 2 (1) (2 ) (2 ) (2)16 1 (3)2 8 a b a b a b + − − − − 练一练：把下列各式分解因式 试一试：举一个要同时用两种方 法进行因式分解的多项式
1.如果多项式各项含有公因式,则第一步是提 出这个公因式 2.如果多项式各项没有公因式,则第一步考 虑用公式分解因式 3.第一步分解因式以后,如果所含的多项式 还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直 到每个多项式因式都不能分解为止
1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提 出这个公因式． 2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考 虑用公式分解因式． 3．第一步分解因式以后，如果所含的多项式 还可以继续分解， 则需要进一步分解因式．直 到每个多项式因式都不能分解为止．
