免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 28.1圆(第1课时) 教学内容 1.圆的有关概念 2.垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧及其它 们的应用 教学目标 了解圆的有关概念,理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程,讲授圆的有关概念.利用操作几何 的方法,理解圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方法得 出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解 重难点、关键 1.重点:垂径定理及其运用 2.难点与关键:探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 教学过程 、复习引入 (学生活动)请同学口答下面两个问题(提问一、两个同学) 1.举出生活中的圆三、四个 2.你能讲出形成圆的方法有多少种? 老师点评(口答):(1)如车轮、杯口、时针等.(2)圆规:固定一个定点,固定一个 长度,绕定点拉紧运动就形成一个圆 探索新知 从以上圆的形成过程,我们可以得出 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周,另一个端点所形成的图形叫 做圆.固定的端点0叫做圆心,线段OA叫做半径 以点0为圆心的圆,记作“⊙0”,读作“圆0 学生四人一组讨论下面的两个问题: 问题1:图上各点到定点(圆心0)的距离有什么规律? 问题2:到定点的距离等于定长的点又有什么特点? 老师提问几名学生并点评总结 (1)图上各点到定点(圆心0)的距离都等于定长(半径r) (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此,我们可以得到圆的新定义:圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的 距离等于定长r的点组成的图形 同时,我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB: ②经过圆心的弦叫做直径,如图24-1线段AB ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以A、C为端点的弧记作AC”,读作“圆 弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧(如图所示ABC叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示) AC或BC叫做劣弧. 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 28.1 圆(第 1 课时) 教学内容 1．圆的有关概念． 2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其它 们的应用． 教学目标 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何 的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得 出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键 1．重点：垂径定理及其运用． 2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个． 2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个 长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知 从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点所形成的图形叫 做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径． 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”． 学生四人一组讨论下面的两个问题： 问题 1：图上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？ 问题 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结． （1）图上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的 距离等于定长 r 的点组成的图形． 同时，我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段 AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图 24-1 线段 AB； ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以 A、C 为端点的弧记作 AC ”，读作“圆 弧 AC ”或“弧 AC”．大于半圆的弧（如图所示 ABC 叫做优弧， 小于半圆的弧（如图所示） AC 或 BC 叫做劣弧．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆 (学生活动)请同学们回答下面两个问题 1.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2.你是用什么方法解决上述问题的?与同伴进行交流 (老师点评)1.圆是轴对称图形,它的对称轴是直径,我能找到无数多条直径 我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的 因此,我们可以得到 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线 (学生活动)请同学按下面要求完成下题 如图,AB是⊙0的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. B (1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由 (老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是CD (2)AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直径CD平分弦AB,并且平分AB及ADB 这样,我们就得到下面的定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下: 已知:直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M 求证:AM=BM,AC=BC,AD=BD 分析:要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此,只要连结OA、 或AC、BC即可 证明:如图,连结OA、OB,则OA=0B 在Rt△OAM和Rt△OBM中 OA=OB OM=OM Rt△OAM≌Rt△OBM AM=BM 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com B A C O ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题． 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流． （老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． （学生活动）请同学按下面要求完成下题： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 M． A B C D O M （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是 CD． （2）AM=BM， AC BC = ， AD BD = ，即直径 CD 平分弦 AB，并且平分 AB 及 ADB ． 这样，我们就得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M 求证：AM=BM， AC BC = ， AD BD = . 分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结 OA、•OB 或 AC、BC 即可． 证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中 OA OB OM OM = = ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM A B C O M
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∴点A和点B关于CD对称 ⊙0关于直径CD对称 当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,AC与BC重合,AD与BD重合 AC=BC, AD= BD 进一步,我们还可以得到结论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 (本题的证明作为课后练习) 例1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中CD,点0是CD的圆心,其中 CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径 分析:例1是垂径定理的应用,解题过程中使用了列方程的方法,这种用代数方法解 决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 解:如图,连接OC 设弯路的半径为R,则OF=(R-90) OE⊥CD CF=CD=2×600=300(m) 根据勾股定理,得:0C=CF+0F2 即R2=3003+(R-90)2解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m 三、巩固练习 教材P86练习P88练习 四、应用拓展 例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图24-5所示,正常水位下水面宽AB=60m,水 面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理 由 分析:要求当洪水到来时,水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施,只要求出DE的长, 因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R 解:不需要采取紧急措施 设OA=R,在Rt△AOC中,AC=30,CD=18 R2=302+(R-18)2R2=900+R2 324 M∠ N 解得R=34(m) 连接OM,设DE=x,在Rt△MOE中,ME=16 42=162+(34-x)2 162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0 解得x1=4,x2=64(不合设) ∴不需采取紧急措施 五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1.圆的有关概念 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com C E D O F A B C E D O M N ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称 ∵⊙O 关于直径 CD 对称 ∴当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， AC 与 BC 重合， AD 与 BD 重合． ∴ AC BC = ， AD BD = 进一步，我们还可以得到结论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （本题的证明作为课后练习） 例 1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 CD ，点 O 是 CD 的圆心， 其中 CD=600m，E 为 CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m，求这段弯路的半径． 分析：例 1 是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程 的方法，这种用代数方法解 决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接 OC 设弯路的半径为 R，则 OF=（R-90）m ∵OE⊥CD ∴CF= 1 2 CD= 1 2 ×60 0=300（m） 根据勾股定理，得：OC2 =CF2 +OF2 即 R 2 =3002 +（R-90）2 解得 R=545 ∴这段弯路的半径为 545m． 三、巩固练习 教材 P86 练习 P88 练习． 四、应用拓展 例 2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图 24-5 所示，正常水位下水面宽 AB=•60m，水 面到拱顶距离 CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理 由． 分析：要求当洪水到来时，水面宽 MN=32m•是否需要采取紧急措施， 只要求出 DE 的长， 因此只要求半径 R，然后运用几何代数解求 R． 解：不需要采取紧急措施 设 OA=R，在 Rt△AOC 中，AC=30，CD=18 R 2 =302 +（R-18） 2 R 2 =900+R2 -36R+324 解得 R=34（m） 连接 OM，设 DE=x，在 Rt△MOE 中，ME=16 342 =162 +（34-x） 2 162 +342 -68x+x2 =342 x 2 -68x+256=0 解得 x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4 ∴不需采取紧急措施． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆的有关概念；
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴 3.垂径定理及其推论以及它们的应用 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用．