免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 圆周角和圆心角的关系 教学目标 (一)教学知识点 1.了解圆周角的概念 2.理解圆周角定理的证明. (二)能力训练要求 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化 来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想. (三)情感与价值观要求 通过观察、猜想、验证推理,培养学生探索数学问题的能力和方法. 教学重点 圆周角概念及圆周角定理. 教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性 教学方法 指导探索法 教具准备 投影片两张 第一张:射门游戏(记作§3.3.1A) 第二张:补充练习1(记作§3.3.1B) 教学过程 I.创设问题情境,引入新课 师]前面我们学习了与圆有关的哪种角?它有什么特点?请同学们画一个 圆心角 「生}学习了圆心角,它的顶点在圆心 师]圆心是圆中一个特殊的点,当角的顶点在圆心时,就有圆心角.这样角 与圆两种不同的图形产生了联系,在圆中还有比较特殊的点吗?如果有,把这样 的点作为角的顶点,会是怎样的图形? Ⅱ.讲授新课 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 圆周角和圆心角的关系 教学目标 (一)教学知识点 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角定理的证明． (二)能力训练要求 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化 来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想． (三)情感与价值观要求 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法． 教学重点 圆周角概念及圆周角定理． 教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性． 教学方法 指导探索法． 教具准备 投影片两张 第一张：射门游戏(记作§3．3．1A) 第二张：补充练习 1(记作§3．3．1B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个 圆心角． [生]学习了圆心角，它的顶点在圆心． [师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角．这样角 与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样 的点作为角的顶点，会是怎样的图形？ Ⅱ．讲授新课
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 圆周角的概念 师]同学们请观察下面的图(1).(出示投影片3.3.1A) 这是一个射门游戏,球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张 角(∠ABC)有关 1) [师]图中的∠ABC,顶点在什么位置?角的两边有什么特点? 生|∠ABC的顶点B在圆上,它的两边分别和圆有另一个交点.(通过学生 观察,类比得到定义) 圆周角( angle in a circular segment)定义:顶点在圆上,并且角的两边和圆相 交的角 师]请同学们考虑两个问题 (1)项点在圆上的角是圆周角吗? (2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗? 请同学们画图回答上述问题 师j通过画图,相互交流,讨论认清圆周角概念的本质特征,从而总结出圆 周角的两个特征: (1)角的顶点在圆上 (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦 2.补充练习1(出示投影片§3.3.1B) 判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并说明理由 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 1．圆周角的概念 [师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片 3．3．1A) 这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置 B 对球门 AC 的张 角(∠ABC)有关． [师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ [生]∠ABC 的顶点 B 在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．(通过学生 观察，类比得到定义) 圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相 交的角． [师]请同学们考虑两个问题： (1)顶点在圆上的角是圆周角吗？ (2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？ 请同学们画图回答上述问题． [师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆 周角的两个特征： (1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦． 2．补充练习 1(出示投影片§3．3．1B) 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 答:由圆周角的两个特征知,只有C是圆周角,而A、B、D、E都不是 3.研究圆周角和圆心角的关系 [师]在图(1)中,当球员在B、D、E处射门时,他所处的位置对球门AC分别 形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系? 我们知道,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.那么,在同圆或 等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系? 师请同学们动手画出⊙O中AC所对的圆心角和圆周角.观察C所对的圆 周角有几个?它们的大小有什么关系?你是通过什么方法得到的?AC所对的圆 心角和所对的圆周角之间有什么关系? 生】AC所对的圆周角有无数个.通过测量的方法得知:AC所对的圆周角 相等,所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半 [师对于有限次的测量得到的结论,必须通过其论证,怎么证明呢?说说你 的想法,并与同伴交流 「生]互相讨论、交流,寻找解题途径 [师生共析能否考虑从特殊情况入手试一下.圆周角一特殊→一边经过圆心 由下图可知,显然∠ABC=∠AOC,结论成立 (学生口述,教师板书) 如上图,已知:⊙O中,AC所对的圆周角是∠ABC,圆心角是∠AOC 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 答：由圆周角的两个特征知，只有 C 是圆周角，而 A、B、D、E 都不是． 3．研究圆周角和圆心角的关系． [师]在图(1)中，当球员在 B、D、E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别 形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？ 我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或 等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？ [师]请同学们动手画出⊙O 中 所对的圆心角和圆周角．观察 所对的圆 周角有几个？它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到的？ 所对的圆 心角和所对的圆周角之间有什么关系？ [生] 所对的圆周角有无数个．通过测量的方法得知： 所对的圆周角 相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半． [师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你 的想法，并与同伴交流． [生]互相讨论、交流，寻找解题途径． [师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角 ⎯⎯⎯→ 特殊 一边经过圆心． 由下图可知，显然∠ABC＝ 1 2 ∠AOC，结论成立． (学生口述，教师板书) 如上图，已知：⊙O 中， 所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 求证:∠ABC=-AOC 证明:∠AOC是△ABO的外角, ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB, ∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=2∠ABO 即∠ABC=-∠AOC 师]如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图,那么结果怎样?特殊情况会 给我们什么启发吗?你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决 吗?(学生互相交流、讨论) 「生甲如图(1),点O在∠ABC内部时,只要作出直径BD,将这个角转化为 上述情况的两个角的和即可证出 由刚才的结论可知 ∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD, 2 2 ∴∠ABD+∠CBD=(∠AOD+∠COD),即∠ABC=∠AOC. 2 「生乙]在图(2)中,当点O在∠ABC外部时,仍然是作出直径BD,将这个角 转化成上述情形的两个角的差即可 由前面的结果,有 ∠ABD ∠AOD,∠CBD=-∠COD ∠ABD-∠CBD=1(∠A0OD-∠COD,即∠ABC=1∠AOC 师还会有其他情况吗?请思考 生不会有 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 求证：∠ABC＝ 1 2 AOC． 证明：∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO． ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO． ∴∠AOC＝2∠ABO． 即∠ABC＝ 1 2 ∠AOC． [师]如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会 给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决 吗？(学生互相交流、讨论) [生甲]如图(1)，点 O 在∠ABC 内部时，只要作出直径 BD，将这个角转化为 上述情况的两个角的和即可证出． 由刚才的结论可知： ∠ABD＝ 1 2 ∠AOD，∠CBD＝ 1 2 ∠COD， ∴∠ABD＋∠CBD＝ 1 2 (∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝ 1 2 ∠AOC． [生乙]在图(2)中，当点 O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径 BD，将这个角 转化成上述情形的两个角的差即可． 由前面的结果，有 ∠ABD＝ 1 2 ∠AOD，∠CBD＝ 1 2 ∠COD． ∴∠ABD－∠CBD＝ 1 2 (∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝ 1 2 ∠AOC． [师]还会有其他情况吗？请思考． [生]不会有．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 师]经过刚才我们一起探讨,得到了什么结论? 「生]条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 师]这一结论称为圆周角定理.在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过 程中,我们学到了什么方法? 生]由“特殊到一般”的思想方法,转化的方法,分类讨论的方法 师]好,同学们总结得很好.由此我们可以知道,当解决一问题有困难时, 可以首先考虑其特殊情形,然后再设法解决一般问题,这是解决问题时常用的策 略.今后我们在处理问题时,注意运用 4.课本P103,随堂练习1、2 Ⅲ.课时小结 [师]到目前为止,我们学习到和圆有关系的角有几个?它们各有什么特点? 相互之间有什么关系? 「生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心,圆周角顶点在 圆上,角的两边和圆相交.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 I师]这节课我们学会了什么定理?是如何进行探索的? 「生我们学会了圆周角定理,通过分类讨论的思想方法,渗透了由特殊到 般的转化方法.对定理进行了研究和证明 师]好,同学们今后在学习中,要注意探索问题方法的应用 注意:(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角,结论是圆周角等 于圆心角的一半 (2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半” Ⅳ.课后作业 习题3.4 V.活动与探究 同学们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫圆周角,因为一条 弧所对的角圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧 的度数,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义: 顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫圆外角.如下图中,∠DPB是圆外角, 那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧BD和AC的度数有什么关系?类似地可定 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com [师]经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？ [生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． [师]这一结论称为圆周角定理．在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过 程中，我们学到了什么方法？ [生]由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法，…… [师]好，同学们总结得很好．由此我们可以知道，当解决一问题有困难时， 可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策 略．今后我们在处理问题时，注意运用． 4．课本 P103，随堂练习 1、2 Ⅲ．课时小结 [师]到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？它们各有什么特点？ 相互之间有什么关系？ [生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角．圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在 圆上，角的两边和圆相交．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． [师]这节课我们学会了什么定理？是如何进行探索的？ [生]我们学会了圆周角定理．通过分类讨论的思想方法，渗透了由特殊到一 般的转化方法．对定理进行了研究和证明． [师]好，同学们今后在学习中，要注意探索问题方法的应用． 注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等 于圆心角的一半． (2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”． Ⅳ．课后作业 习题 3．4 Ⅴ．活动与探究 同学们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角，因为一条 弧所对的角圆周角等于它所对的圆心角的一半，而圆心角的度数等于它所对的弧 的度数，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．类似地，我们定义： 顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角．如下图中，∠DPB 是圆外角， 那么∠DPB 的度数与它所夹的两段弧 和 的度数有什么关系？类似地可定
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 义圆内角及其度量 (1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号) (2)证明你的结论 过程l让学生通过思考讨论,想办法把圆外角转化成和已学过的圆周角联系 起来,借助圆周角把∠DPB的度数转化成它所夹的两段弧BD和AC的度数差的 半 结果1圆外角的度数等于它所夹弧的度数差的一半 (2)证明:连结BC ∵∠DCB=∠DPB+∠ABC, ∴∠DPB=∠DCB-∠ABC 而∠DCB=BD的度数 ∠ABC=1AC的度数 ∴∠DP、1(BD的度数一AC的度数) 板书设计 §3.3.1圆周角和圆心角的关系(一) 1.探究圆周角的定义及其特征, 2.探究圆周角定理及其证明 、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 义圆内角及其度量． (1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号)：________； (2)证明你的结论． [过程]让学生通过思考讨论，想办法把圆外角转化成和已学过的圆周角联系 起来，借助圆周角把∠DPB 的度数转化成它所夹的两段弧 和 的度数差的 一半． [结果](1)圆外角的度数等于它所夹弧的度数差的一半． (2)证明：连结 BC． ∵∠DCB＝∠DPB＋∠ABC， ∴∠DPB＝∠DCB－∠ABC． 而∠DCB＝ 2 1 的度数． ∠ABC＝ 2 1 的度数． ∴∠DPB＝ 1 2 ( 的度数－ 的度数)． 板书设计 §3．3．1 圆周角和圆心角的关系(一) 一、1．探究圆周角的定义及其特征． 2．探究圆周角定理及其证明． 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业
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