免费下载网址htp:/ JIaoxue5uys68com/ 构造基本图形解直角三角形的实际问题 类型一构造单一直角三角形解决实际问题 【例1】如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°,荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上 已知AC=32米,CD=16米,求荷塘宽BD为多少米?(取√3≈1.73,结果保留整数) 【方法总结】通过构造单一的直角三角形,只要知道其中的一条边长和一个锐角,就可以利用解直角三角形的知识求 出其余各边的长 变式练习1如图,在一次测量活动中,小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处,仰望旗杆顶端A,测得仰角为60° 眼睛离地面的距离ED为1.5米试帮助小华求出旗杆AB的高度(结果精确到0.1米,√3≈1.732) -6021E 类型二构造单一非直角三角形解决实际问题 【例2】为促进我市经济快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中,需修建隧道AB,如图,在山外一点C 测得BC距离为200m,∠CAB=54°,∠CBA=30°,求隧道AB的长(参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59, an54°≈1.38,√3≈1.73,精确到个位) 【方法总结】通过构造一个非直角三角形,已知其中的两角和一边,可过第三个角的顶点作高,将三角形转化为两个 直角三角形,再利用解直角三角形的知识求出其余各边长 变式练习2如图,某天上午9时,向阳号轮船位于A处,观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°,轮船以 21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时该船到达B处,这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向,求 此时轮船所处位置B与城市P的距离.(参考数据:sin36.9°≈3/5,tan36.9°≈3/4,sin67.5°≈12/13,tan67.5 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Juaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 构造基本图形解直角三角形的实际问题 类型一 构造单一直角三角形解决实际问题 【例 1】如图，某同学在楼房的 A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为 30°，荷塘另一端 D 与点 C、B 在同一条直线上， 已知 AC=32 米，CD=16 米，求荷塘宽 BD 为多少米？(取 3 ≈1.73，结果保留整数) 【方法总结】通过构造单一的直角三角形,只要知道其中的一条边长和一个锐角,就可以利用解直角三角形的知识求 出其余各边的长. 变式练习 1 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B 处)6 米的 D 处，仰望旗杆顶端 A，测得仰角为 60°， 眼睛离地面的距离 ED 为 1.5 米.试帮助小华求出旗杆 AB 的高度.(结果精确到 0.1 米， 3 ≈1.732) 类型二 构造单一非直角三角形解决实际问题 【例 2】为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道 AB，如图，在山外一点 C 测得 BC 距离为 200 m，∠CAB=54°，∠CBA =30°，求隧道 AB 的长(参 考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59， tan54°≈1.38， 3 ≈1.73，精确到个位). 【方法总结】通过构造一个非直角三角形,已知其中的两角和一边,可过第三个角的顶点作高,将三角形转化为两个 直角三角形,再利用解直角三角形的知识求出其余各边长. 变式练习 2 如图，某天上午 9 时，向阳号轮船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于轮船的北偏西 67.5°，轮船以 21 海里/时的速度向正北方向行驶，下午 2 时该船到达 B 处，这时观测到城市 P 位于该船的南偏西 36.9°方向，求 此时轮船所处位置 B 与城市 P 的距离.(参考数据：sin36.9°≈3/5，tan36.9°≈3/4，sin67.5°≈12/13，tan67.5° ≈12/5)
免费下载网址htp:/ JIaoxue5uys68com/ 类型三构造双直角三角形解决实际问题 【例3】(张家界中考)如图:我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A点观测到我渔船C在北偏东60 方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B点,观测我渔船C在东北方向上.问 渔政310船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近?(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值) 【方法总结】如图,构造两个直角三角形,利用解直角三角形的知识容易知道如下结果 h +b ∴a=h/tana-h/tanβ, a tan a a tan Bana tan B-tan a tan B-tan a 变式练习3(益阳中考)“中国·益阳”网上消息,益阳市为了改善市区交通状况,计划在康富路的北端修建通往 资江北岸的新大桥.如图,新大桥的两端位于A、B两点,小张为了测量A、B之间的河宽,在垂直于新大桥AB的直 线型道路1上测得如下数据:∠BDA=76.1°,∠BCA=68.2°,CD=82米.求AB的长(精确到0.1米).(参考数据: sin76.1°≈0.97,cos76.1°≈0.24,tan76.1°≈4.0,sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37,tan68.2°≈2.5) 变式练习4(岳阳中考)某校有一露天舞台,纵断面如图所示,AC垂直于地面,AB表示楼梯,AE为舞台面,楼梯 的坡角∠ABC=45°,坡长AB=2皿.为保障安全,学校决定对该楼梯进行改造,降低坡度,拟修建新楼梯AD,使∠ ADC=30° (1)求舞台的高AC(结果保留根号) 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Juaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 类型 三 构造双直角三角形解决实际问题 【例 3】(张家界中考)如图:我渔政 310 船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在 A 点观测到我渔船 C 在北偏东 60° 方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政 310 船航向不变,航行半小时后到达 B 点,观测我渔船 C 在东北方向上.问: 渔政 310 船再按原航向航行多长时间,离渔船 C 的距离最近?(渔船 C 捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值) 【方法总结】如图,构造两个直角三角形,利用解直角三角形的知识容易知道如下结果: tanβ= b h ,tanα= a b h + , ∴a=h/tanα-h/tanβ, b= tan tan tan − a ,h= tan tan tan tan − a . 变式练习 3 (益阳中考)“中国·益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往 资江北岸的新大桥.如图，新大桥的两端位于 A、B 两点，小张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直 线型道路 l 上测得如下数据：∠B DA=76.1°，∠BCA=68.2°,CD=82 米.求 AB 的长(精确到 0.1 米).（参考数据： sin76.1°≈0.97,cos76.1°≈0.24,tan76.1°≈4.0,sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37,tan68.2°≈2.5） 变式练习 4 (岳阳中考)某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC 垂直于地面，AB 表示楼梯，AE 为舞台面，楼梯 的坡角∠ABC=45°,坡长 AB=2 m.为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修建新楼梯 AD，使∠ ADC=30°. (1)求舞台的高 AC(结果保留根号)；
免费下载网址htp:/ JIaoxue5uys68com/ (2)在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树,修新楼梯AD时底端D是否会触到大树?并说明理 由 变式练习5(常德中考)如图,A,B,C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置,AB,BC表示连接缆车站的钢缆 已知A,B,C所处位置的海拔AA1,BB1,CC1,分别为160米,400米,1000米,钢缆AB,BC分别与水平线AA2, BB2所成的夹角为30°,45°,求钢缆AB和BC的总长度.(结果精确到1米) 参考答案 【例1】在Rt△ACB中,∠CAB=60°,CB=AC·tan60°=32√3.∴DB=CB-CD=32√3-16≈39.答:荷塘宽DB的长约 为39米 变式练习1在Rt△ACE中,∠CEA=60°,CE=BD=6,∴tan∠AEC=AC/CE,∴AC=CE·tan∠AEC=6tan60°=6√3, AB=AC+BC=6√3+1.5≈10.39+1.5=11.89≈1.9(米).答:旗杆AB的高度为119米 【例2】过点C作CD⊥AB于D.在R△BCD中,∵∠B=30°,BC=200m.CD=1/2BC=100m,BD=1003m在Rt△ ACD中,∵tan∠CAB=CD/AD,AD=100/tan54°≈72m,∴AB=AD+BD=245m.答:隧道AB的长约为245m 变式练习2设BC=x海里,由题意,易得AB=21×(14-9)=105(海里),则AC=105-x(海里)在Rt△BCP中,tan36.9° =PC/BC,∴PC=BC·tan36.9°=3/4x.在Rt△ACP中,tan67.5°=PC/AC,∴PC=AC·tan67.5°=12/5(105-x) 34x=12/5(105-x),解得x=80.∴PC=3/4x=60(海里),∴PB=100(海里).答:此时轮船所处位置B与城市P的距离约为 100海里 【例3】作CD⊥AB,交AB的延长线于D,则当渔政310船航行到D处时,离渔船C的距离最近.设CD=x,在Rt△ACD 中,∵∠ACD=60°,tan∠ACD=AD/CD,∴AD=√3x.在Rt△BCD中,∵∠CBD=∠BCD=45°,∴BD=CD=x, AB=ADBD=AD=√3x-x=(√3-1)x.设渔政船从B航行到D需要t小时,则AB0.5=BDt (√3-1)x0.5=xt,(√3-1)t=0.5,∴t= 4答:渔政310船再航行√3+1 小时,离渔船C的距离最近 变式练习3设AD=x米,则AC=(x+82)米.在Rt△ABC中,tan∠BCA=AB/AC,∴AB=AC·tan∠BCA=2.5(x+82).在Rt 解压密码联系qq1113986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com (2)在楼梯口 B 左侧正前方距离舞台底部 C 点 3 m 处有一株大树，修新楼梯 AD 时底端 D 是否会触到大树？并说明理 由. 变式练习 5 (常德中考)如图，A，B，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC 表示连接缆车站的钢缆. 已知 A，B，C 所处位置的海拔 AA1，BB1，CC1，分别为 160 米，400 米，1 000 米，钢缆 AB，BC 分别与水平线 AA2， BB2 所成的夹角为 30°，45°，求钢缆 AB 和 BC 的总长度.(结果精确到 1 米) 参考答案 【例 1】在 Rt△ACB 中，∠CAB=60°，CB=AC·tan60°=32 3 .∴DB=CB-CD=32 3 -16≈39.答：荷塘宽 DB 的长约 为 39 米. 变式练习 1 在 Rt△ACE 中，∠CEA=60°，CE=BD=6,∴tan∠AEC=AC/CE，∴AC=CE·tan∠AEC=6tan60°=6 3 ，∴ AB=AC+BC=6 3 +1.5≈10.39+1.5=11.89≈11.9(米).答：旗杆 AB 的高度为 11.9 米. 【例 2】过点 C 作 CD⊥AB 于 D.在 Rt△BCD 中，∵∠B=30°，BC=200 m.∴CD=1/2BC=100 m，BD=100 3 m.在 Rt△ ACD 中，∵tan∠CAB=CD/AD,∴AD=100/tan54°≈72 m,∴AB=AD＋BD=245 m.答：隧道 AB 的长约为 245 m. 变式练习 2 设 BC=x 海里，由题意，易得 AB=21×(14-9)=105(海里)，则 AC=105-x(海里).在 Rt△BCP 中，tan36.9° =PC/BC,∴PC=BC·tan36.9°=3/4x.在 Rt△ACP 中，tan67.5°=PC/AC,∴PC=AC·tan67.5°=12/5(105-x).∴ 34x=12/5(105-x),解得 x=80.∴PC=3/4x=60(海里),∴PB=1 00(海里).答：此时轮船所处位置 B 与城市 P 的距离约为 100 海里. 【例 3】作 CD⊥AB,交 AB 的延长线于 D,则当渔政 310 船航行到 D 处时,离渔船 C 的距离最近.设 CD=x,在 Rt△ACD 中 , ∵ ∠ ACD=60 ° ,tan ∠ AC D=AD/CD, ∴ AD= 3 x. 在 Rt △ BCD 中 , ∵ ∠ CBD= ∠ BCD=45 ° , ∴ BD=CD=x, ∴ AB=AD-BD=AD= 3 x-x ＝ ( 3 -1)x. 设渔政船从 B 航行到 D 需 要 t 小 时 , 则 AB0.5=BDt, ∴ ( 3 -1)x0 .5=xt,( 3 -1)t=0.5,∴t= 4 3 +1 .答：渔政 310 船再航行 4 3 +1 小时,离渔船 C 的距离最近. 变式练习 3 设 AD=x 米，则 AC=(x+82)米.在 Rt△ABC 中，tan∠BCA=AB/AC，∴AB=AC·tan∠BCA=2.5(x+82).在 Rt
免费下载网址htp:/ 1aoxue5uys68com/ △ABD中,tan∠BDA=AB/AD,AB=AD·tan∠BDA=4x.∴2.5(x+82)=4x,∴x=410/3.∴AB=4x=410/3×4≈546.7.答: AB的长约为546.7米 变式练习4(1)在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,斜边AB=2m,在Rt△ABC中, AC= ABsin45°=2×√2/2=√2(m).(2)在Rt△ADC中,∠ADC=30°,∴CD=√6<3.∴不会触到大树 变式练习5在Rt△ABD中,BD=400-160=240,∠BAD=30°,则AB=BD/sin30°=480m.在Rt△BCB2中,CB2=1 000400600,∠CB2=45°.则CB= ECBysin45°=600√2m.∴AB+BC=480+600√2≈1329(米).答:钢缆AB和BC的总 长度约为1329米 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Juaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com △ABD 中，tan∠BDA=AB/AD,∴AB=AD·tan∠BDA=4x.∴2.5(x+82)=4x，∴x=410/3.∴AB=4x=410/3×4≈546.7.答： AB 的长约为 546.7 米. 变式练习 4 (1)在△ABC 中，AC⊥BC,∠ABC=45°,∴△ABC 是等腰直角三角形，斜边 AB=2 m，在 Rt△ABC 中， AC=ABsin45°=2× 2 /2= 2 (m).(2)在 Rt△ADC 中，∠ADC=30°，∴CD= 6 <3.∴不会触到大树. 变式练习 5 在 Rt△ABD 中，BD=400-160=240，∠BAD=30°，则 AB=BD/sin30°=480 m.在 Rt△BCB2 中，CB2=1 000-400=600，∠CBB2=45°.则 CB=CB2/sin45°=600 2 m.∴AB+BC=480+600 2 ≈1 329(米).答：钢缆 AB 和 BC 的总 长度约为 1 329 米