免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 相似三角形的性质 教学目标 【知识与技能】 理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)及相似三角形的面积、周长比与 相似比之间的关系 【过程与方法】 对性质定理的探究,学生经历观察——猜想一一论证一一归纳的过程,培养学生主动探 究、合作交流的习惯和严谨治学的态度 【情感态度】 在学习和探讨的过程中,体验从特殊到一般的认知规律 【教学重点】 相似三角形性质的应用 【教学难点】 相似三角形性质的应用. 教学过程 情景导入,初步认知 1.什么叫相似三角形?相似比指的是什么? 2.全等三角形是相似三角形吗?全等三角形的相似比是多少? 3.相似三角形的判定方法有哪些? 【教学说明】复习相关知识,为本节课的学习做准备 二、思考探究,获取新知 1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质? 【归纳结论】相似三角形的基本性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例 2.如图,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中,AD、A′D′分别 为BC、B′C′边上的高,那么,AD和A′D′之间有什么关系? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 相似三角形的性质 教学目标 【知识与技能】 理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三角形的面积、周长比与 相似比之间的关系. 【过程与方法】 对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探 究、合作交流的习惯和严谨治学的态度. 【情感态度】 在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律. 【教学重点】 相似三角形性质的应用. 【教学难点】 相似三角形性质的应用. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？ 2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？ 3.相似三角形的判定方法有哪些？ 【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备. 二、思考探究，获取新知 1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？ 【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2.如图，△ABC 和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为 k，其中，AD、A′D′分别 为 BC、B′C′边上的高，那么，AD 和 A′D′之间有什么关系？
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 证明:∵△ABC∽△AB′C 又∵AD⊥BC,A′D′⊥B′C′, ∴∠ADB=∠A′D′B′=90 ∴△ABD∽△A′B′D′ ∴AB:A′B′=AD:A′D′=k. 你能得到什么结论? 【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比 3.如图,△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形,相似比为k,求这两个三角形的角平 分线A′D′与AD的比 解:∵△A′B′C′∽△ABC, ∴∠B′=∠B,∠A′B′C′=∠ABC, ∵A′D′,AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线, ∠B′A′D′=∠BAD ∴△A′B′D′∽△ABD.(有两个角对应相等的两个三角形相似) AD A'B AD AB 根据上面的探究,你能得到什么结论? 【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比 4在上图中,如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线,那么,AD和A′D′之间 有什么关系?你能证明你的结论吗? 【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 5.如图△ABC∽△A′B′C′,ABAB′=k,AD、A′D′为高线 (1)这两个相似三角形周长比为多少? (2)这两个相似三角形面积比为多少? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′， 又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°, ∴△ABD∽△A′B′D′， ∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k. 你能得到什么结论？ 【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比. 3.如图，△A′B′C′和△ABC 是两个相似三角形，相似比为 k，求这两个三角形的角平 分线 A′D′与 AD 的比. 解：∵△A′B′C′∽△ABC, ∴∠B′=∠B,∠A′B′C′=∠ABC, ∵A′D′,AD 分别是△A′B′C′与△ABC 的角平分线， ∴∠B′A′D′=∠BAD, ∴△A′B′D′∽△ABD.（有两个角对应相等的两个三角形相似) ∴ A D A B AD AB = =k 根据上面的探究，你能得到什么结论？ 【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 4.在上图中，如果 AD、A′D′分别为 BC、B′C′边上的中线，那么，AD 和 A′D′之间 有什么关系？你能证明你的结论吗？ 【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 5.如图△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′=k，AD、A′D′为高线. (1)这两个相似三角形周长比为多少？ (2)这两个相似三角形面积比为多少？
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 分析:(1)由于△ABC∽△A 所以AB:A′B′=BC:B′C′=AC:A′C′=k 由并比的性质可知 (AB+BC+AC):(A′B′+B′C′+A′C′)=k (2)由题意可知, 因为△ABD∽△A′B′D′, 所以AB:AB′=AD:A′D′=k. 因此可得 △ABC的面积:△A′B′C′的面积 (AD·BC):(A′D′·B′C′) 【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方 【教学说明】通过这两个问题,引导学生通过合情推理,得出结论.学生可以通过合作 交流,找出解决问题的方法 三、运用新知,深化理解 1.见教材P86例9、P88例11、例12. 2.已知△ABC∽△AB′C′,BD和B′D′是它们的对应中线,且 则BD的长为 分析:因为△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′是它们的对应中线,根据对应中线的比 等于相似比 BD AC B 3 BD AC,42,BD= 即 【答案】6 3.在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,如果△ABC的周长是16,面积是12, 那么△DEF的周长、面积依次为() 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 分析：（1）由于△ABC ∽△A′B′C′, 所以 AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k. 由并比的性质可知， （AB+BC+AC) ︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k. （2）由题意可知, 因为 △ABD∽△A′B′D′, 所以 AB︰A′B′=AD︰A′D′=k. 因此可得, △ABC 的面积︰△A′B′C′的面积 =（AD·BC）︰（A′D′·B′C′） =k2 . 【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论.学生可以通过合作 交流，找出解决问题的方法. 三、运用新知，深化理解 1.见教材 P86 例 9、P88 例 11、例 12. 2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD 和 B′D′是它们的对应中线，且 AC AC = 3 2 ，B′D′=4， 则 BD 的长为____. 分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD 和 B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比 等于相似比， 【答案】 6 3.在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D，如果△ABC 的周长是 16，面积是 12， 那么△DEF 的周长、面积依次为（）
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ A.8,3B.8,6C.4,3D.4,6 分析:根据相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方可得周长为8,面 积为3,所以选A 【答案】A 4.已知△ABC∽△A′B′C′且S△A:S△Bc=1:2,则AB:A′B′= 分析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB:AB=1:2 【答案】1:√2 5.把 角形改做成和它相似的三角形,如果面积缩小到原来的,那么边长应缩 小到原来的 分析:根据面积比等于相似比的平方可得相似比为-,所以边长应缩小到原来的 【答案】 √2 6.如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高 (1)则图中有几对相似三角形 (2)若AD=9cm,CD=6cm,求BD; (3)若AB=25cm,BC=15cm,求BD. 解:(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90° 在△ADC和△ACB中,∠ADC=∠ACB=90°,∠A=∠A ∴△ADC∽△ACB 同理可知,△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形 AD CD Bn 9 (2)∵△ACD∽△CBD,CDBD BD=4(cm) (3)∵△CBD∽△ABC.、BC_BD BA B BD15×15 9(cm) 7.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G. 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6 分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为 8，面 积为 3，所以选 A. 【答案】 A 4.已知△ABC∽△A′B′C′且 S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2，则 AB∶A′B′=_____． 分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求 AB∶A′B′=1∶ 2 . 【答案】 1∶ 2 5.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 1 2 ，那么边长应缩 小到原来的_____. 分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为 2 2 ，所以边长应缩小到原来的 2 2 . 【答案】 2 2 6.如图，CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高. （1）则图中有几对相似三角形; （2）若 AD=9 cm,CD=6 cm,求 BD; （3）若 AB=25 cm,BC=15 cm,求 BD. 解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°. 在△ADC 和 △ACB 中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， 同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形. 7.如图 ，梯形 ABCD 中，AB∥CD，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点 G．
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ (1)求证:△CDF∽△BGF; (2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD 的长 (1)证明:∵在梯形ABCD中,AB∥CD ∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF ∴△CDF∽△BGF (2)由(1)知△CDF∽△BGF, 又F是BC的中点,BF=FC, △CDF≌△BGF, ∴DF=FG,CD=BG 又∵EF∥CD,AB∥CD EF∥AG,得2EF=AB+BG ∴BG=2EF-AB=2×46=2 CD=BG=2cm 8.已知△ABC的三边长分别为5、12、13,与其相似的△A′B′C′的最大边长为26 求△A′B′C′的面积S. 分析:由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形,又因为△ABC∽△A′B′C′, 所以△A′B′C′也是直角三角形,那么由△A′B′C′的最大边长为26,可以求出相似比, 从而求出△A′B′C′的两条直角边长,再求得△A′B′C′的面积 解:设△ABC的三边依次为:BC=5,AC=12,AB=1 AB=BC+AC ∴∠C=90° 又∵△ABC∽△A′B′C ∠C′=∠C=90° BC AC AB 13 1 B'C′A'C′A'B 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF∥CD 交 AD 于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求 CD 的长. （1）证明：∵在梯形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF， ∴△CDF∽△BGF． （2） 由（1）知△CDF∽△BGF， 又 F 是 BC 的中点，∴BF=FC， ∴△CDF≌△BGF， ∴DF=FG,CD=BG. 又∵EF∥CD，AB∥CD， ∴EF∥AG，得 2EF=AB+BG． ∴BG=2EF-AB=2×4-6=2， ∴CD=BG=2cm． 8.已知△ABC 的三边长分别为 5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为 26， 求△A′B′C′的面积 S. 分析：由△ABC 的三边长可以判断出△ABC 为直角三角形，又因为△ABC∽△A′B′C′， 所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为 26，可以求出相似比， 从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积． 解：设△ABC 的三边依次为：BC=5,AC=12,AB=13， ∵AB2 =BC2 +AC2， ∴∠C=90°． 又∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠C′=∠C=90°．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 又BC=5,AC=12 B′C′=10,A′C′=24 S=-A′C′×B′C′=-×24×10=120 (1)已知 且3 求 y,z的值 (2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求 它们的周长 分析:(1)用同一个字母k表示出x,y,z.再根据已知条件列方程求得k的值,从而 进行求解; (2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比,求得周长比,再根据周长差进行求解. 解:(1)设=)==k,那么x=2k,y=3k =5h 由于3x+4x-2y=40 6k+20k-6k=40, ,y=0, 2= 10 (2)设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角 形周长为(C+560)cm C C+56010 C=240.C+560=800 即它们的周长分别为240cm,800cm 【教学说明】通过例题的拓展延伸,体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探 索、勤于思考的习惯,提高分析问题和解决问题的能力. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充 课后作业 布置作业:教材“习题3.4”中第6、7、9题 教学反思 本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理,并进行初步运用,让学生经历相似三角 形性质探索的过程,提高数学思考、分析和探究活动的能力,体会相似三角形中的变量与不 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 又 BC=5,AC=12， ∴B′C′=10,A′C′=24． ∴S= 1 2 A′C′×B′C′= 1 2 ×24×10=120． （2）已知：两相似三角形对应高的比为 3∶10，且这两个三角形的周长差为 560cm，求 它们的周长． 分析：（1）用同一个字母 k 表示出 x，y，z．再根据已知条件列方程求得 k 的值，从而 进行求解； （2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解. 【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探 索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业:教材“习题 3.4”中第 6、7、9 题. 教学反思 本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角 形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量与不
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 变量,体会其中蕴涵的数学思想 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
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