免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 一元二次方程的应用 教学目标 【知识与技能】 会建立一元二次方程的模型解决实际问题,并能根据具体问题的实际意义,对方程解的 合理性作出解释. 【过程与方法】 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题,解决问题的能力,培养学生 用数学的意识 【情感态度】 让学生进一步感受一元二次方程的应用价值,提高学生的数学应用意识 【教学重点】 应用一元二次方程解决实际问题 【教学难点】 从实际问题中建立一元二次方程的模型 教学过程 情景导入,初步认知 复习列方程解应用题的一般步骤: (1)审题:仔细阅读题目,分析题意,明确题目要求,弄清已知数、未知数以及它们 之间的关系; (2)设未知数:用字母(如x)表示题中的未知数,通常是求什么量,就设这个量为x (3)列方程:根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程 (4)解方程:求出所给方程的解 (5)检验:既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程,又要检验它是否能使实际 问题有意义 (6)作答:根据题意,选择合理的答案 2.说一说,矩形的面积与它的两邻边长有什么关系? 【教学说明】复习相关知识,为本节课的学习作准备 、思考探究,获取新知 1.思考:如图,在一长为40cm,宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 一元二次方程的应用 教学目标 【知识与技能】 会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的 合理性作出解释. 【过程与方法】 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生 用数学的意识. 【情感态度】 让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识. 【教学重点】 应用一元二次方程解决实际问题. 【教学难点】 从实际问题中建立一元二次方程的模型. 教学过程 一、情景导入，初步认知 复习列方程解应用题的一般步骤： （1）审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们 之间的关系； （2）设未知数：用字母（如 x）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为 x； （3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程：求出所给方程的解； （5）检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际 问题有意义； （6）作答：根据题意，选择合理的答案. 2.说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？ 【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习作准备. 二、思考探究，获取新知 1.思考：如图，在一长为 40cm，宽为 28cm 的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 后,折成一个无盖的长方体盒子,若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米,求截去的四 个小正方形的边长 (1)引导学生审题,弄清已知数、未知数以及它们之间的关系 (2)确定本题的等量关系是:盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽: (3)引导学生根据题意设未知数; (4)引导学生根据等量关系列方程 (5)引导学生求出所列方程的解 (6)检验所求方程的解合理性 (7)根据题意作答 【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位,多项式时要加括号再写单位 2.如图,一长为32m,宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分), 余下部分进行了绿化,若已知绿化面积为540m2,求道路的宽 分析:本题考查了一元二次方程的应用,这类题目体现了数形结合的思想,如图,需利 用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程,求出答案.还要注意根据题意考 虑根的合理性,从而确定根的取舍.本题可设道路宽为x米,利用平移把不规则的图形变为 规则图形,如此一来,所有草坪面积之和就变为了(32-x)(20-x)米2,进而即可列出方程 求出答案 解:设道路宽为x米 (32-x)(20-x)=540 解得:x=2,x2=50(不合题意,舍去) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为 364 平方厘米，求截去的四 个小正方形的边长. （1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； （2）确定本题的等量关系是：盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽； （3）引导学生根据题意设未知数； （4）引导学生根据等量关系列方程； （5）引导学生求出所列方程的解； （6）检验所求方程的解合理性； （7）根据题意作答. 【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位，多项式时要加括号再写单位. 2.如图，一长为 32m，宽为 20m 的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分）， 余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为 540m2，求道路的宽. 分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利 用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．还要注意根据题意考 虑根的合理性，从而确定根的取舍．本题可设道路宽为 x 米，利用平移把不规则的图形变为 规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32-x）（20-x）米 2，进而即可列出方程， 求出答案． 解：设道路宽为 x 米 （32-x）(20-x)=540 解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去）
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 答:设道路宽为2米 3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm.BC=8cm,点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s 的速度移动,同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动,且当其中一点达到终点 时,另一点也随之停止移动,问点P、Q出发几秒后,可使△PCQ的面积为9cm2? B 解:设xs后,可使△PCQ的面积为9cm2 由题意得,AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm则1/2·(6-x)·2x=9 整理,得x2-6x+9=0,解得x1=x2=3 所以P、Q同时出发,3s后可使△PCQ的面积为9cm2 【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与 方法 三、运用新知,深化理解 1.如图,某中学为方便师生活动,准备在长30m,宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条 小路,横纵路的宽度之比为3:2,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,若横 路宽为3xcm,则可列方程为 分析:若设小路的横路宽为3xm,则纵路宽为2xm,我们利用“图形经过移动,它的面 积大小不会改变”的道理,把纵、横四条路移动一下(目的是求出路面的宽,至于实际施工 仍可按原图的位置修路),则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(30-4x)(20-6x)m2, 又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三,可列方程 则可列方程:(30-4x)(20-6x)=3/4×30×20 【答案】(30-4x)(20-6x)=3/4×30×20 2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图, 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴x=2 答：设道路宽为 2 米 3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°,AC=6cm.BC=8cm,点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s 的速度移动，同时点 Q 沿 CB 边从 C 向终点 B 以 2cm/s 的速度移动，且当其中一点达到终点 时，另一点也随之停止移动，问点 P、Q 出发几秒后，可使△PCQ 的面积为 9cm2 ? 解：设 xs 后，可使△PCQ 的面积为 9cm2． 由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm 则 1/2·(6－x)·2x=9． 整理，得 x 2 -6x+9=0，解得 x1=x2=3． 所以 P、Q 同时出发，3s 后可使△PCQ 的面积为 9cm2． 【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与 方法. 三、运用新知，深化理解 1.如图，某中学为方便师生活动，准备在长 30m，宽 20m 的矩形草坪上修两横两纵四条 小路，横纵路的宽度之比为 3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横 路宽为 3xcm，则可列方程为. 分析：若设小路的横路宽为 3xm，则纵路宽为 2xm，我们利用“图形经过移动，它的面 积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工， 仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含 x 的代数式表示为(30-4x)(20-6x)m2， 又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程. 则可列方程：(30－4x)(20－6x)=3/4×30×20 【答案】 （30-4x）(20-6x)=3/4×30×20 2.在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方 程是() 50cm A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0 【答案】B 3.如图,利用一面墙(墙的长度不超过45m),用80m长的篱笆围 一个矩形场地 (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2? (2)能否使所围矩形场地的面积为810m,为什么? 解:(1)设所围矩形ABCD的长AB为x米,则宽AD为12(80-x)米 依题意,得x·1/2(80-x)=750 即,x2-80x+1500=0, 解此方程,得x1=30,x2=50 墙的长度不超过45m,∴x2=50不合题意,应舍去 当x=30时,1/2(80-x)=1/2×(80-30)=25 所以,当所围矩形的长为30m、宽为25m时,能使矩形的面积为750m (2)不能 因为由x·1/2(80-x)=810得x2-80x+1620=0 又∵b2-4ac=(-80)2-4×1×1620=-80<0, 上述方程没有实数根 因此,不能使所围矩形场地的面积为810m2 4如图①,在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边.如图②,地毯中央的矩形图案长 6米、宽3米,整个地毯的面积是40平方米.求花边的宽 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方 程是( ) A.x2 +130x-1400=0 B.x2 +65x-350=0 C.x2 -130x-1400=0 D.x2 -65x-350=0 【答案】 B 3.如图，利用一面墙(墙的长度不超过 45m)，用 80m 长的篱笆围 一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为 750m2？ (2)能否使所围矩形场地的面积为 810m2，为什么？ 解：（1）设所围矩形 ABCD 的长 AB 为 x 米，则宽 AD 为 12（80-x）米． 依题意，得 x·1/2（80-x）=750． 即，x 2 -80x+1500=0， 解此方程，得 x1=30，x 2 =50． ∵墙的长度不超过 45m，∴x 2 =50 不合题意，应舍去． 当 x=30 时，1/2（80-x）=1/2×（80-30）=25， 所以，当所围矩形的长为 30m、宽为 25m 时，能使矩形的面积为 750m2． （2）不能． 因为由 x·1/2（80-x）=810 得 x 2 -80x+1620=0． 又∵b 2 -4ac=（-80）2 -4×1×1620=-80＜0， ∴上述方程没有实数根． 因此，不能使所围矩形场地的面积为 810m2． 4.如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长 6 米、宽 3 米，整个地毯的面积是 40 平方米．求花边的宽．
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 6 分析:本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程,其等量关系式可表示为: (矩形图案的长+两个花边的宽)×(矩形图案的宽+两个花边的宽)=地毯的面积. 解:设花边的宽为x米 根据题意得(2x+6)(2x+3)=40, 解得 x2=11/2不合题意,舍去 答:花边的宽为1米 5.我校原有一块正方形空地,后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图),原空地 边减少了1m,另一边减少了2m,使剩余的空地面积为12m2,求原正方形的边长 分析:本题可设原正方形的边长为xm,则剩余的空地长为(x-1)m,宽为(x-2)m.根 据长方形的面积公式方程可列出,进而可求出原正方形的边长 解:设原正方形的边长为xm,依题意有 (x-1)(x-2)=12 整理,得x2-3x-10=0. ∴(x-5)(x+2)=0 ∵.x1=5,x2=2(不合题意,舍去) 答:原正方形的边长5m 6.小明家有一块长8m,宽6m的矩形空地,现准备在该空地上建造一个十字花园(图中 阴影部分),并使花园面积为空地面积的一半,小明设计了如图的方案,求图中的x值 6 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 分析：本题可根据地毯的面积为 40 平方米来列方程，其等量关系式可表示为： （矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积． 解：设花边的宽为 x 米， 根据题意得（2x+6）（2x+3）=40， 解得 x1=1，x2=-11/2， x2=-11/2 不合题意，舍去． 答：花边的宽为 1 米． 5.我校原有一块正方形空地，后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图)，原空地 一边减少了 1m，另一边减少了 2m，使剩余的空地面积为 12m2，求原正方形的边长． 分析：本题可设原正方形的边长为 xm，则剩余的空地长为（x-1）m，宽为（x-2）m．根 据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长． 解：设原正方形的边长为 xm，依题意有 （x-1）（x-2）=12 整理，得 x 2 -3x-10=0． ∴（x-5）（x+2）=0， ∴x1=5，x2=-2（不合题意，舍去） 答：原正方形的边长 5m． 6.小明家有一块长 8m，宽 6m 的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园(图中 阴影部分)，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，求图中的 x 值．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 解:据题意,得(8-x)(6-x)=1/2×8×6 解得x1=12,x2=2 x不合题意,舍去 【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力,深刻体会方程的思想方法在解应 用问题中的用途 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充 课后作业 布置作业:教材“习题2.5”中第3、4、7题 教学反思 本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景,让学生从具体的问题情境中抽象出数量关 系,归纳出变化规律,并能用数学符号表示,最终解决实际问题.这类注重联系实际考査学 生数学应用能力的问题,体现时代性,并且结合社会热点、焦点问题,引导学生关注国家、 人类和世界的命运.既有强烈的德育功能,又可以让学生从数学的角度分析社会现象,体会 数学在现实生活中的作用 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解：据题意，得（8-x）（6-x）=1/2×8×6． 解得 x1=12，x2=2． x1 不合题意，舍去． ∴x=2． 【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应 用问题中的用途. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业：教材“习题 2.5”中第 3、4、7 题. 教学反思 本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关 系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题.这类注重联系实际考查学 生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、 人类和世界的命运.既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会 数学在现实生活中的作用