免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 第三章图形的相似 教学目标 【知识与技能】 掌握本章知识,能熟练运用有关性质和判定,解决具体问题. 【过程与方法】 通过回顾和梳理本章知识了解图形相似的有关知识 【情感态度】 在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力. 【教学重点】 相似图形的特征与识别,相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念 【教学难点】 能熟练运用有关性质和判定解决实际问题. 教学过程 知识框图,整体把握 比例的基本性质 比例线段此例线段 平行线分线段成比例 相似多边形 似 【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构图,使学生系统地了解本章 知识之间的关系 二、释疑解惑,加深理解 1.比例的概念 如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说这四个数成比例通常我们把a,b,C,d 四个实数成比例表示成a:b=e:d或=d,其中a,d叫作比例外项,b,C叫作比例内项 2.比例的基本性质: 如果a=C,那么ad-bc 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第三章 图形的相似 教学目标 【知识与技能】 掌握本章知识，能熟练运用有关性质和判定，解决具体问题. 【过程与方法】 通过回顾和梳理本章知识了解图形相似的有关知识. 【情感态度】 在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力. 【教学重点】 相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念. 【教学难点】 能熟练运用有关性质和判定解决实际问题. 教学过程 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章 知识之间的关系. 二、释疑解惑，加深理解 1.比例的概念： 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例.通常我们把 a,b,c，d 四个实数成比例表示成 a∶b=c∶d 或 a c b d = ，其中 a,d 叫作比例外项，b,c 叫作比例内项. 2.比例的基本性质： 如果 a c b d = ，那么 ad=bc
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 3.比例线段的概念: 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成 比例线段,简称比例线段 4.比例线段的比 如果选用同一长度单位量得线段AB,A'B的长 度分别为m,n,那么把它们的长度的比"叫作这两 条线段的比,记作:4B1=m或AB:AB=mn;如 果m的比值为k,那么上述式子也可以写成AB=k 或AB:A'B′=k 5.黄金分割 如果线段AB上有一点C,且 CB AC 那么线 段AB被点C黄金分割.点C叫作线段AB的黄金 分割点,较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分 割比 黄金分割比 5 的数值近似为0.618 6.平行线分线段成比例: 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 7.相似三角形的概念 我们把三个角对应相等,且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形 8.相似三角形的表示方法 表示:相似用符号“∽”来表示,读作“相似于”,相似三角形对应边的比叫作相似比 9.相似多边形的概念: 对于两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边 形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等,对应边 成比例 10.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,截得的三角形与原三角形相似 (2)两角分别相等的两个三角形相似 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3.比例线段的概念： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成 比例线段，简称比例线段. 6.平行线分线段成比例： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 7.相似三角形的概念： 我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形. 8.相似三角形的表示方法. 表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比叫作相似比. 9.相似多边形的概念： 对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边 形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等，对应边 成比例. 10.相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似. （2）两角分别相等的两个三角形相似
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 (4)三边成比例的两个三角形相似 11.相似三角形的基本性质 (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例 (2)相似三角形对应边上的高的比等于相似比 (3)相似三角形对应角平分线的比等于相似比 (4)相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 (5)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 12.位似的概念: 一般地,如果一个图形G上的点A、B、C、…、P与另一个图形G′上的点A′、B′、C′、…、 P′分别对应,且满足: (1)直线AA′、BB′、CC′、…、PP′都经过同一点0. OA OB OC OA′OB′OC 那么图形G与图形G′是位似图形,这个点0叫作位似中心,常数k叫作位似比 13.位似图形的性质 (1)两个图形位似,则这两个图形不仅相似,而且对应点的连线相交于一点,对应边 互相平行.利用位似,可以把一个图形进行放大或缩小 (2)一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数,所得到的图形与原图形是以 坐标原点为位似中心的位似图形. (3)在平面直角坐标系中,如果一坐标原点为位似中心,位似比为k,那么位似图形 对应点的坐标的比等于k或-k. 14.画位似图形的方法 (1)确定位似中心;(2)找对应点;(3)连线:(4)下结论 【教学说明】引导学生回顾本章知识点,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系 、典例精析,复习新知 1.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM,则下列各式中不正确的是() 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 (4)三边成比例的两个三角形相似. 11.相似三角形的基本性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应边上的高的比等于相似比. （3）相似三角形对应角平分线的比等于相似比. （4）相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. （5）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 12.位似的概念： 一般地，如果一个图形 G 上的点 A、B、C、…、P 与另一个图形 G′上的点 A′、B′、C′、…、 P′分别对应，且满足： （1）直线 AA′、BB′、CC′、…、PP′都经过同一点 O. 那么图形 G 与图形 G′是位似图形，这个点 O 叫作位似中心，常数 k 叫作位似比. 13.位似图形的性质： （1）两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边 互相平行.利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小. （2）一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以 坐标原点为位似中心的位似图形. （3）在平面直角坐标系中，如果一坐标原点为位似中心，位似比为 k，那么位似图形 对应点的坐标的比等于 k 或-k. 14.画位似图形的方法： （1）确定位似中心 ；（2）找对应点；(3)连线；(4)下结论. 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 三、典例精析，复习新知 1.已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ A AM: BM=AB: AM B. AM C Bl IB D.AM≈0.618AB 【答案】C 2.若 66+ C=-m2,则 分析:分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况 【答案】±1 3.如图,在△ABC中,AB=AC=27,D在AC上,且BD=BC=18,DE∥BC交AB于E,则 公 分析:由△ABC∽△BCD,列出比例式,求出CD,再用△ABC∽△AED,列出比例式,求 出DE. 【答案】10 4已知:如图,F是四边形ABCD对角线AC上一点,EF∥BC,FG∥AD 求证 AE⊥CG 分析:利用AC=AF+FC 证明:EF∥BC,FG∥AD AE AF CG CF AB AC CD CA AE CG AF CF AC AB CD AC CA AC SI 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 分析：分 a＋b＋c≠0 和 a＋b＋c＝0 两种情况． 【答案】 ±1 3.如图，在△ABC 中，AB＝AC＝27，D 在 AC 上，且 BD＝BC＝18，DE∥BC 交 AB 于 E，则 DE＝_____． 分析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出 CD，再用△ABC∽△AED，列出比例式，求 出 DE． 【答案】 10 4.已知：如图，F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，EF∥BC，FG∥AD． 求证： 1 AE CG AB CD ＋ ＝． 分析：利用 AC＝AF＋FC．
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 5.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,E为BC中点,延长AC、DE相交于点F AC AF 求证 BC DF 分析:过F点作FG∥CB,只需再证GF=DF 方法一:作FG∥BC交AB延 长线于点G. BC∥GF AC AF BC GF 又∠BDC=90°,BE=EC, BE∥GF DF DE GF BI DF=GF AC AF BC DE 方法二:作EH∥AB交AC于点H AC AH AF AH BC BE DE DE ∠BDC=90°,BE=EC, BE DE AC AF BC DF 6.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M是BC的中点,DM⊥BC于点M, 交BA的延长线于点D,交AC于点E 解压密码联系q119139686加微信公众号 1aoxuewuyou九折优惠f淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 5．如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于 D，E 为 BC 中点，延长 AC、DE 相交于点 F， 求证： AC AF BC DF ＝ ． 分析：过 F 点作 FG∥CB，只需再证 GF＝DF． 6.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是 BC 的中点，DM⊥BC 于点 M， 交 BA 的延长线于点 D,交 AC 于点 E
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 求证:(1)MA2=MD·ME; AE ME AD- D 证明:(1)∵∠BAC=90°,M是BC的中点,∴MA=MC,∠1=∠C ∵DM⊥BC,∴∠C=∠D=90°-∠B, ∴∠1=∠D ∠2=∠2, △MAE∽△MDA MA ME MD MA MA=MD·ME, (2)∵△MAE∽△MDA, AE MA AE ME AD MD'AD MA AE MA ME ME AD MD MA MD 【教学说明】通过典型例题,培养学生的识图能力和推理能力. 四、复习训练,巩固提高 1.如图,AB∥CD,图中共有对相似三角形 【答案】6 2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,AE=EC,AD=18,BE=15,则△ABC的面 积是 第2题图 分析:作EF∥BC交AD于F.设B交AD于0点,先求出0D长和OB长,最后用勾股定 理求出BD的长 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 证明：（1）∵∠BAC=90°，M 是 BC 的中点， ∴MA=MC，∠1=∠C， ∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=90°-∠B， ∴∠1=∠D， ∵∠2=∠2， ∴△MAE∽△MDA， ∴ MA ME MD MA = ， ∴MA2 =MD·ME， （2）∵△MAE∽△MDA， 【教学说明】通过典型例题，培养学生的识图能力和推理能力. 四、复习训练，巩固提高 1.如图，AB∥CD，图中共有___对相似三角形 【答案】 6 2.如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于 D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC 的面 积是_____． 第 2 题图 分析：作 EF∥BC 交 AD 于 F．设 BE 交 AD 于 O 点，先求出 OD 长和 OB 长，最后用勾股定 理求出 BD 的长．
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 【答案】144 3.如图,已知AD∥EF∥BC,且AE=2EB,AD=8cm,BC=14cm,则S形AF:S根形BH 第3题图 分析:延长EA,与CD的延长线交于P点,则△APD∽△EPF∽△BPC 【答案】20 4.已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则AC:BC=( (√5 √ +1):2 ):2 D.(3+√5):2 【答案】B 5如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,在BC边上取一点D,使BD=BA,连接 AD.求证 (1)△ADC∽△BAC (2)点D是BC的黄金分割点 证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=108°, BD=BA ∴∠BAD=72°,∠CAD=36° ∴∠CAD=∠B, ∠C=∠C, ∴△ADC∽△BAC 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【答案】 144 3.如图，已知 AD∥EF∥BC，且 AE＝2EB，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则 S 梯形 AEFD︰S 梯形 BCFE ＝______． 第 3 题图 分析：延长 EA，与 CD 的延长线交于 P 点，则△APD∽△EPF∽△BPC． 【答案】 20 13 4.已知 C 是线段 AB 的黄金分割点(AC＞BC）， 则 AC∶BC = () A．( 5 －1)∶2 B．（ 5 +1）∶2 C．（3－ 5 ）∶2 D．（3+ 5 ）∶2 【答案】 B 5.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在 BC 边上取一点 D，使 BD＝BA，连接 AD.求证： （1）△ADC∽△BAC； （2）点 D 是 BC 的黄金分割点. 证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠C＝36°， ∵BD＝BA， ∴∠BAD＝72°，∠CAD＝36°， ∴∠CAD＝∠B， ∵∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BAC；
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ (2)∵△ADC∽△BAC AC BC CD AC AC2=BC·CD ∵AC≡AB=BD, ∴BD2=BC·CD, 点D是BC的黄金分割点 6.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(0点)20米的 A点,沿A所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短 了多少米? O BN 分析:如右图,由于AC∥BD∥OP,故有△MAC∽△MOP,△NBD∽△NOP,然后可由相似 三角形的性质求解 解:∵∠MAC=∠MOP=90° ∠AMC=∠OMP, △MAC∽△MOP MO OP 即 MA1.6 20+MA8 解得MA=5米; 同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米, 小明的身影变短了5-1.5=3.5米 【教学说明】解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建 立适当的数学模型来解答问题. 7.如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作 于G,分别交CE及 BA的延长线于F、H,求证: (1)DG2=BG·CG;(2)BG·CG=GF·GH. 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （2）∵△ADC∽△BAC， ∴ AC BC CD AC = ， ∴AC2＝BC·CD， ∵AC＝AB＝BD， ∴BD2＝BC·CD， ∴点 D 是 BC 的黄金分割点. 6.如图，路灯（P 点）距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点）20 米的 A 点，沿 AO 所在的直线行走 14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短 了多少米？ 分析：如右图，由于 AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，然后可由相似 三角形的性质求解. 解：∵∠MAC=∠MOP=90°， ∠AMC=∠OMP， ∴△MAC∽△MOP． 解得 MA=5 米； 同理，由△NBD∽△NOP，可求得 NB=1.5 米， ∴小明的身影变短了 5-1.5=3.5 米． 【教学说明】解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建 立适当的数学模型来解答问题. 7.如图，BD、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过 D 作 DG⊥BC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H，求证： （1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 证明:(1)DG为Rt△BCD斜边上的高, Rt△ BDGo Rt△DCG CG DG DG BG ∴∠ABC+∠H=90°, ∴CE⊥AB, ∠ABC+∠ECB=90 ∴∠ABC+∠H=∠ABC+∠ECB ∠H=∠ECB 又∠HGB=∠FGC=90°, ∴Rt△HBG∽Rt△CFG BG GH GF GO 8.如图:AD∥EG∥BC,EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G,已知AD=6,BC=10, AE=3,AB=5,求EG、FG的长 分析:在△ABC中,根据平行线分线段成比例求出EG,在△BAD中,根据平行线 分线段成比例求出EF,即可求出FG=EGEF 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 证明：（1）DG 为 Rt△BCD 斜边上的高， ∴Rt△BDG∽Rt△DCG． ∴ CG DG DG BG ＝ ，即 DG2＝BG·CG． （2）∵DG⊥BC， ∴∠ABC＋∠H＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠ABC＋∠ECB＝90°． ∴∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB． ∴∠H＝∠ECB． 又∠HGB＝∠FGC＝90°， ∴Rt△HBG∽Rt△CFG． ∴BG·GC＝GF·GH． 8.如图：AD∥EG∥BC，EG 分别交 AB、DB、AC 于点 E、F、G，已知 AD=6，BC=10， AE=3，AB=5，求 EG、FG 的长． 分析：在△ABC 中，根据平行线分线段成比例求出 EG，在△BAD 中，根据平行线 分线段成比例求出 EF，即可求出 FG=EG-EF．
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 解:△ABC中,EG∥BC EG AE BC=10,AE=3,AB=5 EG=6 在△BAD中,EF∥AD AD AB AD=6.AE=3.AB=5 EF5-3 EF= FG=EG-EF≈18 【教学说明】进一步加深对知识的理解,体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同 时,学会归纳概括和总结,积累学习经验,为今后的学习奠定基础. 五、师生互动,课堂小结 通过本节课的学习,你有哪些收获?还存在哪些疑惑? 课后作业 布置作业:教材“复习题3”中第3、6、7、10、13、15题 教学反思 通过本节课的学习,使学生能够掌握用图形相似的有关知识解决实际问题.经过这些习 题的练习,使学生能够将本章的内容很好地揉合在一起 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同 时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础. 五、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？ 课后作业 布置作业:教材“复习题 3”中第 3、6、7、10、13、15 题. 教学反思 通过本节课的学习，使学生能够掌握用图形相似的有关知识解决实际问题.经过这些习 题的练习，使学生能够将本章的内容很好地揉合在一起