免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 2.3一元二次方程根的判别式 教学目标 【知识与技能】 能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行有关的推理论证 【过程与方法】 经历思考、探究过程,发展总结归纳能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 【情感态度】 积极参与数学活动,对其产生好奇心和求知欲 【教学重点】 能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行有关的推理论证 【教学难点】 从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的b2-4ac的情况与根的情况的关 教学过程 情景导入,初步认知 同学们,我们已经学会了怎么解一元二次方程,对吗?那么,现在老师这儿还有一手绝 活,就是:我随便拿到一个一元二次方程的题目,我不用具体地去解它,就能很快知道它的 根的大致情况,不信呀!同学们可以随便地出两个题考考我 【教学说明】这样设计,能马上激发学生的学习兴趣和求知欲,为后面发现结论创造 个最佳的心理状态 二、思考探究,获取新知 1.问题:什么是求根公式?它有什么作用? 2观察求根公式x==b±√b-4c 回答下列问题: (1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有几个根? (2)当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根? (3)当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根? 3.综上所知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况是由b2-4ac来判断的. 【归纳结论】我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“△”表示 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2.3 一元二次方程根的判别式 教学目标 【知识与技能】 能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 【过程与方法】 经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 【情感态度】 积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲. 【教学重点】 能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 【教学难点】 从具体题目来推出一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）的 b 2 -4ac 的情况与根的情况的关 系. 教学过程 一、情景导入，初步认知 同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝 活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的 根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我. 【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一 个最佳的心理状态. 二、思考探究，获取新知 1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？ 2.观察求根公式 2 4 2 b b ac x a = － － 回答下列问题： （1）当 b 2 -4ac>0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有几个根？ （2）当 b 2 -4ac=0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有几个根？ （3）当 b 2 -4ac<0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有几个根？ 3.综上所知，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）的根的情况是由 b 2 -4ac 来判断的. 【归纳结论】我们把 b 2 -4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 即:△=b2-4ac (1)当△=b2-4ac>0时,一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实数根即 b+√b-4ac b√b-4ac x (2)当△=b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根 (3)当△=b2-4ac0 所以,原方程有两个不相等的实数根 (2)将原方程化为一般形式,得 4x2-12x+9=0 因为△=b2-4ac=(-12)2-4×4×9 所以,原方程有两个相等的实数根 (3)将原方程化为一般形式,得 因为△=b2-4ac=(-7)2-4×5×5 =-51<0 所以,原方程没有实数根 【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理 性认识,真正体验自己发现结论的成功乐趣 三、运用新知,深化理解 1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根,则p与q的关系是 【答案】p2-4q=0 2.若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3,则p,q的值分别为 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 即：Δ=b2 -4ac ⑴当Δ=b2 -4ac>0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即 2 1 4 2 b b ac x a + = － － ， 2 2 4 2 b b ac x a = － － － . ⑵当Δ=b2 -4ac=0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根. ⑶当Δ=b2 -4ac0 所以，原方程有两个不相等的实数根. （2）将原方程化为一般形式，得 4x2 -12x+9=0 因为Δ=b2 -4ac=(-12)2-4×4×9 =0 所以，原方程有两个相等的实数根. （3）将原方程化为一般形式，得 5y2 -7y+5=0 因为Δ=b2 -4ac=(-7)2 -4×5×5 =-51<0 所以，原方程没有实数根. 【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理 性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣. 三、运用新知，深化理解 1.已知方程 x 2 +px+q=0 有两个相等的实根，则 p 与 q 的关系是． 【答案】 p 2 -4q=0 2.若方程 x 2 +px+q=0 的两个根是-2 和 3，则 p，q 的值分别为
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 【答案】-1,-6 3.判断下列方程是否有解: (1)5x2-2=6x(2)3x2+2x+1=0 解析:演算或口算出b2-4ac,从而判断是否有根 解:(1)有(2)没有 4.不解方程,判定方程根的情况 (1)16x2+8x=3(2)9x2+6x+1=0 (3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0 分析:不解方程,判定根的情况,只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进 行分析即可. 解:(1)化为16x2+8x+3=0 这里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-1280 ∴方程有两个不相等的实根. (4)a=1,b=-7,c=-18 b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0 ∴方程有两个不相等的实根. 5若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含 a的式子表示) 分析:要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、 负或0.因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1) <0就可求出a的取值范围 解:∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根 (-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【答案】 -1，-6 3.判断下列方程是否有解： （1）5x2 -2=6x（2）3x2 +2x+1=0 解析：演算或口算出 b 2－4ac，从而判断是否有根 解：（1）有（2）没有 4.不解方程，判定方程根的情况. （1）16x2 +8x=-3（2）9x2 +6x+1=0 （3）2x2 -9x+8=0（4）x 2 -7x-18=0 分析：不解方程，判定根的情况，只需用 b 2 -4ac 的值大于 0、小于 0、等于 0 的情况进 行分析即可． 解：（1）化为 16x2 +8x+3=0 这里 a=16，b=8，c=3，b 2 -4ac=64-4×16×3=-1280 ∴方程有两个不相等的实根． （4）a=1，b=-7，c=-18 b 2 -4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0 ∴方程有两个不相等的实根． 5.若关于 x 的一元二次方程（a-2）x 2 -2ax+a+1=0 没有实数解，求 ax+3>0 的解集（用含 a 的式子表示）． 分析：要求 ax+3>0 的解集，就是求 ax>-3 的解集，那么就转化为要判定 a 的值是正、 负或 0．因为一元二次方程（a-2）x 2 -2ax+a+1=0 没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1） <0 就可求出 a 的取值范围． 解：∵关于 x 的一元二次方程（a-2）x 2 -2ax+a+1=0 没有实数根． ∴（-2a） 2 -4（a-2）（a+1）=4a2 -4a2 +4a+8<0
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ ∴ax+3>0即ax>-3,∴x0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△0,即Δ>0 所以,关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根.即抛物线y=x2+px+q与x轴有 两个交点 【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识,培养学生自觉学习的习惯,同时对学 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴a0 即 ax>-3,∴x<-3/a ∴所求不等式的解集为 x<-3/a 6.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +2x+m=0． （1）当 m=3 时，判断方程的根的情况； （2）当 m=-3 时，求方程的根． 分析：（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式Δ=b2－4ac 的值的符号即可 判断：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0， 方程没有实数根. （2）把 m 的值代入方程，用因式分解法求解即可. 解：（1）∵当 m=3 时，Δ=b2 -4ac=22 -4×3=-8＜0， ∴原方程无实数根. （2）当 m=-3 时，原方程变为 x 2 +2x-3=0， ∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0. ∴x1=1，x 2 =-3. 7.已知一元二次方程 x 2 +px+q+1=0 的一根为 2． (1)求 q 关于 p 的关系式； (2)求证：抛物线 y=x 2 +px+q 与 x 轴有两个交点． 分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，把 x=2 代入已知方程即可求得 q 关于 p 的关 系式； （2）由关于 x 的方程 x 2 +px+q=0 的根的判别式的符号来证明抛物线 y=x 2 +px+q 与 x 轴有 两个交点． 解：（1）∵一元二次方程 x 2 +px+q+1=0 的一根为 2， ∴4+2p+q+1=0， 即 q=-2p-5； （2）证明：令 x 2 +px+q=0．则Δ=p 2 -4q=p2 -4（-2p-5）=（p+4） 2 +4＞0，即Δ＞0， 所以，关于 x 的方程 x 2 +px+q=0 有两个不相等的实数根．即抛物线 y=x 2 +px+q 与 x 轴有 两个交点． 【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 有余力的学生留出自由的发展空间 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充 课后作业 布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题 教学反思 本节课的教学坚持从学生实际出发,以学生为主体,注重对新理念的贯彻和教学方法的 使用:在突破难点时,多种方法并用,注意培养自学能力;坚持当堂训练,例题、练习的设 计针对性强,重点突出,对方法的总结言简意赅;学生能够积极、主动的参与,充分经历了 知识的形成、发展与应用的过程,在这个过程中掌握了知识,形成了技能,发展了思维;教 学效果很好! 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 有余力的学生留出自由的发展空间. 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业:教材“习题 2.3”中第 1、2、3 题. 教学反思 本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的 使用；在突破难点时，多种方法并用，注意培养自学能力；坚持当堂训练，例题、练习的设 计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够积极、主动的参与，充分经历了 知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握了知识，形成了技能，发展了思维；教 学效果很好！