1.6完全平方公式 学习目标 1.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算;(重点) 2.灵活运用完全平方公式进行计算.(难点) 数学过程 、情境导入 计算: (1)(x+1)2(2)(x-1)2 (3)(a+b)2(4)(a-b)2 由上述计算,你发现了什么结论? 二、合作探究 探究点:完全平方公式 【类型一】直接运用完全平方公式进行计算 1利用完全平方公式计算: (1)(5-a)2 (2)(-3m-4n)2; (3)(-3a+b)2 解析:直接运用完全平方公式进行计算即可 解:(1)(5-a)2=25-10a+a2 (2)(-3m-4n)2=9m2+24m+16m2 (3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2 方法总结:完全平方公式:(ab)2=a2±2mb+b2可巧记为“首平方,末平方,首末两倍 中间放” 【类型二】利用完全平方公式求字母的值 例2如果36x2+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式,求m的值 解析:先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式确定m的值 解:∵36x2+(m+1)xy+25y2=(6x)2+(m+1)xgy+(5y)2,∴(m+1)x=±26x5y,∴m+1 ±60,∴m=59或-61 方法总结:两数的平方和加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积 的2倍的符号,避免漏解 【类型三】灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值 3]若(x+y)2=9,且(x-y)2=1
1．6 完全平方公式 1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算；(重点) 2．灵活运用完全平方公式进行计算．(难点) 一、情境导入 计算： (1)(x＋1)2; (2)(x－1)2 ； (3)(a＋b) 2; (4)(a－b) 2 . 由上述计算，你发现了什么结论？ 二、合作探究 探究点：完全平方公式 【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算 利用完全平方公式计算： (1)(5－a) 2 ； (2)(－3m－4n) 2 ； (3)(－3a＋b) 2 . 解析：直接运用完全平方公式进行计算即可． 解：(1)(5－a) 2＝25－10a＋a 2 ； (2)(－3m－4n) 2＝9m2＋24mn＋16n 2 ； (3)(－3a＋b) 2＝9a 2－6ab＋b 2 . 方法总结：完全平方公式：(a±b) 2＝a 2±2ab＋b 2 .可巧记为“首平方，末平方，首末两倍 中间放”． 【类型二】 利用完全平方公式求字母的值 如果 36x 2＋(m＋1)xy＋25y 2 是一个完全平方式，求 m 的值． 解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定 m 的值． 解：∵36x 2＋(m＋1)xy＋25y 2＝(6x) 2＋(m＋1)xy＋(5y) 2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1 ＝±60，∴m＝59 或－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积 的 2 倍的符号，避免漏解． 【类型三】 灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值 若(x＋y) 2＝9，且(x－y) 2＝1
的值 (2)求(x2+1)(y2+1)的值 解析:(1)先去括号,再整体代入即可求出答案;(2)先变形,再整体代入,即可求出答 案 解:(1)∵(x+y)2=9,(x-y)2=1,∴x2+2x+y2=9,x2-2y+y2=1,∴4xy=9-1=8 x2+y2(x+y)2-2x9-2×25 xy (2)∵(x+y)2=9,xy=2,∴(x2+1)0y2+1)=x3y2+y2+x2+1=xy2+(x+y)2-2xy+1=22 9-2×2+1=10 方法总结:所求的展开式中都含有xy或x+y时,我们可以把它们看作一个整体代入到 需要求值的代数式中,整体求解 【类型四】完全平方公式的几何背景 例4我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释 些代数恒等式,例如图甲可以用来解释(a+b)2-(a-b)2=4ab那么通过图乙面积的计算, 验证了一个恒等式,此恒等式是() A B(a-b)(a+2b)=a+ab-2b C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a+b)2=a2+2ab+b2 解析:空白部分的面积为(a-b)2,还可以表示为a2-2ab+b,所以此等式是(a-b)= a2-2ab+b2故选C 方法总结:通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释 【类型五】与完全平方公式有关的探究问题 例5下表为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如(a+by(n为正整数) 展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出(a+b)5展开式中所缺的系数 (a+b)2=a+b, (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(1)求 1 x 2＋ 1 y 2的值； (2)求(x 2＋1)(y 2＋1)的值． 解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答 案． 解：(1)∵(x＋y) 2＝9，(x－y) 2＝1，∴x 2＋2xy＋y 2＝9，x 2－2xy＋y 2＝1，∴4xy＝9－1＝8， ∴xy＝2，∴ 1 x 2＋ 1 y 2＝ x 2＋y 2 x 2 y 2 ＝ （x＋y）2－2xy x 2 y 2 ＝ 9－2×2 2 2 ＝ 5 4 ； (2)∵(x＋y) 2＝9，xy＝2，∴(x 2＋1)(y 2＋1)＝x 2 y 2＋y 2＋x 2＋1＝x 2 y 2＋(x＋y) 2－2xy＋1＝2 2 ＋9－2×2＋1＝10. 方法总结：所求的展开式中都含有 xy 或 x＋y 时，我们可以把它们看作一个整体代入到 需要求值的代数式中，整体求解． 【类型四】 完全平方公式的几何背景 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释 一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b) 2－(a－b) 2＝4ab.那么通过图乙面积的计算， 验证了一个恒等式，此恒等式是( ) A．a 2－b 2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a 2＋ab－2b 2 C．(a－b) 2＝a 2－2ab＋b 2 D．(a＋b) 2＝a 2＋2ab＋b 2 解析：空白部分的面积为(a－b) 2，还可以表示为 a 2－2ab＋b 2，所以此等式是(a－b) 2＝ a 2－2ab＋b 2 .故选 C. 方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 【类型五】 与完全平方公式有关的探究问题 下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b) n (n 为正整数) 展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b) 6 展开式中所缺的系数． (a＋b) 1＝a＋b， (a＋b) 2＝a 2＋2ab＋b 2， (a＋b) 3＝a 3＋3a 2b＋3ab2＋b 3
则(a+b)=a+6ab+15a4b2+ a3b3+15a2b4+6ab5+b6 解析:由(a+b)}=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b,可得a +b)"的各项展开式的系数除首尾两项都是1外,其余各项系数都等于(a+b)1的相邻两个 系数的和,由此可得(a+b)的各项系数依次为1、4、6、4、1;(a+b)5的各项系数依次为1 5、10、10、5、1,因此(a+b)°的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1故填20 方法总结:对于规律探究题,读懂题意并根据所给的式子寻找规律,是快速解题的关键 三、板书设计 1.完全平方公式: 两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍 (a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2 2.完全平方公式的应用 数学反思 本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式,让学生自己总结出完全平方公式的特征, 注意不要出现如下错误:(a+b)2=a2+b,(a-b)2=a2-b2为帮助学生记忆完全平方公式, 可采用如下口诀:首平方,尾平方,乘积两倍在中央.教学中,教师可通过判断正误等习题 强化学生对完全平方公式的理解记忆
则(a＋b) 6＝a 6＋6a 5b＋15a 4b 2＋________a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab5＋b 6 . 解析：由(a＋b) 1＝a＋b，(a＋b) 2＝a 2＋2ab＋b 2，(a＋b) 3＝a 3＋3a 2b＋3ab2＋b 3，可得(a ＋b) n 的各项展开式的系数除首尾两项都是 1 外，其余各项系数都等于(a＋b) n－1 的相邻两个 系数的和，由此可得(a＋b) 4 的各项系数依次为 1、4、6、4、1；(a＋b) 5 的各项系数依次为 1、 5、10、10、5、1，因此(a＋b) 6 的各项系数分别为 1、6、15、20、15、6、1.故填 20. 方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键． 三、板书设计 1．完全平方公式： 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍． (a＋b) 2＝a 2＋2ab＋b 2 ；(a－b) 2＝a 2－2ab＋b 2 . 2．完全平方公式的应用 本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征， 注意不要出现如下错误：(a＋b) 2＝a 2＋b 2，(a－b) 2＝a 2－b 2 .为帮助学生记忆完全平方公式， 可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题 强化学生对完全平方公式的理解记忆