1.5平方差公式 学习目标 1.掌握平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的理解:(重点) 2.掌握平方差公式的应用.(重点) 数学过程 、情境导入 1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则. 学生积极举手回答 多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以 另一个多项式的每一项,再把所得的积相加 2.教师肯定学生的表现,并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘—平方差公式 二、合作探究 探究点:平方差公式 【类型一】直接运用平方差公式进行计算 例1利用平方差公式计算 (1)(3x-53x+5) (2)(-2a-b)(b-2a) (3)(-7m+8n)(-8n-7m); (4)(x-2)(x+2)(x2+4) 解析:直接利用平方差公式进行计算即可 解:(1)(3x-5)(3x+5)=(3x)2-52=9x2-25: (2)(-2a-b)(b-2a)=(-2a)2-b2=4a2-b2; (3)(-7m+8n)(-8n-7m)=(-7m)2-(8n)2=49m2-64m2; (4)(x-2)(x+2)(x2+4)=(x2-4)(x2+4)=x4-16 方法总结:应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1)左边是两个二项式相乘, 并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相 反项的平方;(3)公式中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式 【类型二】利用平方差公式进行简便运算 2利用平方差公式计算 (1201×192:(2132×128 解析:(1把202×19写成(20+×(20-2),然后利用平方差公式进行计算;(2把 13.2×12.8写成(13+0.2)×(13-0.2),然后利用平方差公式进行计算
1．5 平方差公式 1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点) 2．掌握平方差公式的应用．(重点) 一、情境导入 1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则． 学生积极举手回答． 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式． 二、合作探究 探究点：平方差公式 【类型一】 直接运用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (4)(x－2)(x＋2)(x 2＋4)． 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x) 2－5 2＝9x 2－25； (2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a) 2－b 2＝4a 2－b 2 ； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m) 2－(8n) 2＝49m2－64n 2 ； (4)(x－2)(x＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘， 并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相 反项的平方；(3)公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 【类型二】 利用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式计算： (1)201 3 ×192 3 ； (2)13.2×12.8. 解析：(1)把 201 3 ×192 3 写成(20＋ 1 3 )×(20－ 1 3 )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把 13.2×12.8 写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
解:(12093×193=(20+3×(20-3=202-(3)=400-9=399 (2)13.2×128=(13+0.2)×(13-02)=132-022=169-004=16896 方法总结:熟记平方差公式的结构是解题的关键 【类型三】化简求值 例3]先化简,再求值:(2x-y0y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2 解析:利用平方差公式展开并合并同类项,然后把x、y的值代入进行计算即可得解 解:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5 当x=1,y=2时,原式=5×12-5×22=-15 方法总结:利用平方差公式先化简再求值,切忌代入数值直接计算 【类型四】平方差公式的几何背景 囹4如图①,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部 分拼成一个梯形(如图②),利用这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是 解析:∵图①中阴影部分的面积是a2-b2,图②中梯形的面积是(2a+2b)a-b)=(a+ b)(a-b),a2-b2=(a+b)a-b),即可验证的乘法公式为(a+b)(a-b)=a2-b2 方法总结:通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释 【类型五】平方差公式的实际应用 例5王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大 妈说:“我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续原价租给你,你看如何?”李 大妈一听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么? 解析:根据题意先求出原正方形的面积,再求岀改变边长后的面积,然后比较二者的大 小即可. 解:李大妈吃亏了.理由如下:原正方形的面积为a2,改变边长后面积为a+4)a-4) =a2-16.∵a2>a2-16,∴李大妈吃亏了 方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列出算式,然后根据公式化简解决问题 、板书设计 1.平方差公式: 两数和与这两数差的积等于它们的平方差,即(a+b)(a-b)=a2-b2 2.平方差公式的应用 教学反思
解：(1)201 3 ×192 3 ＝(20＋ 1 3 )×(20－ 1 3 )＝202－( 1 3 ) 2＝400－ 1 9 ＝3998 9 ； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键． 【类型三】 化简求值 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2. 解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把 x、y 的值代入进行计算即可得解． 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2 )＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－5y 2 . 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×1 2－5×2 2＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算． 【类型四】 平方差公式的几何背景 如图①，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形(a＞b)，把剩下部 分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________． 解析：∵图①中阴影部分的面积是 a 2－b 2，图②中梯形的面积是1 2 (2a＋2b)(a－b)＝(a＋ b)(a－b)，∴a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2 . 方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释． 【类型五】 平方差公式的实际应用 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大 妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李 大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大 小即可． 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a 2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4) ＝a 2－16.∵a 2＞a 2－16，∴李大妈吃亏了． 方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题． 三、板书设计 1．平方差公式： 两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2 . 2．平方差公式的应用
学生通过“做一做”发现平方差公式,同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确 性.通过这两种方式的演算,让学生理解平方差公式.本节教学内容较多,因此教材中的练 习可以让学生在课后完成
学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确 性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练 习可以让学生在课后完成