两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角和余角 等习国标一 1.理解并掌握对顶角的概念及性质,会用对顶角的性质解决一些实际问题; 2.理解并掌握补角和余角的概念及性质,会运用其解决一些实际问题,(重点,难点) 数学过程 、情境导入 如图,若把剪刀看成是两条相交的直线构成的,那么形成的角中小于平角的角有几个, 你能发现它们之间的联系吗? 二、合作探究 探究点一:对顶角及其性质 【类型一】对顶角的概念 1下列图形中,∠1与∠2是对顶角的是( B C 解析:选项A中的两个角的顶点没有公共;选项B、D中的两个角的两边没有在互为 反向延长线的两条直线上,只有选项C中的两个角符合对顶角的定义.故选C 方法总结:对顶角是由两条相交直线构成的,只有两条直线相交时,才能构成对顶角 【类型二】直接运用对顶角的性质求角度 2如图,直线AB、CD,EF相交于点O,∠1=40°,∠BOC=110°,求∠2的度 F B 解析:结合图形,由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数,根据“对顶角相等”可得∠2的 度数 解:因为∠1=40°,∠BOC=110°(已知),所以∠BOF=∠BOC-∠1=110-40°
2．1 两条直线的位置关系 第 1 课时 对顶角、补角和余角 1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题； 2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．(重点，难点) 一、情境导入 如图，若把剪刀看成是两条相交的直线构成的，那么形成的角中小于平角的角有几个， 你能发现它们之间的联系吗？ 二、合作探究 探究点一：对顶角及其性质 【类型一】 对顶角的概念 下列图形中，∠1 与∠2 是对顶角的是( ) 解析：选项 A 中的两个角的顶点没有公共；选项 B、D 中的两个角的两边没有在互为 反向延长线的两条直线上，只有选项 C 中的两个角符合对顶角的定义．故选 C. 方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角． 【类型二】 直接运用对顶角的性质求角度 如图，直线 AB、CD，EF 相交于点 O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2 的度 数． 解析：结合图形，由∠1 和∠BOC 求得∠BOF 的度数，根据“对顶角相等”可得∠2 的 度数． 解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°
70°因为∠BOF=∠2(对顶角相等),所以∠2=70°(等量代换) 方法总结:两条相交直线构成对顶角,这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论在 图形中正确找到对顶角,利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系,然后结合已知条 件进行转化 探究点二:补角和余角 【类型一】利用补角和余角计算求值 例3己知∠A与∠B互余,且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,求∠B的度数 解析:根据∠A与∠B互余,得出∠A+∠B=90°,再由∠A的度数比∠B度数的3倍还 多30°,从而得到∠A=3∠B+30°,再把两个算式联立即可求出∠2的值 解:∵∠A与∠B互余,∴∠A+∠B=90°又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30° ∴设∠B=x,∴∠A=3∠B+30°=3x+30°,∴3x+30°+x=90°,解得x=15°,故∠B 的度数为15° 方法总结:此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问 题,利用方程来解决 【类型二】补角、余角和角平分线的综合计算 例4如图,已知∠AOB在∠AOC内部,∠BOC=90°,OM、ON分别是∠AOB,∠ AOC的平分线,∠AOB与∠COM互补,求∠BON的度数 解析:根据补角的性质,可得∠AOB+∠COM=180°根据角的和差,可得∠AOB+ ∠BOM=90°根据角平分线的性质,可得∠BOM=∠AOB根据解方程,可得∠AOB的度 数.根据角的和差,可得答案 解:∵∠AOB与∠COM互补,∴∠AOB+∠COM=180°,即∠AOB+∠BOM+∠COB 180°.∵∠COB=90°,∴∠AOB+∠BOM=90°∵OM是∠AOB的平分线,∴∠BOM 5∠AOB,即∠AOB+,∠AOB=90°,解得∠AOB=60°,∴∠AOC=∠BOC+∠A0OB 90°+60°=150°∵ON平分∠AOC得∠AON=∠AOC=×150°=75°由角的和差,∴∠ BON=∠AON-∠AOB=75°-60°=15° 方法总结:本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识,利用了补角的性质,角的和 差,角平分线的性质进行计算,解决问题一定要结合图形认真分析,做到数形结合
＝70°.因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)． 方法总结：两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在 图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条 件进行转化． 探究点二：补角和余角 【类型一】 利用补角和余角计算求值 已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多 30°，求∠B 的度数． 解析：根据∠A 与∠B 互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还 多 30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2 的值． 解：∵∠A 与∠B 互余，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多 30°， ∴设∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°，∴3x＋30°＋x＝90°，解得 x＝15°，故∠B 的度数为 15°. 方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问 题，利用方程来解决． 【类型二】 补角、余角和角平分线的综合计算 如图，已知∠AOB 在∠AOC 内部，∠BOC＝90°，OM、ON 分别是∠AOB，∠ AOC 的平分线，∠AOB 与∠COM 互补，求∠BON 的度数． 解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°.根据角的和差，可得∠AOB＋ ∠BOM＝90°.根据角平分线的性质，可得∠BOM＝ 1 2 ∠AOB.根据解方程，可得∠AOB 的度 数．根据角的和差，可得答案． 解：∵∠AOB 与∠COM 互补，∴∠AOB＋∠COM＝180°，即∠AOB＋∠BOM＋∠COB ＝180°.∵∠COB＝90°，∴∠AOB＋∠BOM＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，∴∠BOM ＝ 1 2 ∠AOB，即∠AOB＋ 1 2 ∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝ 90°＋60°＝150°.∵ON 平分∠AOC 得∠AON＝ 1 2 ∠AOC＝ 1 2 ×150°＝75°.由角的和差，∴∠ BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°. 方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和 差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．
【类型三】补角和余角的性质 例5如图,将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起 (1)如图①,若CE是∠ACD的角平分线,那么CD是∠ECB的角平分线吗?并简述理 (2)如图②,若∠ECD=a,CD在∠BCE的内部,请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等? 简述理由; (3)在(2)的条件下,请问∠ECD与∠ACB的和是多少?并简述理由 图① 解析:(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD=90°,∠ECB=90°再根据角平分线的 定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可12)∠ACE与∠DCB相等根据“等角的余角相等 即可得到答案;(3)根据角的和差关系进行等量代换即可 解:(1)CD是∠ECB的角平分线,理由如下:∵∠ACD=90°,CE是∠ACD的角平分 线,∴∠ECD=45°∵∠ECB=90°,∴∠DCB=90°-45°=45°,∴∠ECD=∠DCB, CD是∠ECB的角平分线; (2)∠ACE=∠DCB理由如下:∵∠ACD=90°,∠BCE=90°,∠ECD=a,∴∠ACE 90°-a,∠DCB=90 ∠ACE=∠DCB (3)∠ECD+∠ACB=180°理由如下:∠ECD+∠ACB=∠ECD+∠ACE+∠ECB ∠ACD+∠ECB=90°+90°=180° 方法总结:此题主要查考了角的计算,关键是根据图形分清角之间的和差关系 板书设计 1.对顶角相等 2.同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等 数学反思 本节课学习了对顶角及其性质.教学中可让学生自己画这些角,结合图形说出对顶角的 特征.对顶角的识别是易错点,可以结合例题进行练习,让学生在学习中不断纠错,不断进
【类型三】 补角和余角的性质 如图，将一副直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起． (1)如图①，若 CE 是∠ACD 的角平分线，那么 CD 是∠ECB 的角平分线吗？并简述理 由； (2)如图②，若∠ECD＝α，CD 在∠BCE 的内部，请你猜想∠ACE 与∠DCB 是否相等？ 并简述理由； (3)在(2)的条件下，请问∠ECD 与∠ACB 的和是多少？并简述理由． 解析：(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD＝90°，∠ECB＝90°.再根据角平分线的 定义计算出∠ECD和∠DCB 的度数即可；(2)∠ACE 与∠DCB 相等，根据“等角的余角相等” 即可得到答案；(3)根据角的和差关系进行等量代换即可． 解：(1)CD 是∠ECB 的角平分线．理由如下：∵∠ACD＝90°，CE 是∠ACD 的角平分 线，∴∠ECD＝45°.∵∠ECB＝90°，∴∠DCB＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠DCB， ∴CD 是∠ECB 的角平分线； (2)∠ACE＝∠DCB.理由如下：∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠ECD＝α，∴∠ACE ＝90°－α，∠DCB＝90°－α，∴∠ACE＝∠DCB； (3)∠ECD＋∠ACB＝180°.理由如下：∠ECD＋∠ACB＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB＝ ∠ACD＋∠ECB＝90°＋90°＝180°. 方法总结：此题主要查考了角的计算，关键是根据图形分清角之间的和差关系． 三、板书设计 1．对顶角相等； 2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等． 本节课学习了对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角的 特征．对顶角的识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不断进 步