4.5利用三角形全等测距离 学司目标 1.复习并归纳三角形全等的判定及性质 2.能够根据三角形全等测定两点间的距离,并解决实际问题.(重点,难点) 数学过程 情境导入 如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳 子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意: 先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC 连接BC并延长到E,使CE=CB连接DE并测量出它的长度,你知道其中的道理吗? 合作探究 探究点:利用三角形全等测量距离 【类型一】利用三角形全等测量物体的高度 囹1小强为了测量一幢高楼高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P测得旗杆顶C视 线PC与地面夹角∠DPC=36°,测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°,量得P到楼 底距离PB与旗杆高度相等,等于10米,量得旗杆与楼之间距离为DB=36米,小强计算出 了楼高,楼高AB是多少米? 解析:根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA),进而利用AB=DP=DB-PB求出即可 解:∵∠CPD=36°,∠APB=54 CDP=∠ABP=90°,∴∠DCP=∠APB=54 在△CPD和△PAB中,∵∠CDP=∠ABP,DC=PB,∠DCP=∠APB,∴△CPD≌△ PAB(ASA),∴DP=AB.∴DB=36米,PB=10米,∴AB=36-10=26(米) 答:楼高AB是26米 方法总结:在现实生活中会遇到一些难以直接测量的距离问题,可以利用三角形全等将 这些距离进行转化,从而达到测量目的 【类型二】利用三角形全等测量物体的内径 囹2要测量圆形工件的外径,工人师傅设计了如图所示的卡钳,点O为卡钳两柄交点, 且有OA=OB=OC=OD,如果圆形工件恰好通过卡钳AB,则此工件的外径必是CD的长
4．5 利用三角形全等测距离 1．复习并归纳三角形全等的判定及性质； 2．能够根据三角形全等测定两点间的距离，并解决实际问题．(重点，难点) 一、情境导入 如图，A、B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A，B 间的距离，但绳 子不够长．他叔叔帮他出了一个这样的主意： 先在地上取一个可以直接到达 A 点和 B 点的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD＝AC. 连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB.连接 DE 并测量出它的长度，你知道其中的道理吗？ 二、合作探究 探究点：利用三角形全等测量距离 【类型一】 利用三角形全等测量物体的高度 小强为了测量一幢高楼高 AB，在旗杆 CD 与楼之间选定一点 P.测得旗杆顶 C 视 线 PC 与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶 A 视线 PA 与地面夹角∠APB＝54°，量得 P 到楼 底距离 PB 与旗杆高度相等，等于 10 米，量得旗杆与楼之间距离为 DB＝36 米，小强计算出 了楼高，楼高 AB 是多少米？ 解析：根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA)，进而利用 AB＝DP＝DB－PB 求出即可． 解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°. 在△CPD 和△PAB 中，∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，∴△CPD≌△ PAB(ASA)，∴DP＝AB.∵DB＝36 米，PB＝10 米，∴AB＝36－10＝26(米)． 答：楼高 AB 是 26 米． 方法总结：在现实生活中会遇到一些难以直接测量的距离问题，可以利用三角形全等将 这些距离进行转化，从而达到测量目的． 【类型二】 利用三角形全等测量物体的内径 要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点 O 为卡钳两柄交点， 且有 OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳 AB，则此工件的外径必是 CD 的长
其中的依据是全等三角形的判定条件( A A. Sss B. SAS C. ASa D. AAS 解析:如图,连接AB、CD在△ABO和△DCO中,OA=OD,∠AOB=∠DOC,OB OC,∴△ABO≌△ DCO(SAS),∴AB=CD故选 方法总结:利用全等三角形的对应边来测量不能直接测量的距离,关键是构造全等三角 形 【类型三】与三角形全等测量距离相关的方案设计问题 例3]如图所示,有一池塘,要测量池塘两端A、B的距离,请用构造全等三角形的方 法,设计一个测量方案(画出图形),并说明测量步骤和依据 解析:本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法,设计时,只要符合全等三角形 全等的条件,方案具有可操作性,需要测量的线段在陆地一侧可实施,就可以达到目的 解:在平地任找一点O,连OA、OB,延长AO至C使CO=AO,延BO至D,使DO BO,则CD=AB,依据是△AOB≌△ COD(SAS) 方法总结:在解决方案设计探究问题时,符合条件的方案设计往往有多种,解题的关键 在于通过分析,将实际问题转化为数学模型,构造出全等三角形进行解决. 【类型四】利用三角形全等解决实际问题 囹4如图,工人师傅要在墙壁的O处用钻头打孔,要使孔口从墙壁对面的B点处打开, 墙壁厚是35cm,B点与O点的铅直距离AB长是20cm,工人师傅在旁边墙上与AO水平的 线上截取OC=35cm,画CD⊥OC,使CD=20cm,连接OD,然后沿着DO的方向打孔 结果钻头正好从B点处打出,这是什么道理呢?请你说出理由 解析:由OC与地面平行确定了AOC三点在同一条直线上通过说明△AOB≌△COD 可得D,O,B三点在同一条直线上 解:∵OC=35cm,墙壁厚OA=35cm,∴OC=OA.∵墙体是垂直的,∴∠OAB=90°
其中的依据是全等三角形的判定条件( ) A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 解析：如图，连接 AB、CD.在△ABO 和△DCO 中，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝ OC，∴△ABO≌△DCO(SAS)，∴AB＝CD.故选 B. 方法总结：利用全等三角形的对应边来测量不能直接测量的距离，关键是构造全等三角 形． 【类型三】 与三角形全等测量距离相关的方案设计问题 如图所示，有一池塘，要测量池塘两端 A、B 的距离，请用构造全等三角形的方 法，设计一个测量方案(画出图形)，并说明测量步骤和依据． 解析：本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形 全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的． 解：在平地任找一点 O，连 OA、OB，延长 AO 至 C 使 CO＝AO，延 BO 至 D，使 DO ＝BO，则 CD＝AB，依据是△AOB≌△COD(SAS)． 方法总结：在解决方案设计探究问题时，符合条件的方案设计往往有多种，解题的关键 在于通过分析，将实际问题转化为数学模型，构造出全等三角形进行解决． 【类型四】 利用三角形全等解决实际问题 如图，工人师傅要在墙壁的 O 处用钻头打孔，要使孔口从墙壁对面的 B 点处打开， 墙壁厚是 35cm，B 点与 O 点的铅直距离 AB 长是 20cm，工人师傅在旁边墙上与 AO 水平的 线上截取 OC＝35cm，画 CD⊥OC，使 CD＝20cm，连接 OD，然后沿着 DO 的方向打孔， 结果钻头正好从 B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由． 解析：由OC与地面平行，确定了A，O，C三点在同一条直线上，通过说明△AOB≌△COD 可得 D，O，B 三点在同一条直线上． 解：∵OC＝35cm，墙壁厚 OA＝35cm，∴OC＝OA.∵墙体是垂直的，∴∠OAB＝90°
又∵CD⊥OC,∴∠OAB=∠OCD=90°在△OAB和△OCD中,∠OAB=∠OCD=90°, OC=OA,∠AOB=∠COD,∴△OAB≌△ OCD(ASA),∴DC=AB.∵DC=20cm,∴AB 20cm,∴钻头正好从B点出打出 三、板书设计 1.利用全等三角形测量距离的依据 SAS”“ASA”“AAS” 2.运用三角形全等解决实际问题 数学反思 通过实例引入课堂教学,激发学生的探究兴趣,从而了解到全等三角形在实际生活中的 应用.在小组间的合作探究过程中,要鼓励学生大胆设想,充分展开联想,对三角形全等的 利用进行深层的探究与学习,培养学生的创造性和独立解决问题的能力
又∵CD⊥OC，∴∠OAB＝∠OCD＝90°.在△OAB 和△OCD 中，∠OAB＝∠OCD＝90°， OC＝OA，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD(ASA)，∴DC＝AB.∵DC＝20cm，∴AB＝ 20cm，∴钻头正好从 B 点出打出． 三、板书设计 1．利用全等三角形测量距离的依据 “SAS”“ASA”“AAS” 2．运用三角形全等解决实际问题 通过实例引入课堂教学，激发学生的探究兴趣，从而了解到全等三角形在实际生活中的 应用．在小组间的合作探究过程中，要鼓励学生大胆设想，充分展开联想，对三角形全等的 利用进行深层的探究与学习，培养学生的创造性和独立解决问题的能力