第2课时垂线 1.理解并掌握垂线的概念及性质,了解点到直线的距离 2.能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题.(重点,难点) 教学心程 一、情境导入 如图是教室的一幅图片,黑板相邻两边的夹角等于多少度?这样的两条边所在的直线有 什么位置关系? 、合作探究 探究点一:垂线 【类型一】运用垂线的概念求角度 如图,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,∠BOE=∠NOE,若∠EON=20° 求∠AOM和∠NOC的度数 解析:要求∠AOM的度数,可先求它的余角∠COM由已知∠EON=20°,结合∠BOE ∠NOE,即可求得∠BON再根据“对顶角相等”即可求得∠COM的度数;要求∠NOC的 度数,根据邻补角的定义即可 解:∵∠BOE=∠NOE,∴∠BON=2∠EON=2×20°=40°,∴∠MOC=180°-∠BON 180°-40°=140°,∠MOC=∠BON=40°∴∵AO⊥BC,∴∠AOC=90°,∴∠AOM= ∠AOC-∠MOC=90°-40°=50°,∴∠NOC=140°,∠AOM=50° 方法总结:(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中,每一 角都等于90°;(2)在相交线中求角度,一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识 【类型二】运用垂线的概念判定两直线垂直 囹2如图所示,已知OA⊥OC于点O,∠AOB=∠COD试判断OB和OD的位置关系, 并说明理由
第 2 课时 垂 线 1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离； 2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．(重点，难点) 一、情境导入 如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有 什么位置关系？ 二、合作探究 探究点一：垂 线 【类型一】 运用垂线的概念求角度 如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°， 求∠AOM 和∠NOC 的度数． 解析：要求∠AOM 的度数，可先求它的余角∠COM.由已知∠EON＝20°，结合∠BOE ＝∠NOE，即可求得∠BON.再根据“对顶角相等”即可求得∠COM 的度数；要求∠NOC 的 度数，根据邻补角的定义即可． 解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON ＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝ ∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°. 方法总结：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个 角都等于 90°；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识． 【类型二】 运用垂线的概念判定两直线垂直 如图所示，已知 OA⊥OC 于点 O，∠AOB＝∠COD.试判断 OB 和 OD 的位置关系， 并说明理由．
O 解析:由于OA⊥OC,根据垂直的定义,可知∠AOC=90°,即∠AOB+∠BOC=90° 又∠AOB=∠COD,则∠COD+∠BOC=90°,即∠BOD=90°再根据垂直的定义,得出 OB⊥OD 解:OB⊥OD.理由如下:因为OA⊥OC,所以∠AOC=90°,即∠AOB+∠BOC=90° 因为∠AOB=∠COD,所以∠COD+∠BOC=90°,所以∠BOD=90°,所以OB⊥OD 方法总结:由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角,反过来,由两条直 线相交构成的角为直角,可得这两条直线互相垂直.判断两条直线垂直最基本的方法就是说 明这两条直线的夹角等于90° 探究点二:垂线的性质(垂线段最短) 例3]如图所示,修一条路将A,B两村庄与公路MN连起来,怎样修才能使所修的公 路最短?画出线路图,并说明理由 解析:连接AB,过点B作BC⊥MN即可 解:连接AB,作BC⊥MN,C是垂足,线段AB和BC就是符合题意的线路图.因为从 A到B,线段AB最短,从B到MN,垂线段BC最短,所以AB+BC最短 方法总结:与垂线段有关的作图,一般是过一点作已知直线的垂线,作图的依据是“垂 线段最短” 探究点三:点到直线的距离 4如图,AC⊥BC,AC=3,BC=4,AB=5 (1)试说出点A到直线BC的距离:点B到直线AC的距离 (2)点C到直线AB的距离是多少? 解析:(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长;点B到直线AC的距离就是线段
解析：由于 OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°. 又∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°.再根据垂直的定义，得出 OB⊥OD. 解：OB⊥OD.理由如下：因为 OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°. 因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以 OB⊥OD. 方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直 线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说 明这两条直线的夹角等于 90°. 探究点二：垂线的性质(垂线段最短) 如图所示，修一条路将 A，B 两村庄与公路 MN 连起来，怎样修才能使所修的公 路最短？画出线路图，并说明理由． 解析：连接 AB，过点 B 作 BC⊥MN 即可． 解：连接 AB，作 BC⊥MN，C 是垂足，线段 AB 和 BC 就是符合题意的线路图．因为从 A 到 B，线段 AB 最短，从 B 到 MN，垂线段 BC 最短，所以 AB＋BC 最短． 方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂 线段最短”． 探究点三：点到直线的距离 如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5. (1)试说出点 A 到直线 BC 的距离；点 B 到直线 AC 的距离； (2)点 C 到直线 AB 的距离是多少？ 解析：(1)点 A 到直线 BC 的距离就是线段 AC 的长；点 B 到直线 AC 的距离就是线段
BC的长;(2过点C作CD⊥AB,垂足为D点C到直线AB的距离就是线段CD的长,可利 用面积求得 解:(1)点A到直线BC的距离是3:点B到直线AC的距离是4; (2)过点C作CD⊥AB,垂足为DS△C=2BC·4C=24B·CD,所以5CD=3×4,所以 12 CD=所以点C到直线AB的距离为 方法总结:点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线,垂线段的长度才是这一点到 直线的距离 三、板书设计 1.垂线的概念 两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直,其中 条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足 2.垂线的作法 3.垂线的性质: 平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 数学反思 本节课学习了垂线的概念和垂线的性质,垂直是相交的一种特殊情况,要说明两条相交 线的位置关系,一般都是垂直.垂线的两条性质中,不要遗漏条件“在同一平面内”,以保 证定理的精确性.对于垂线的概念和性质,要让学生理解记忆
BC 的长；(2)过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.点 C 到直线 AB 的距离就是线段 CD 的长，可利 用面积求得． 解：(1)点 A 到直线 BC 的距离是 3；点 B 到直线 AC 的距离是 4； (2)过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.S△ABC＝ 1 2 BC·AC＝ 1 2 AB·CD，所以 5CD＝3×4，所以 CD＝ 12 5 .所以点 C 到直线 AB 的距离为12 5 . 方法总结：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到 直线的距离． 三、板书设计 1．垂线的概念： 两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中 一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2．垂线的作法 3．垂线的性质： 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交 线的位置关系，一般都是垂直．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保 证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆