第3课时三角形的中线、角平分线、高 学司目标 1.掌握三角形的中线、角平分线、高的定义:(重点) 2.能够准确地画出三角形的中线、角平分线和高,并能够对其进行简单的应用.(难点) 教学心程 一、情境导入 这里有一块三角形的蛋糕,如果兄弟两个想要平分的话,你该怎么办呢?本节我们一起 来解决这个问题 二、合作探究 探究点一:三角形的中线 【类型一】应用三角形的中线求线段的长 1在△ABC中,AC=5cm,AD是△ABC的中线,若△ABD的周长比△ADC的周长 大2cm,则BA 解析:如图,AD是△ABC的中线,∴BD=CD,△ABD的周长-△ADC的周长=(BA +BD+AD)-(AC+AD+CD)=BA·AC=BA-5cm=2cm,BA=7cm故答案为7cm 方法总结:通过本题要理解三角形的中线的定义,解决问题的关键是将△ABD与△ADC 的周长之差转化为边长的差 【类型二】利用中线解决三角形的面积问题 2如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC, △ADF和△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF和S△BEF,且S△ABC= S△ADF-S△BEF 解析::点D是C的中点,:AD=1C:SBC=12,:SAmD=1sm=1×12=6∵EC =2BE,SABC=12,∴SABE=3 sabc=3×12=4.∴SABD-S≈ABE=(S△ADF+SABF)-(SABF+Ss
第 3 课时 三角形的中线、角平分线、高 1．掌握三角形的中线、角平分线、高的定义；(重点) 2．能够准确地画出三角形的中线、角平分线和高，并能够对其进行简单的应用．(难点) 一、情境导入 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起 来解决这个问题． 二、合作探究 探究点一：三角形的中线 【类型一】 应用三角形的中线求线段的长 在△ABC 中，AC＝5cm，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长 大 2cm，则 BA＝________. 解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC＝BA－5cm＝2cm，∴BA＝7cm.故答案为 7cm. 方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差． 【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC， △ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC＝12，则 S△ADF－S△BEF＝ ________． 解析：∵点 D 是 AC 的中点，∴AD＝ 1 2 AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ 1 2 S△ABC＝ 1 2 ×12＝6.∵EC ＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ 1 3 S△ABC＝ 1 3 ×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△
BE)=S△ADF-S△BEF,即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2故答案为2 方法总结:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分;高相等时,面积的比等于底 边的比;底相等时,面积的比等于高的比 探究点二:三角形的角平分线 3如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE 0°,求∠ADB的度数 解析:根据AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°得出∠BAD=30°再利用CE是△ABC 的高,∠BCE=40°,得出∠B的度数,进而得出∠ADB的度数 解:∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,∴∠DAC=∠BAD=30°∵CE是△ABC 的高,∠BCE=40°,∴∠B=50°,∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-30°-50 方法总结:通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法,同时此类问题往往和三 角形的高综合考查 探究点三:三角形的高 【类型一】三角形高的画法 4作△ABC的边AB上的高,下列作法中,正确的是() 解析:从三角形的顶点向它的对边引垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.过点 C作边AB的垂线段,即作AB边上的高CD,所以作法正确的是D故选D 方法总结:三角形任意一边上的高必须满足:(1)过该边所对的顶点;(2)垂足必须在该
BEF)＝S△ADF－S△BEF，即 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为 2. 方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底 边的比；底相等时，面积的比等于高的比． 探究点二：三角形的角平分线 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB 的度数． 解析：根据 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°.再利用 CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°，得出∠B 的度数，进而得出∠ADB 的度数． 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50° ＝100°. 方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三 角形的高综合考查． 探究点三：三角形的高 【类型一】 三角形高的画法 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是( ) 解析：从三角形的顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．过点 C 作边 AB 的垂线段，即作 AB 边上的高 CD，所以作法正确的是 D.故选 D. 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该
边或在该边的延长线上 【类型二】根据三角形的面积求高 团例5如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,且AD=4,若 点P在边AC上移动,则BP的最小值为 解析:根据“垂线段最短”,当BP⊥AC时,BP有最小值.由△ABC的面积公式可知 ADBC==BPAC,解得 故答案为 方法总结:解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积求三角形的高,这种解题方法 通常称为“面积法 【类型三】三角形的内角与角平分线、高的综合运用 6在△ABC中,∠A=5∠B=∠ACB,CD是△ABC的高,CE是∠ACB的角平分 线,求∠DCE的度数 解析:根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB,利用三角形的内角和求出∠A,再求 出∠ACB然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD最后根据角平分线的定义求出∠ACE 即可 解:∵∠A=∠B=∠ACB,设∠A=x,∴∠B=2x,∠ACB=3x∴∵∠A+∠B+∠ACB 180°,∴x+2x+3x=180°,解得x=30°,∴∠A=30°,∠ACB=90°∵CD是△ABC 的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=90°-30°=60°∵CE是∠ACB的角平分线,∴∠ACE ×90°=45°,∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-45°=15 方法总结:本题是常见的几何计算题,解题的关键是利用三角形的内角和定理和直角三 角形两锐角互余性质,找出角与角之间的关系并结合图形解答 三、板书设计 1.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足间的线段叫做
边或在该边的延长线上． 【类型二】 根据三角形的面积求高 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若 点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为________． 解析：根据“垂线段最短”，当 BP⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知 1 2 AD·BC＝ 1 2 BP·AC，解得 BP＝ 24 5 .故答案为24 5 . 方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法 通常称为“面积法”． 【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用 在△ABC 中，∠A＝ 1 2 ∠B＝ 1 3 ∠ACB，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分 线，求∠DCE 的度数． 解析：根据已知条件用∠A 表示出∠B 和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求 出∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE 即可． 解：∵∠A＝ 1 2 ∠B＝ 1 3 ∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB ＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD 是△ABC 的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°－30°＝60°.∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝ 1 2 ×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°. 方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和直角三 角形两锐角互余性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答． 三、板书设计 1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三
角形的高 2.三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 3.三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,连接这个角 的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线 教学反思 本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入,让学生意识到数学与实际生活的密切联 系,明确数学来源于实践应用于实践,进而学习用数学方法解决实际问题.然后从画图入手 分三种情况,即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,培养学生分类讨论思想.同时,可 以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象,然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及 表示方法,最后通过例题进一步巩固
角形的高． 2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 3．三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角 的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线． 本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联 系，明确数学来源于实践应用于实践，进而学习用数学方法解决实际问题．然后从画图入手， 分三种情况，即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生分类讨论思想．同时，可 以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及 表示方法，最后通过例题进一步巩固