6.2频率的稳定性 学习目标 1.理解频率和概率的意义 2.了解频率与概率的关系,能够用频率估计某一事件的概率.(重点,难点) 数学过程 、情境导入 养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼),先 捕上100条做上标记,然后放回塘里,过了一段时间,待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后, 再捕上100条,发现其中带标记的鱼有10条,塘里大约有鱼多少条? 二、合作探究 探究点一:频率的稳定性 例1在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共60个,除颜色外其他完全相同.小 明通过多次摸球试验后发现,其中摸到红色球的频率稳定在25%左右,则口袋中红色球可 能有() A.5个B.10个C.15个D.45个 解析:∵摸到红色球的频率稳定在25%左右,口袋中红色球的频率为25%,故红球的 个数为60×25%=15(个).故选C 方法总结:频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小,在大量重复试验 的条件下才可以近似地作为这个事件的概率.解题时由“频数=数据总数×频率”计算即 探究点二:用频率估计概率 【类型一】用频率估计概率 例2为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大,小明做了大量重复试验,发现钉尖着 地的次数是实验总次数的40%,下列说法错误的是() A.钉尖着地的频率是04 B.随着试验次数的增加,钉尖着地的频率稳定在04附近 钉尖着地的概率约为04
6．2 频率的稳定性 1．理解频率和概率的意义； 2．了解频率与概率的关系，能够用频率估计某一事件的概率．(重点，难点) 一、情境导入 养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先 捕上 100 条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后， 再捕上 100 条，发现其中带标记的鱼有 10 条，塘里大约有鱼多少条？ 二、合作探究 探究点一：频率的稳定性 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共 60 个，除颜色外其他完全相同．小 明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在 25%左右，则口袋中红色球可 能有( ) A．5 个 B．10 个 C．15 个 D．45 个 解析：∵摸到红色球的频率稳定在 25%左右，∴口袋中红色球的频率为 25%，故红球的 个数为 60×25%＝15(个)．故选 C. 方法总结：频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，在大量重复试验 的条件下才可以近似地作为这个事件的概率．解题时由“频数＝数据总数×频率”计算即 可． 探究点二：用频率估计概率 【类型一】 用频率估计概率 为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着 地的次数是实验总次数的 40%，下列说法错误的是( ) A．钉尖着地的频率是 0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在 0.4 附近 C．钉尖着地的概率约为 0.4
D.前20次试验结束后,钉尖着地的次数一定是8次 解析:A钉尖着地的频率是0.4,故此选项说法正确;B.随着试验次数的增加,钉尖着 地的频率稳定在04,故此选项说法正确;C∵钉尖着地的频率是θ.4,∴钉尖着地的概率大 约是0.4,故此选项说法正确;D前20次试验结束后,钉尖着地的次数应该在8次左右,故 此选项说法错误.故选D. 【类型二】利用频率估计球的个数 例3王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀,让若干学生进行 摸球实验,每次摸出一个球(有放回),下表是活动进行中的一组统计数据(结果保留两位小 摸球的次数n 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 31 60 130 203 摸到黑球的频率0230.210300.26 0.25 (1)补全上表中的有关数据,根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 (2)估算袋中白球的个数 解析:(1)用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率 即可;(2)根据概率公式列出方程求解即可 解:(1)251-1000≈0.25∴大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到025附近,∴估计 从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 (2)设袋中白球为x个, 答:估计袋中有3个白球 方法总结:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m 种结果,那么事件A的概率P(A)=" 【类型三】利用频率折线图估计概率 囹4一粒木质中国象棋棋子“車”,它的正面雕刻一个“車”字,它的反面是平的, 将棋子从一定高度下抛,落地反弹后可能是“車”字面朝上,也可能是“車”字朝下.由于 棋子的两面不均匀,为了估计“車”字朝上的机会,某实验小组做了棋子下抛实验,并把实 验数据整理如下(结果保留两位小数) 实验 40 120 140160 次数 朝上的 47 相应的 0.700.450.630.590.520.550.56
D．前 20 次试验结束后，钉尖着地的次数一定是 8 次 解析：A.钉尖着地的频率是 0.4，故此选项说法正确；B.随着试验次数的增加，钉尖着 地的频率稳定在 0.4，故此选项说法正确；C.∵钉尖着地的频率是 0.4，∴钉尖着地的概率大 约是 0.4，故此选项说法正确；D.前 20 次试验结束后，钉尖着地的次数应该在 8 次左右，故 此选项说法错误．故选 D. 【类型二】 利用频率估计球的个数 王老师将 1 个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行 摸球实验，每次摸出一个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据(结果保留两位小 数)： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率m n 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 ____ (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ________； (2)估算袋中白球的个数． 解析：(1)用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率 即可；(2)根据概率公式列出方程求解即可． 解：(1)251÷1000≈0.25.∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到 0.25 附近，∴估计 从袋中摸出一个球是黑球的概率是 0.25； (2)设袋中白球为 x 个， 1 1＋x ＝0.25，x＝3. 答：估计袋中有 3 个白球． 方法总结：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P(A)＝ m n . 【类型三】 利用频率折线图估计概率 一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的， 将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下．由于 棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实 验数据整理如下(结果保留两位小数)： 实验 次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “車”字 朝上的 频数 14 18 38 47 52 ____ 78 88 相应的 0.70 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.56 ____
频率 0.4 20406080100120140160实验次数 (1)请将表中数据补充完整,并画出折线统计图中剩余部分 (2)如果实验继续进行下去,根据上表数据,这个实验的频率将接近于该事件发生的概 率,请估计这个概率约是多少? 解析:(1)根据表中信息,用频数除以实验次数,得到频率,由于试验次数较多,可以 用频率估计概率.描点连线,可得折线图;(2根据表中数据,试验频率为0.70,0.45,0.63, 0.59,0.52,0.55,0.56,0.55稳定在0.55左右,即可估计概率的大小 解:(1)120×0.55=66,88:160=0.55,故所填数字为66,0.55:补全折线图如下 0.4 20406080100120140160实验次数 (2)如果实验继续进行下去,根据上表数据,这个实验的频率将接近于该事件发生的概 率,这个概率约是0.55 方法总结:用频率估计概率时,一般观察所计算的各频率数值的变化趋势,即观察各数 值主要接近在哪个数附近,这个常数就是所求概率的估计值 【类型四】利用概率解决实际问 囹5某批篮球质量检验结果如下 抽取的篮球数n40060080011000100 优等品频数m「376570744940112 优等品频率m (1)填写表中优等品的频率 (2)这批篮球优等品的概率估计值是多少? 解析:(1)根据表中信息,用优等品频数m除以抽取的篮球数n即可;(2)根据表中数据, 优等品频率为094,0.95,0.93,094,0.舛4,稳定在0.94左右,即可估计这批篮球优等品 的概率 解:(1)50=095 744 940 1128 0.94,故表中依次填0.95,0.93,094, 800 1000
频率 (1)请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分； (2)如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的概 率，请估计这个概率约是多少？ 解析：(1)根据表中信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以 用频率估计概率．描点连线，可得折线图；(2)根据表中数据，试验频率为 0.70，0.45，0.63， 0.59，0.52，0.55，0.56，0.55 稳定在 0.55 左右，即可估计概率的大小． 解：(1)120×0.55＝66，88÷160＝0.55，故所填数字为 66，0.55；补全折线图如下； (2)如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的概 率，这个概率约是 0.55. 方法总结：用频率估计概率时，一般观察所计算的各频率数值的变化趋势，即观察各数 值主要接近在哪个数附近，这个常数就是所求概率的估计值． 【类型四】 利用概率解决实际问题 某批篮球质量检验结果如下： 抽取的篮球数 n 400 600 800 1000 1200 优等品频数 m 376 570 744 940 1128 优等品频率 m/n 0.94 ____ ____ ____ ____ (1)填写表中优等品的频率； (2)这批篮球优等品的概率估计值是多少？ 解析：(1)根据表中信息，用优等品频数 m 除以抽取的篮球数 n 即可；(2)根据表中数据， 优等品频率为 0.94，0.95，0.93，0.94，0.94，稳定在 0.94 左右，即可估计这批篮球优等品 的概率． 解：(1)570 600＝0.95， 744 800＝0.93， 940 1000＝0.94， 1128 1200＝0.94，故表中依次填 0.95，0.93，0.94
0.94; (2)这批篮球优等品的概率估计值是0.94 三、板书设计 频率及其稳定性 在大量重复试验的情况下,事件的频率会呈现稳定性,即频率会在一个常数附近摆动随 着试验次数的增加,摆动的幅度有越来越小的趋势. 2.用频率估计概率 一般地,在大量重复实验下,随机事件A发生的频率会稳定到某一个常数p,于是,我 们用p这个常数表示随机事件A发生的概率,即P(4)=p 数学反思 教学过程中,学生通过对比频率与概率的区别,体会到两者间的联系,从而运用其解决 实际生活中遇到的问题,使学生感受到数学与生活的紧密联系
0.94； (2)这批篮球优等品的概率估计值是 0.94. 三、板书设计 1．频率及其稳定性： 在大量重复试验的情况下，事件的频率会呈现稳定性，即频率会在一个常数附近摆动．随 着试验次数的增加，摆动的幅度有越来越小的趋势． 2．用频率估计概率： 一般地，在大量重复实验下，随机事件 A 发生的频率会稳定到某一个常数 p，于是，我 们用 p 这个常数表示随机事件 A 发生的概率，即 P(A)＝p. 教学过程中，学生通过对比频率与概率的区别，体会到两者间的联系，从而运用其解决 实际生活中遇到的问题，使学生感受到数学与生活的紧密联系