第3课时角平分线的性质 1.经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理;(重点) 2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.(难点) 教学心程 一、情境导入 问题:在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P点建两 条路,一条到公路,一条到铁路 问题1:怎样修建道路最短? 问题2:往哪条路走更近呢? 公路∥护铁路 合作探究 探究点一:角平分线的性质 【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等 例如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC 上,∠FDC=∠BDE试说明:(1)CF=EB:(2MB=AF+2EB 解析:(1)根据角平分线的性质,可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离,即DE =DC再根据△CDF≌△EDB,得CF=EB;(2)利用角平分线的性质可得△ADC和△ADE全 等,从而得到AC=AE,然后通过线段之间的相互转化进行求解 解:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC∴在△CDF和△EDB ∠C=∠DEB=90°, 中,∵DC=DE, ∴△CDF≌△EDB(ASA).∴CF=EB; ∠FDC=∠BDE (2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴∠CAD=∠EAD,∠ACD=∠AED
第 3 课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在 S 区有一个集贸市场 P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从 P 点建两 条路，一条到公路，一条到铁路． 问题 1：怎样修建道路最短？ 问题 2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，∠FDC＝∠BDE.试说明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB. 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点 D 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离，即 DE ＝DC.再根据△CDF≌△EDB，得 CF＝EB；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全 等，从而得到 AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行求解． 解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△CDF 和△EDB 中，∵ ∠C＝∠DEB＝90°， DC＝DE， ∠FDC＝∠BDE， ∴△CDF≌△EDB(ASA)．∴CF＝EB； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴∠CAD＝∠EAD，∠ACD＝∠AED
∠CAD=∠EAD, =90°在△ADC和△ADE中,∠ACD=∠AED,∴△ADC≌ AD=AD △ADE(AAS),∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB 方法总结:角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在运用时一定要注意是两 条垂线段相等 【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用 例2如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=7,DE=2,AB=4, 则AC的长是() A.6B.5C.4D.3 解析:过点D作DF⊥AC于F∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DF=DE=2, S△ABC=÷×4×2+AC×2=7,解得AC=3.故选D 方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出 线段的长度是常用的方法 【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合 3如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂 足分别为E,F试说明:CE=CF 解析:由△DEC≌△DFC得出CD平分∠EDF,根据角平分线的性质,得出CE=CF 解:∵CD是∠ACG的平分线,∴∠ECD=∠FCD在△DEC和△DFC中,∵ ∠DEC=∠DFC=90° ∠ECD=∠FCD, DC=DC, ∴△DEC≌△DFC(AAS),∠EDC=∠FDC又∵DE⊥AC,DF⊥CG,∴CE=CF 方法总结:全等三角形的判定离不开边而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据
＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵ ∠CAD＝∠EAD， ∠ACD＝∠AED， AD＝AD， ∴△ADC≌ △ADE(AAS)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB. 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两 条垂线段相等． 【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4， 则 AC 的长是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F.∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2， ∴S△ABC＝ 1 2 ×4×2＋ 1 2 AC×2＝7，解得 AC＝3.故选 D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出 线段的长度是常用的方法． 【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合 如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂 足分别为 E，F.试说明：CE＝CF. 解析：由△DEC≌△DFC 得出 CD 平分∠EDF，根据角平分线的性质，得出 CE＝CF. 解：∵CD 是∠ACG 的平分线，∴∠ECD＝∠FCD. 在△DEC 和△DFC 中，∵ ∠DEC＝∠DFC＝90°， ∠ECD＝∠FCD， DC＝DC， ∴△DEC≌△DFC(AAS)，∠EDC＝∠FDC.又∵DE⊥AC，DF⊥CG，∴CE＝CF. 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据
可作为判定三角形全等的条件 【类型四】角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用 4如图,在四边形ADBC中,AB与CD互相垂直平分,垂足为点O (1)找出图中相等的线段 (2)OE,OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段,试说明它们的大小有什么关系 解析:(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段;(2)由条件可得△AOC≌△AOD,可 得AO平分∠DAC,根据角平分线的性质可得OE=OF 解:(1)∵AB、CD互相垂直平分,∴OC=OD,AO=OB,AC=BC=AD=BD (2)DE=OF,理由如下:在△AOC和△AOD中,OC=OD,△AOC≌△AODS AO=AO ∴∠CAO=∠DAO又∵OE⊥AC,OF⊥AD,∴OE=OF 方法总结:本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合,掌握它们的适用条 件和表示方法是解题的关键 【类型五】魚平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题 5如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是∠ABC的平分线, DE⊥BC,垂足为D (1)请你写出图中所有的等腰三角形; (2)请你判断AD与BE垂直吗?并说明理由 (3)如果BC=10,求AB+AE的长 解析:()由△ABC是等腰直角三角形,BE为角平分线,可得△ABE≌△DBE,即AB =BD,AE=DE,所以△ABD和△ADE均为等腰三角形.由∠C=45°,ED⊥DC,可知△EDC 也是等腰三角形12)BE是∠ABC的平分线AE⊥ABDE⊥BC根据角平分线定理可知△ABE 关于BE与△DBE对称,可御出BE⊥AD;(3)根据2),可知△ABE关于BE与△DBE对称 且△DEC为等腰直角三角形,可推出AB+AE=BD+DC=BC=10
可作为判定三角形全等的条件． 【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用 如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O. (1)找出图中相等的线段； (2)OE，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系． 解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可得△AOC≌△AOD，可 得 AO 平分∠DAC，根据角平分线的性质可得 OE＝OF. 解：(1)∵AB、CD 互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，AC＝BC＝AD＝BD； (2)OE＝OF，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵ AC＝AD， OC＝OD， AO＝AO， ∴△AOC≌△AOD(SSS)， ∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF. 方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条 件和表示方法是解题的关键． 【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE 是∠ABC 的平分线， DE⊥BC，垂足为 D. (1)请你写出图中所有的等腰三角形； (2)请你判断 AD 与 BE 垂直吗？并说明理由． (3)如果 BC＝10，求 AB＋AE 的长． 解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可得△ABE≌△DBE，即 AB ＝BD，AE＝DE，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形．由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC 也是等腰三角形；(2)BE 是∠ABC 的平分线，AE⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE 关于 BE 与△DBE 对称，可得出 BE⊥AD；(3)根据(2)，可知△ABE 关于 BE 与△DBE 对称， 且△DEC 为等腰直角三角形，可推出 AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10
解:(1)△ABC,△ABD,△ADE,△EDC (2)4D与BE垂直.理由如下:由BE为∠ABC的平分线,知∠ABE=∠DBE又∵∠BAE ∠BDE=90°,BE=BE,∴△ABE沿BE折叠,一定与△DBE重合,∴A、D是对称点 ∴AD⊥BE (3)∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠DBE,∵DE⊥BC,EA⊥AB,∴∠BAE=∠BDE ∠ABE=∠DBE, 在△ABE和△DBE中,1∠BAE=∠BDE,∴△ABE≌△DBE(AAS,∴AB=BD,AE=DE BE=BE, 又∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠C=45°又∵ED⊥BC,∴△DCE为等 腰直角三角形,∴DE=DC=AE,即AB+AE=BD+DC=BC=10 探究点二:角平分线的画法 6如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E, F两点,再分别以E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP,交 CD于点M若∠ACD=120°,求∠MAB的度数 解析:根据AB∥CD,∠ACD=120°得出∠CAB=60°再根据尺规作图得出AM是∠CAB 的平分线,即可得出∠MAB的度数 解:∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180°又∵∠ACD=120°,∴∠CAB=60°由尺 规作图知AM是∠CAB的平分线,∴∠MAB=∠CAB=30° 方法总结:通过本题要掌握角平分线的作图步骤,根据作图明确AM是∠BAC的角平 分线是解题的关键 三、板书设计 1.角平分线的性质: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2.角平分线的作法 教学反思 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生对角以及 角平分线的性质的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较 好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生在性质的运用 上还存在问题,需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练
解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC； (2)AD 与 BE 垂直．理由如下：由 BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE ＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE 沿 BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A、D 是对称点， ∴AD⊥BE； (3)∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE＝∠DBE，∵DE⊥BC，EA⊥AB，∴∠BAE＝∠BDE. 在△ABE 和△DBE 中， ∠ABE＝∠DBE， ∠BAE＝∠BDE， BE＝BE， ∴△ABE≌△DBE(AAS)，∴AB＝BD，AE＝DE. 又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE 为等 腰直角三角形，∴DE＝DC＝AE，即 AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10. 探究点二：角平分线的画法 如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E， F 两点，再分别以 E、F 为圆心，大于1 2 EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP，交 CD 于点 M.若∠ACD＝120°，求∠MAB 的度数． 解析：根据 AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出 AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数． 解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°.由尺 规作图知 AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB＝ 1 2 ∠CAB＝30°. 方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确 AM 是∠BAC 的角平 分线是解题的关键． 三、板书设计 1．角平分线的性质： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 2．角平分线的作法 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及 角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较 好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用 上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练