第2课时线段垂直平分线的性质 学习目标 1.理解线段的垂直平分线的概念 2.掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理;(重点) 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.(难点) 情境导入 1.我们学过轴对称图形,这类图形因为具有轴对称的特征而显得匀称美丽.那么什么 样的图形是轴对称图形? 2.我们学过的图形中,有哪些图形是轴对称图形?线段是轴对称图形吗?如果是,它 的对称轴是什么? 合作探究 探究点一:线段垂直平分线的性质 【类型一】利用线段垂直平分线的性质进行证咀 例1如图,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连接AF试说明 ∠B=∠CAF 解析:由EF垂直平分AD,则可得AF=DF,进而再转化为角之间的关系,通过角之 间的关系转化,最终得出结论 解:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD∵EF垂直平分AD,∴AF=DF,∴∠ADF ∠DAF.∴∠ADF+∠ADB=180°,∠BAD+∠B+∠ADB=180°,∴∠ADF=∠B+ ∠BAD又∵∠DAF=∠CAF+∠CAD,∠BAD=∠CAD,∴∠B=∠CAF 方法总结:解题时,往往利用线段垂直平分线的性质得出线段相等,进而得出角相等, 这体现了数学的转化思想 【类型二】利用线段垂直平分线的性质进行判断 例2如图,已知AB是CD的垂直平分线,下列结论:①CO=DO;②AO=BO ③AB⊥CD;④CD⊥AB正确的有()
第 2 课时 线段垂直平分线的性质 1．理解线段的垂直平分线的概念； 2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点) 3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点) 一、情境导入 1．我们学过轴对称图形，这类图形因为具有轴对称的特征而显得匀称美丽．那么什么 样的图形是轴对称图形？ 2．我们学过的图形中，有哪些图形是轴对称图形？线段是轴对称图形吗？如果是，它 的对称轴是什么？ 二、合作探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 【类型一】 利用线段垂直平分线的性质进行证明 如图，AD 平分∠BAC，EF 垂直平分 AD 交 BC 的延长线于 F，连接 AF.试说明： ∠B＝∠CAF. 解析：由 EF 垂直平分 AD，则可得 AF＝DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之 间的关系转化，最终得出结论． 解：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵EF 垂直平分 AD，∴AF＝DF，∴∠ADF ＝∠DAF.∵∠ADF＋∠ADB＝180°，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，∴∠ADF＝∠B＋ ∠BAD.又∵∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAF. 方法总结：解题时，往往利用线段垂直平分线的性质得出线段相等，进而得出角相等， 这体现了数学的转化思想． 【类型二】 利用线段垂直平分线的性质进行判断 如图，已知 AB 是 CD 的垂直平分线，下列结论：①CO＝DO；②AO＝BO； ③AB⊥CD；④CD⊥AB.正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个 解析:因为AB是CD的垂直平分线所以AB垂直于CD且把CD分成相等的两部分所 以①CO=DO,③AB⊥CD,④CD⊥AB都正确,只有②AO=BO错误.故选C 方法总结:AB是CD的垂直平分线,它包含两个方面的含义:一是AB与CD垂直,二 是AB把CD分成相等的两部分.“垂直”是相互的,而“平分”是“单向”的 【类型三】与线段垂直平分线有关的计算 例3如图,DE是AC的垂直平分线,AB=12厘米,BC=10厘米,则△BCD的周长为 A.22厘米B.16厘米 C.26厘米D.25厘米 解析:要求△BCD的周长,已知BC的长度,只要求出BD+CD即可.根据线段垂直 平分线的性质得CD=AD,故△BCD的周长为BD+DC+BC=AD+BD+BC=AB+BC=12 +10=2(厘米).故选A 方法总结:此题主要考查线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的 两个端点的距离相等.对相等的线段进行转化是解答本题的关键 【类型四】线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合 例4如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE, 延长AE交BC的延长线于点F试说明:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD 解析:(1)根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF,再根据E是CD的中点可求出 △ADE≌△FCE,根据全等三角形的性质即可解答;(2)根据线段垂直平分线的性质判断出 AB=BF即可解答 解:(1)∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF∴E是CD的中点,∴DE=EC又∵∠AED=
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：因为 AB 是 CD 的垂直平分线，所以 AB 垂直于 CD，且把 CD 分成相等的两部分．所 以①CO＝DO，③AB⊥CD，④CD⊥AB 都正确，只有②AO＝BO 错误．故选 C. 方法总结：AB 是 CD 的垂直平分线，它包含两个方面的含义：一是 AB 与 CD 垂直，二 是 AB 把 CD 分成相等的两部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“单向”的． 【类型三】 与线段垂直平分线有关的计算 如图，DE 是 AC 的垂直平分线，AB＝12 厘米，BC＝10 厘米，则△BCD 的周长为 ( ) A．22 厘米 B．16 厘米 C．26 厘米 D．25 厘米 解析：要求△BCD 的周长，已知 BC 的长度，只要求出 BD＋CD 即可．根据线段垂直 平分线的性质得 CD＝AD，故△BCD 的周长为 BD＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12 ＋10＝22(厘米)．故选 A. 方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的 两个端点的距离相等．对相等的线段进行转化是解答本题的关键． 【类型四】 线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE， 延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.试说明：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD. 解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADC＝∠ECF ，再根据 E 是 CD 的中点可求出 △ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出 AB＝BF 即可解答． 解：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E 是 CD 的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝
∠CEF,∴△ADE≌△FCE,∴FC=AD (2)∵△ADE≌△FCE,∴E=EF,AD=CF又∵BE⊥AE,∴BE是线段AF的垂直平分 线,∴AB=BF=BC+CFAD=CF,∴AB=BC+AD 方法总结:此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段垂直平分线上的点 到线段两个端点的距离相等,利用它可以证明线段相等 探究点二:线段垂直平分线的作图 例5如图,某地由于居民增多,要在公路l边增加一个公共汽车站,A,B是路边两个 新建小区,这个公共汽车站C建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长(要求:尺 规作图,保留作图痕迹,不写画法)? A· 解析:作线段AB的垂直平分线,由垂直平分线的定理可知,垂直平分线上的点到A B的距离相等 解:连接AB,作AB的垂直平分线交直线l于O,交AB于E EO是线段AB的垂直平分线,∴点O到A,B的距离相等,∴这个公共汽车站C应 建在O点处,才能使到两个小区的路程一样长 方法总结:对于作图题首先要理解题意,弄清问题中对所作图形的要求,结合对应几何 图形的性质和基本作图的方法作图 三、板书设计 1.线段垂直平分线的定义 2.线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 数学反思 本节课学习了线段的垂直平分线的定义、性质、判定,由线段的垂直平分线的性质可以 得出线段相等:要判定线段的垂直平分线有两种方法:(1)根据定义;(2)根据判定定理.在 教学中,让学生主动参与,理解线段的垂直平分线的性质与判定的区别与联系.同时由线段 的垂直平分线的性质的教学渗透数学的转化思想
∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD； (2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE 是线段 AF 的垂直平分 线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD. 方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点 到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等． 探究点二：线段垂直平分线的作图 如图，某地由于居民增多，要在公路 l 边增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个 新建小区，这个公共汽车站 C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺 规作图，保留作图痕迹，不写画法)? 解析：作线段 AB 的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到 A， B 的距离相等． 解：连接 AB，作 AB 的垂直平分线交直线 l 于 O，交 AB 于 E. ∵EO 是线段 AB 的垂直平分线，∴点 O 到 A，B 的距离相等，∴这个公共汽车站 C 应 建在 O 点处，才能使到两个小区的路程一样长． 方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何 图形的性质和基本作图的方法作图． 三、板书设计 1．线段垂直平分线的定义 2．线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 本节课学习了线段的垂直平分线的定义、性质、判定，由线段的垂直平分线的性质可以 得出线段相等；要判定线段的垂直平分线有两种方法：(1)根据定义；(2)根据判定定理．在 教学中，让学生主动参与，理解线段的垂直平分线的性质与判定的区别与联系．同时由线段 的垂直平分线的性质的教学渗透数学的转化思想