5.3简单的轴对称图形 第1课时等腰三角形的性质 学司目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质:(重点) 2.经历等腰三角形的探究过程,能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题,(难点) 、情境导入 探究:如图所示,把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分,再把它展开得 到的△ABC有什么特点? 二、合作探究 探究点:等腰三角形的性质 【类型一】利用“等边对等角”求角度 囹1等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是() A.65°或50°B.80°或40° C.65°或80°D.50°或80° 解析:当50°的角是底角时,三角形的底角就是50°;当50°的角是顶角时,两底角相等 根据三角形的内角和定理易得底角是65°故选A 方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是 顶角,要分两种情况讨论 【类型二】利用方程思想求等腰三角形的角度 2如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角 的度数 解析:设∠A=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数
5．3 简单的轴对称图形 第 1 课时 等腰三角形的性质 1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点) 2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点) 一、情境导入 探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得 到的△ABC 有什么特点？ 二、合作探究 探究点：等腰三角形的性质 【类型一】 利用“等边对等角”求角度 等腰三角形的一个内角是 50°，则这个三角形的底角的大小是( ) A．65°或 50° B．80°或 40° C．65°或 80° D．50°或 80° 解析：当 50°的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50°的角是顶角时，两底角相等， 根据三角形的内角和定理易得底角是 65°.故选 A. 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是 顶角，要分两种情况讨论． 【类型二】 利用方程思想求等腰三角形的角度 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC＝AD，求△ABC 各角 的度数． 解析：设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
解:设∠A=x∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x.∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC∠A+ ∠ABD+∠ADB=180°,∠ADB+∠BDC=180°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x∵AB=AC, ∴∠ABC=∠BCD=2x在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴x+2x+2x=180° ∴x=36°,∴∠A=36°,∠ABC=∠ACB=72° 方法总结:利用等腰三角形的性质和三角形内角和可以得到角与角之间的关系,当这种 等量关系或和差关系较多时,可考虑列方程解答,设未知数时,一般设较小的角的度数为 【类型三】利用“等边对等角”的性质进行证明 例3如图,已知△ABC为等腰三角形,BD、CE为底角的平分线,且∠DBC=∠F,试 说明:EC∥DF 解析:先由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB,根据角平分线定义得到∠DBC=2 ABC,∠ECB=∠ACB那么∠DBC=∠ECB再由∠DBC=∠F等量代换得到∠ECB=∠F 于是根据平行线的判定得出EC∥DF. 解:∵△ABC为等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分 线,∴∠DBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,∴∠DBC=∠ECB∴∠DBC=∠F,∴∠ECB ∠F,∴EC∥DF. 方法总结:证明线段的平行关系,主要是通过证明角相等或互补 【类型四】利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明 4如图,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC 1)若AD=AE,如图①,试说明:BD=CE (2)若BD=CE,F为DE的中点,如图②,试说明:AF⊥BC 图① 解析:(1)过A作AG⊥BC于G根据等腰三角形的性质得出BG=CG,DG=EG即可得
解：设∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC.∵∠A＋ ∠ABD＋∠ADB＝180°，∠ADB＋∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x.∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC 中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°， ∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°. 方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形内角和可以得到角与角之间的关系，当这种 等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x. 【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明 如图，已知△ABC 为等腰三角形，BD、CE 为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，试 说明：EC∥DF. 解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC＝ 1 2 ∠ ABC，∠ECB＝ 1 2 ∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代换得到∠ECB＝∠F， 于是根据平行线的判定得出 EC∥DF. 解：∵△ABC 为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE 为底角的平分 线，∴∠DBC＝ 1 2 ∠ABC，∠ECB＝ 1 2 ∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB ＝∠F，∴EC∥DF. 方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补． 【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明 如图，点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC. (1)若 AD＝AE，如图①，试说明：BD＝CE； (2)若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，如图②，试说明：AF⊥BC. 解析：(1)过 A 作 AG⊥BC 于 G.根据等腰三角形的性质得出 BG＝CG，DG＝EG 即可得
出BD=CE;(2)先求出BF=CF,再根据等腰三角形的性质求解 解:(1)如图①,过A作AG⊥BC于G∵AB=AC,AD=AE,∴BG=CG,DG=EC ∴BG-DG=CG-EG,∴BD=CE (2)∵BD=CE,F为DE的中点,∴BD+DF=CE+EF,∴BF=CF∵AB=AC,∴AF ⊥BC 方法总结:在等腰三角形有关计算或证明中,会遇到些添加辅助线的问题,其顶角平 分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线 三、板书设计 1.等腰三角形的性质 等腰三角形是轴对称图形;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 (也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴;等腰三角形的两个底角相 2.运用等腰三角性质解题的一般思想方法 方程思想、整体思想和转化思想 教学反思 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认 识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识 掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解 不透彻,还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高
出 BD＝CE；(2)先求出 BF＝CF，再根据等腰三角形的性质求解． 解：(1)如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F 为 DE 的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF ⊥BC. 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平 分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 三、板书设计 1．等腰三角形的性质： 等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 (也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；等腰三角形的两个底角相 等． 2．运用等腰三角性质解题的一般思想方法： 方程思想、整体思想和转化思想． 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认 识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识 掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解 不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高