《数学文化》辅导资料（一） 数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学，山于实际的需要。数学在古代藏 产生了，现在己发展成一个分支众多的魔大系统。数学与其他科学一样，反碳了客观世界的规律， 并成为理解白然，改选白然的有力武暑。 对任何一们科学的理解。单有这门科学的具体知祖是不够的，那的你对这门科学的知识拿限 得足够丰富，还需受对这门学科的整体有正确的观点，需要了解这门学科的木质。我们的日的微 是从历史的、哲学的和文化的高度给出关于数学本板的一般概多。今从以下儿个方面来演这个问 题， 一“，数学与美 数学，具有至高无上的美一一正檬雕刻的美。是一种冷而严肃的美，它可以纯净到崇高的地 步，能够达到严格的只有最伟大的艺术家才能最示的事种完美的境地。 一一罗素 中国古代著名霄学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。”日本物理学家，话贝尔奖得主 汤川秀树把这两句话印在他的书的电页上，作为现代物理的着导思塑及最高美学原则。这两句话 也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学泉则。通过本讲座，我门将展璞数学精种的魅力， 刚递数学推理之妙谛。日数学之美的面妙是慢慢园开的，数学推理的妙谛是逐渐展观的。这涉及 到科学与艺术的关系，艺术与科学的联系是天然的，实际上，一切利学，雷学，数学和艺术的 研究对象不外平，天一大学谢：地，自然界及其中一切动植物一中学南；人一一最精密、最 完善的小字宙，既然科学和艺术的研究对像是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。著 名物理学家李政道说得好：“科学和艺术是不可分剂的，正像一枚规雨的西面。它们共同的基础 是人类的创选力。它门追求的目标都是真理的普商性。一 顺程指出，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是。史诗，音乐，造型《绘西， 建筑等)和数学，因而数学教育是审美素质教有的一部分， 数学迫求的日标是，从视袍中找出秩序，使经验升华为规律，将复条还原为基本。所有这些 都是美的标志，但长期以来，我门忽视对数学的美的散育。讲述数学之美有利于培养签绮力。值 得注意的是，在历史上，重大课题的选择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。侧如。正 电子的精加便是我拉克从数学对称美的角度大有预言出来的。他唯一的根据线是从电子运动的方 程得出正负两个解。几年之后，这个顾喜得到了物理学家的证实。我拉克后来说：“理论物理学 家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非信不可的理由，但过去己经证明了这是有 整的目标。“ 为什么把美看得这样重要？因为人类的生存是按里美的原则案梅建量界的。发现美，认供美 和运用美，这是人类生存的要求。反过米，美又是人类进步的动力。追求美的实质城是追求自然 界的数学美。人类一步一步地据示白然界的数学规律，人类减感了解我门所处的学尚的美。希精 成言说，美是真理的光辉。因而地求美就是地求真，英国诗人济慈写道： 美就是真，真就是美！这就是你所知道的。和你应该知道的。 法国数学家阿达写说：“数学家的美感犹如一个障子，没有它的人水远成不了数学家，年可 见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创透的基础
《数学文化》辅导资料（一） 数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。由于实际的需要，数学在古代就 产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统。数学与其他科学一样，反映了客观世界的规律， 并成为理解自然、改造自然的有力武器。 对任何一门科学的理解，单有这门科学的具体知识是不够的，那怕你对这门科学的知识掌握 得足够丰富，还需要对这门学科的整体有正确的观点，需要了解这门学科的本质。我们的目的就 是从历史的、哲学的和文化的高度给出关于数学本质的一般概念。今从以下几个方面来谈这个问 题。 一、 数学与美 数学，具有至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美．它可以纯净到崇高的地 步，能够达到严格的只有最伟大的艺术家才能显示的那种完美的境地． ——罗素 中国古代著名哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。”日本物理学家，诺贝尔奖得主 汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话 也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。通过本讲座，我们将展现数学精神的魅力， 阐述数学推理之妙谛。但数学之美的面纱是慢慢揭开的，数学推理的妙谛是逐渐展现的。这涉及 到科学与艺术的关系，而艺术与科学的联系是天然的。实际上，一切科学、哲学、数学和艺术的 研究对象不外乎，天──大宇宙；地，自然界及其中一切动植物──中宇宙；人──最精密、最 完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。著 名物理学家李政道说得好：“科学和艺术是不可分割的，正像一枚硬币的两面。它们共同的基础 是人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性。” 顺便指出，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是，史诗、音乐、造型（绘画、 建筑等）和数学。因而数学教育是审美素质教育的一部分。 数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些 都是美的标志。但长期以来，我们忽视对数学的美的教育。讲述数学之美有利于培养鉴赏力。值 得注意的是，在历史上，重大课题的选择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。例如，正 电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。他唯一的根据就是从电子运动的方 程得出正负两个解。几年之后，这个预言得到了物理学家的证实。狄拉克后来说：“理论物理学 家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有 益的目标。” 为什么把美看得这样重要？因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。发现美、认识美 和运用美，这是人类生存的要求。反过来，美又是人类进步的动力。追求美的实质就是追求自然 界的数学美。人类一步一步地揭示自然界的数学规律，人类就越了解我们所处的宇宙的美。希腊 箴言说，美是真理的光辉。因而追求美就是追求真。英国诗人济慈写道： 美就是真，真就是美!这就是你所知道的，和你应该知道的。 法国数学家阿达玛说：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。”可 见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础
那么，什么是美呢？美有再条标准：一、一切施妙的美都显示出膏异的均商关系（暗根）， 二·“美是各部分之间以及各部分与整体之间圆有的和谐，”〔海森堡)，这是科学和艺术共月 追求的东西。希尔钓特说：“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。它像一座鲜花盛开的花园 展现在我们眼前。在这个花园熟委的小道上，常可以悠闲地观黄，尽情地享受，不需贵多大力气， 与心领神会的伙件一起更是如此。但我们更喜欢寻我除隐的小道，爱现许多意想不到的令人输快 的美景：当其中一条个道向我们是示出这一美景时，我们会共同政它，我们的攻乐也达到尽青 尽美的境地。” 对美的追求起源于古代，毕达哥拉斯爱现，在相同张力作用下的弦，当它们的长度成简单的 整数比时，击弦发出的声睿听起来是和谐的，正是基于这种认识，毕达哥拉斯学深定出了音律。 顺便指出，我国在古代也以同伊的方式确定了音律。这是人类第一次确立了可弹解的东西与美之 阿的内在联系，是人类历史上一个真正重大的发现。牛顿的万有牙力公式，爱因斯妇的质能转赖 公式，既是美。又是真。 数学的美表现在什么地方呢？表观在简单、对称、完备，统一和蒂和奇异。 为什么我们这样重视美？并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢？因为人 们常常忽棍它，人们只重祝实用方面。科学方面，而对于审美情题。智力桃战，心灵的悦诸方 面，要么不子承认，即使承认，也认为只不过是次要的因素。田事实上，实用的、料学的、美学 的和哲学的因素共同促进了数学的形成。把这线作出贡献，产生影响的因素除去任何一个，或始 高一个而贬低另一个那是违反数学发展史的。 二，数学是什么 给数学下定义是一个因电的问题。对任何事物下定义都调到月样的困难。因为复难在一个定 义中把事物的一切重要属性都概括进去。考虑全面性与历史发展。我们给数学下两个定又。 数学是数和形的学间。数学是一棵参天大树。它的根深深她扎在我们的税实微界。它有两个 主干，一回形一几何，一日数一代数。 这棵树是如此之古老，它已有上万年的历史： 这棵树是如此之长新，它年年霉在发新枝： 这棵树是如此之黑浅，它已深入到白然科学与社会科学的一切额城： 这棵树是如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异时，同叶异花。同花异果。如果我们 一辈子只停留在一个枝上，或只见一桑花，我们将水远见不到数学的多采和多姿。见不到数学整 体的发伟和诺调。 我们先看数学大树的两大主干：几何与代数。 几何：空阿形式的科学，视觉思峰占主号，缩养直凳能力，培养雨斯力： 代数：数量关系的料学，有序思性占主导，培养逐男推理能力。 记住，认不清几何与代数的基本特征，城是基本上没有学罐它们。特别要注意到，这两著相 销相成。没有直凳就没有发明，没有逻辑就没有证明。借助直觉发明的命题，要倍助逻辑加以证
那么，什么是美呢？美有两条标准：一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根）， 二、“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。”（海森堡）。这是科学和艺术共同 追求的东西。希尔伯特说：“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。它像一座鲜花盛开的花园 展现在我们眼前。在这个花园熟悉的小道上，你可以悠闲地观赏，尽情地享受，不需费多大力气， 与心领神会的伙伴一起更是如此。但我们更喜欢寻找幽隐的小道，发现许多意想不到的令人愉快 的美景；当其中一条小道向我们显示出这一美景时，我们会共同欣赏它，我们的欢乐也达到尽善 尽美的境地。” 对美的追求起源于古代。毕达哥拉斯发现，在相同张力作用下的弦，当它们的长度成简单的 整数比时，击弦发出的声音听起来是和谐的。正是基于这种认识，毕达哥拉斯学派定出了音律。 顺便指出，我国在古代也以同样的方式确定了音律。这是人类第一次确立了可理解的东西与美之 间的内在联系，是人类历史上一个真正重大的发现。牛顿的万有引力公式，爱因斯坦的质能转换 公式，既是美，又是真。 数学的美表现在什么地方呢？表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。 为什么我们这样重视美？并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢？因为人 们常常忽视它。人们只重视实用方面、科学方面，而对于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方 面，要么不予承认，即使承认，也认为只不过是次要的因素。但事实上，实用的、科学的、美学 的和哲学的因素共同促进了数学的形成。把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个，或抬 高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的。 二、 数学是什么 给数学下定义是一个困难的问题。对任何事物下定义都遇到同样的困难。因为很难在一个定 义中把事物的一切重要属性都概括进去。考虑全面性与历史发展，我们给数学下两个定义。 数学是数和形的学问。数学是一棵参天大树。它的根深深地扎在我们的现实世界。它有两个 主干，一曰形─几何，一曰数─代数。 这棵树是如此之古老，它已有上万年的历史； 这棵树是如此之长新，它年年都在发新枝； 这棵树是如此之繁茂，它已深入到自然科学与社会科学的一切领域； 这棵树是如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异叶，同叶异花，同花异果。如果我们 一辈子只停留在一个枝上，或只见一朵花，我们将永远见不到数学的多采和多姿。见不到数学整 体的宏伟和谐调。 我们先看数学大树的两大主干：几何与代数。 几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力； 代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力。 记住，认不清几何与代数的基本特征，就是基本上没有学懂它们。特别要注意到，这两者相 辅相成。没有直觉就没有发明，没有逻辑就没有证明。借助直觉发明的命题，要借助逻辑加以证
明。庞加莱说：“逐辑可以告诉我们走这条路成那条路保证不遇到任何障得，但是它不能告诉我 们哪一条路旋引导我门达到日的地。为此必领从远处了望日标，面数学教导我们，了望的本领是 直觉。”英国数学家例蒂亚说：“几何直觉乃是增进数学理解力的根有效的途径，面且它可以使 人增加勇气，提高修养。”遭感的是，在通常的数学数学中只讲逐男面很少详直觉。 如果只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范国。所以只研究数与彩是不够的，必须 研究大小与形软是如何改变的。这就产生了微息分。它的延伸是，无穷级数，微分方程，微分几 何等。 和么，什么是数学呢！19世纪恩格斯给数学下了这样的定义 “数学是关于空间形式和数量关系的科学。” 思格斯关于数学的定复是经典的，顺括了当时数学的发展。即使在日前也气括了数学的绝大 富分，但是在19世纪末，数理逻氧凝生了，在数拜逻辑中感没有数也没有形，很难归入恩格斯的 定义。于是人们又考忠数学的新定久： 数学是关于候式和铁序的科学。我们生活在一个由诸多模式粗成的量界中：春有花开，显有 惊雷。秋收冬藏，一年四季往复稻环：球形的雨从云中飘落：繁星夜夜周而复始地从天空中刻过： 世界上没有丙片完全相同的雪花，但所有的雪花福是六角形的，人类的心智和文化为模式的积别， 分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它线是数学。通过数学建立候式可以使知阴条理化， 并揭示自然界的奥稀： 慎式和铁序的科学都是数学吗？物理学，力学似平也符合这个定又，所以著要作出某每界定。 物理学的基本元素：基本粒子。 生物学的基本元素：细胞。 数学呢？数，形。机会，算法与变化 数学的处理对象分成三组：数据，测量，观察资科：推断，滴辉，正明：自然现象，人类行 为，杜金系烧的各种根式， 数学提供了有特色的思考方式： 轴象化：选出为许多不同的现象所共有的性质米进行专门研究： 荐号化：把白然语言智充，深化，面变为紧凑，简明的荐号语喜。这是白然科学公有的思考 方式，以数学为最。 公理化：从前提，从数据，从图形。从不完全和不一致的原始瓷料进行推理，归纳与族释并 用。 最优化：考察所有的可便性，从中号求最优解。 建立根型，对现实现像走行分析从中找出数量关系，并化为数学何题
明。庞加莱说：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我 们哪一条路能引导我们达到目的地。为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，了望的本领是 直觉。”英国数学家阿蒂亚说：“几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使 人增加勇气，提高修养。”遗憾的是，在通常的数学教学中只讲逻辑而很少讲直觉。 如果只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范围。所以只研究数与形是不够的，必须 研究大小与形状是如何改变的。这就产生了微积分。它的延伸是，无穷级数，微分方程，微分几 何等。 那么，什么是数学呢？19 世纪恩格斯给数学下了这样的定义： “数学是关于空间形式和数量关系的科学。” 恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大 部分。但是在 19 世纪末，数理逻辑诞生了。在数理逻辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的 定义。于是人们又考虑数学的新定义: 数学是关于模式和秩序的科学。我们生活在一个由诸多模式组成的世界中：春有花开，夏有 惊雷，秋收冬藏，一年四季往复循环；球形的雨从云中飘落；繁星夜夜周而复始地从天空中划过； 世界上没有两片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的。人类的心智和文化为模式的识别、 分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它就是数学。通过数学建立模式可以使知识条理化， 并揭示自然界的奥秘。 模式和秩序的科学都是数学吗？物理学，力学似乎也符合这个定义，所以需要作出某些界定。 物理学的基本元素：基本粒子。 生物学的基本元素：细胞。 数学呢？数，形，机会，算法与变化。 数学的处理对象分成三组：数据，测量，观察资料；推断，演绎，证明：自然现象，人类行 为，社会系统的各种模式。 数学提供了有特色的思考方式： 抽象化：选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究： 符号化：把自然语言扩充，深化，而变为紧凑，简明的符号语言。这是自然科学公有的思考 方式，以数学为最。 公理化：从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料进行推理。归纳与演绎并 用。 最优化：考察所有的可能性，从中寻求最优解。 建立模型：对现实现象进行分析。从中找出数量关系，并化为数学问题
应用这些思考方式的经验构成数学能力。这是当今信息时代越来越重要的一种智力：它使人 们能批判地网读，辨别谣误，摆彩偏见，估计风险。数学能使我们更好地了解我们生话于其中的 充满信息的世界。 为什么学数学？大致体现在三个方而： 第一，为了进一步学习数学。我们许多人都要进入大学摆线学习，数学专业自不必说， 理工科、经济类专业中，数学也是一门十分重要的误程，而且，越来感多的专家学者认为文 科专业也应该学习数学。如果没有中学数学的基础，就无法学习高等的数学。设想不知道平 面几何。怎么学习空间几何？不清楚函数，怎么学习微积分？等等，正象不会走路，怎么能 孢步、跳高和跳运一样，因此，无论高考怎样改革。数学始铁是重要的考试科目 第二，为了解决实际问题.一个人生活的外都环境是物质世界和人类杜会，他不可避 免的要面对许多关系。要解决许多问题.且不说高端的料学技术如航天飞船、遭传因等需 要高深的数学，你在银行存线，总得计算若干年后的收益吧？把汽车的养路费改成燃油税， 你的汽车一年行驶多少公里内才是合算的？组织一届足球比赛，需要准备几场呢？让你设计 一个体积确定的圆柱体，成面半径和高是怎样的比例，才能使所用材料最省呢？大量的 问思都需要用数学去解决， 第三，为了人的素质，文明社会的建设，主要是公民素质的提升。数学素养对人的素 质有不可替代的作用。 其一，数学以具有逻辑的严密性面著称。数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而 有力的结果，即从一些概念和公理出发进行精密的一步一步的推理，阁出是然是毋庸置质 无可辞暖的结论。例如上面正多面体的例子，通过这样的推理，你不会怀疑还有另外的正多 面体吧？这种思维的方式对人类的理性精神具有最持久和最深刻的影响。也就是说，假如保 学过系统的数学，其中的某个公式或定理也许会记，但数学的那种严密的思推方式，在你 思考月思和处理问题时将锋身受益， 其二，数学具有生动话设的思想方法或策略创迹，包括直觉归纳、类比联想、观念更新、 领情机巧等许多方面。一个问题，由于角度不问，策略不同，解决的方式也不同，有的复桑： 有的简明。对于培养灵活机智的思维品质，学数学是一种很好的途径。我们说“数学使人聪 明”就是这个意思 三、数学的内容 大致说米，数学分为初等数学与高等数学两大部分· 初等数学中主要包含两部分：几村学与代数学，几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是 研究数量关系的学科：
应用这些思考方式的经验构成数学能力。这是当今信息时代越来越重要的一种智力。它使人 们能批判地阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。数学能使我们更好地了解我们生活于其中的 充满信息的世界。 为什么学数学？大致体现在三个方面： 第一，为了进一步学习数学．我们许多人都要进入大学继续学习，数学专业自不必说， 理工科、经济类专业中，数学也是一门十分重要的课程，而且，越来越多的专家学者认为文 科专业也应该学习数学．如果没有中学数学的基础，就无法学习高等的数学．设想不知道平 面几何，怎么学习空间几何？不清楚函数，怎么学习微积分？等等，正象不会走路，怎么能 跑步、跳高和跳远一样．因此，无论高考怎样改革，数学始终是重要的考试科目． 第二，为了解决实际问题．一个人生活的外部环境是物质世界和人类社会，他不可避 免的要面对许多关系，要解决许多问题．且不说高端的科学技术如航天飞船、遗传基因等需 要高深的数学，你在银行存钱，总得计算若干年后的收益吧？把汽车的养路费改成燃油税， 你的汽车一年行驶多少公里内才是合算的？组织一届足球比赛，需要准备几场呢？让你设计 一个体积确定的圆柱体，底面半径和高是怎样的比例，才能使所用材料最省呢？……大量的 问题都需要用数学去解决． 第三，为了人的素质．文明社会的建设，主要是公民素质的提升．数学素养对人的素 质有不可替代的作用． 其一，数学以具有逻辑的严密性而著称．数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而 有力的结果，即从一些概念和公理出发进行精密的一步一步的推理，得出显然是毋庸置疑、 无可辩驳的结论．例如上面正多面体的例子，通过这样的推理，你不会怀疑还有另外的正多 面体吧？这种思维的方式对人类的理性精神具有最持久和最深刻的影响．也就是说，假如你 学过系统的数学，其中的某个公式或定理也许会忘记，但数学的那种严密的思维方式，在你 思考问题和处理问题时将终身受益． 其二，数学具有生动活泼的思想方法或策略创造，包括直觉归纳、类比联想、观念更新、 顿悟机巧等许多方面．一个问题，由于角度不同，策略不同，解决的方式也不同，有的复杂， 有的简明．对于培养灵活机智的思维品质，学数学是一种很好的途径．我们说“数学使人聪 明”就是这个意思． 三、 数学的内容 大致说来，数学分为初等数学与高等数学两大部分。 初等数学中主要包含两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是 研究数量关系的学科
初等数学基本上是常量的数学， 高等数学含有常丰富的内容，。以大学本科所学为限。它主要包合： 解析几何：用代数方法研究几阿，其中平真解析几何部分内容已敛到中学， 线性代数：研究如村解线性方法相及有关的同愿， 亮等代数：研究方程式的求根问愿。 微积分：研究变速运动及由边形的求积问题。作为微积分的延神，物理类各系还要讲授常微分 方程与偏微分方程： 概率论与数理笑计：研究随机观像，依据数据进行推理。 所有这些学科构成高等数学的基健密分，在此基础上建文了高等数学的室伟大厦。 四、数学的特点 数学区分于其它学科的明显特点有三个，第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应 用的极端广泛性。 从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽像性了。数本身就是一个拍象概念，几何中的 直线也是一个抽象概念，全常数学的概念都具有这一特征。整数的概之，几何图形的概念都属于 最原始的数学概之，在原始概之的基留上又形成有理数，无理数、复数、两数，微分、积分，雅 空间以至无穷推空间这样一些抽象程度更高的概多。但是蓄要指出。所有这感抽象度更高的概老， 都有非常现实的背景。不过，抽象不是数学鞋有的特性，任何一门科学都具有这一特性。因此， 单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点，数学轴像的特点在于：第一，在数学的轴 象中只保留量的关系和空间形式而鲁弃了其它一切：第二，数学的抽象是一摄一极逐步提高的。 它们所达列的抽象程度大大超过了其它学科中的一舰抽象：第三，数学本身几乎完全周餐于抽象 概么和它们的相互关系的圈子之中。，如果白然科学家为了证明白己的隐新常常册于实验，那么 数学家正明定理只需用推理和计算。这复是说，不仅数学的概多是抽象的、思耕的。面数学的 方法也是拍象的、思辨的。 数学的精确性表现在数学定义的准瑞性，推理的逐辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争精性， 这点读者从中学数学就已限好的懂得了，当然，数学的严格性不是地对的。一成不变的。而是相 对的，发展看的，这正体现了人卖认识逐案深化的过程 数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教投管指出的，字由 之大，程子之微，火南之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是 出现”量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系。量的关系的变化 等我象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，面成为它们的得力助手与工具， 缺少了它就不能准确地刻西出客观事物的变化，更不能由己知数据推出其它数帮，因而氧减少了 科学预见的可能性，成减函了科学预见的精确度， 五、关于中等数育
初等数学基本上是常量的数学。 高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含： 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。 线性代数：研究如何解线性方法组及有关的问题。 高等代数：研究方程式的求根问题。 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分 方程与偏微分方程。 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。 所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。 四、 数学的特点 数学区分于其它学科的明显特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应 用的极端广泛性。 从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。数本身就是一个抽象概念，几何中的 直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。整数的概念，几何图形的概念都属于 最原始的数学概念。在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、维 空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。但是需要指出，所有这些抽象度更高的概念， 都有非常现实的背景。不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。因此， 单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽 象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的， 它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象 概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么 数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的 方法也是抽象的、思辨的。 数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。 这点读者从中学数学就已很好的懂得了。当然，数学的严格性不是绝对的，一成不变的，而是相 对的，发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。 数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙 之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是 出现”量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化 等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具， 缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了 科学预见的可能性，或减弱了科学预见的精确度。 五、 关于中等教育
为了为二十一世纪为我围暗养一大批杰出的科学家。中学数学教育起着美幢的作用。以下几点 应当受到注意： 1,将应试教育转为素养数育。要培养学生善干思考，有鞋创精神，而不只是常于记忆。巧于应 考，这对我们民族的长远利拉是极关重要的。 2.中学数学教育的中心应实残三个转变：从具体数学到假多化数学的特变，发展符号意识：从 常量数学到变量数学的转变：从直观罐述到严格迁明的转变。建立严密的湿氧思隆意识。 3,向学生提供数学主瓷的核心部分。为微积分，统计学和计算机作好准卷。 4。计算机教育应尽早进行，计算机的出现多将改变中等教育的方式与内容。首先，建立在计算机 与人酵思峰相结合之上的新教学法，将有利于培养学生的洞解力。理解力，以及数学直观。其次： 离散数学、图论、进位制系统、算法与函数选代的留分内容也将进入中学数学。 料学和技术已经达到影响人类生活的所有方面的地步，数学也管成为教育议事日程上极其重要的问 愿。数学是科学和技术的基始。数学在决定国家的各级人才的实力方面起看日整重要的作用， 六，数学与人类文明 王国雄在《人间闻话》中说：“诗人对字宙人生，领入乎其内，又领出乎其外。入乎其内，故能 写之。出平其外，故能观之。入平其内，故有生气。出乎其外，故有高致。”只知入平其内。事是见 木不见林。常常会建失方门。所以还要轴册以出乎其外，站出来作高嘘远属，不站出来。瓷不知道数 学的根在何处，不知道白己研究的最终日的与最终方向是什么。不站出米，就看不到数学与划的学利 的蓄切联氣与相互影响。不站出案，箴看不到数学对人类文明的口大真就。 整个人类文明的历史氧檬长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前。科学巨人们站在时代的湘 头，以他们的勇气，智慧和勤奋把人类的文明从一个高测推向另一个高灌。我们认为，整个人类文明 可以分为三个鲜明的层次： (1)以围头为代表的农耕文明： (2)以大机器流水线作业为代表的工业文明： (3)以计算机为代表的信息文明。 数学在这三个文明中都是深层次的动力。其作用一次比一次明显。 数学在人类文明中一直是一种主煲的文化力量。它不仅在科学推理中具有重要的价值，在科学雨 究中起看核心的作用，在工程设计中必不可少，而且。数学说定了大部分相学思塑的内容和研究方法， 摆毁和构造了诸多亲教数义，为政治学和经济学提误了依据，里造了众多流派的绘西，音乐，建筑和 文学风格。创文了逐辑学，数学为我们可答人与宇宙的根本关系的问思提俱了最好的答案。作为理推 的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领城，并取面代之。成为其思塑和行动的 指南。 这里。还需要指出，数学文化包含两个方面。一是作为人类文化子系统的数学，它自身的发生、 爱展的规律，以及它白身的结构：一是它与其它文化的关系，与整个人类文明的关系。今天报告希望 兼顺两个方面，但重点成在第二个方面
为了为二十一世纪为我国培养一大批杰出的科学家，中学数学教育起着关键的作用。以下几点 应当受到注意： 1．将应试教育转为素养教育。要培养学生善于思考，有独创精神，而不只是常于记忆，巧于应 考。这对我们民族的长远利益是极关重要的。 2．中学数学教育的中心应实现三个转变：从具体数学到概念化数学的转变，发展符号意识；从 常量数学到变量数学的转变；从直观描述到严格证明的转变，建立严密的逻辑思维意识。 3．向学生提供数学主流的核心部分，为微积分，统计学和计算机作好准备。 4．计算机教育应尽早进行。计算机的出现必将改变中等教育的方式与内容。首先，建立在计算机 与人脑思维相结合之上的新教学法，将有利于培养学生的洞察力，理解力，以及数学直观。其次， 离散数学、图论、进位制系统、算法与函数迭代的部分内容也将进入中学数学。 科学和技术已经达到影响人类生活的所有方面的地步，数学也就成为教育议事日程上极其重要的问 题。数学是科学和技术的基础。数学在决定国家的各级人才的实力方面起着日益重要的作用。 六、 数学与人类文明 王国维在《人间词话》中说：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能 写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。” 只知入乎其内，那是见 木不见林，常常会迷失方向。所以还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。不站出来，就不知道数 学的根在何处，不知道自己研究的最终目的与最终方向是什么。不站出来，就看不到数学与别的学科 的密切联系与相互影响。不站出来，就看不到数学对人类文明的巨大贡献。 整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前。科学巨人们站在时代的潮 头，以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。我们认为，整个人类文明 可以分为三个鲜明的层次： （1）以锄头为代表的农耕文明； （2）以大机器流水线作业为代表的工业文明； （3）以计算机为代表的信息文明。 数学在这三个文明中都是深层次的动力。其作用一次比一次明显。 数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量。它不仅在科学推理中具有重要的价值，在科学研 究中起着核心的作用，在工程设计中必不可少。而且，数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法， 摧毁和构造了诸多宗教教义，为政治学和经济学提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和 文学风格，创立了逻辑学。数学为我们回答人与宇宙的根本关系的问题提供了最好的答案。作为理性 的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，并取而代之，成为其思想和行动的 指南。 这里，还需要指出，数学文化包含两个方面。一是作为人类文化子系统的数学，它自身的发生、 发展的规律，以及它自身的结构；一是它与其它文化的关系，与整个人类文明的关系。今天报告希望 兼顾两个方面，但重点放在第二个方面
我们经刻认识到，数学对人类文化的影响有这样一些特点：由个到大，由弱到强，由少到多，由 隐到显，由白燃科学到杜会科学， 简面言之。今天我们要唱一由数学的赞爱，赞美数学思见的裤大精深，赞美由数学文亿到出的理 性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬物发展。 1,古希醋的数学，古套量人最了不起的贡献是，他们认识到。数学在人类文明中的基础作用， 这可以用毕达哥拉斯的一句话来概括：自然数是万物之得， 毕达衡拉断学深研究数学的目的是企图通过揭示数的奥秘米探累字南的水恒真理。他门对周围世 界作了周密的观黎，发现了数与几何图形的关系，数与音乐的和请。他们还发观数与天体的运行都有 密切关系，他们把整个学习过程分成四大部分：(1)数的地对厘论？算术：(2》静止的量？几何：(3) 运动的量？天文：《4)数的应用？音乐。合起米称为四艺。 他们得到结论：自然数是万物之母。学市中的一切现象都以某种方式依翰于整数。但是当他们利 用毕达哥拉斯定理发现不能表示为两个整数的比，即，不是有理数时，受到了极大的震动。这瓷爆发 了第一次数学危机。数学基础的第一次危机是数学史上的一个里程律，它的产生与克里每具有重要的 意义。第一次数学急机表明，当时希精的数学已经发展到这样的阶段：证明进入了数学。数学已由经 验科学变为滴狮科学。 中国。埃及，巴比伦，印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学，即算术 的阶段。希精则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的”几何原本”与亚黑士多得的逐辑体系， 而成为现代科学的始相。 2. 取几里得的“几何原本”，欧几里得(Eu1i4,约公元着330一前275)的“几何原木”的出现是数学 史上的一个伟大的里程碑。从它刚月世起瓷受到人们的高度重视。在西方世界隐了·革经”以外设有 其它著作的作用，研究，印行之广逐能与“几何原本”相比。自1482年第一个印刷本出版以后，至今 已有一千多种版本。在我国，明朝时期意大利传教士利玛案与我国的徐光自合译前6卷，于1607年出 版。中译本书名为“几何原木”。徐光启曾对这能著作给以高度评价，他说：“此书有四不必，不必 质，不必裤，不必试，不必政。有四不可得：藏成之不可得，武驳之不可得，欲诚之不可得。微前后 更置之不可得。有三至三能：似至酶，实至明，故能以其明明他物之至酶：似至繁。实至简。故能以 其简简他物之至紧：似至难，实至易，数使以其易易他物之至难，易生于简。简生于明。综其射在明 面已。”“几何原本”的传入对我国数学界影响领大。 发几里得的“几何原本”移为数学家的圣经。在数学史，乃至人类科学史上具有无与径比的崇高 地位。它在数学上的主要贡献是什么配 (1)成功地将零数的数学理论编为一个从基本程定到最复条结论的整体结构： (2)对命是作了公理化演择。从定义，公理，公设出发建立了几何学的逐辑体系，成为其后所有数学的 本。 (3》几个世记以米，已成为训链亚辑推星的最有力的教有于段。 (4)演保的思考首先出现在几何学中。而不是在代数学中，使几何具有更加重要的地位，这种状态一直促 持到简卡儿解析儿何的藏生
我们必须认识到，数学对人类文化的影响有这样一些特点：由小到大，由弱到强，由少到多，由 隐到显，由自然科学到社会科学。 简而言之，今天我们要唱一曲数学的赞歌，赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理 性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。 1． 古希腊的数学。古希腊人最了不起的贡献是，他们认识到，数学在人类文明中的基础作用。 这可以用毕达哥拉斯的一句话来概括：自然数是万物之母。 毕达哥拉斯学派研究数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。他们对周围世 界作了周密的观察，发现了数与几何图形的关系，数与音乐的和谐，他们还发现数与天体的运行都有 密切关系。他们把整个学习过程分成四大部分：（1）数的绝对理论?算术；（2）静止的量?几何；（3） 运动的量?天文；（4）数的应用?音乐。合起来称为四艺。 他们得到结论：自然数是万物之母。宇宙中的一切现象都以某种方式依赖于整数。但是当他们利 用毕达哥拉斯定理发现不能表示为两个整数的比，即，不是有理数时，受到了极大的震动。这就爆发 了第一次数学危机。数学基础的第一次危机是数学史上的一个里程碑，它的产生与克服都具有重要的 意义。第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：证明进入了数学，数学已由经 验科学变为演绎科学。 中国，埃及，巴比伦，印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学，即算术 的阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的”几何原本”与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。 2． 欧几里得的“几何原本”。欧几里得(Euclid，约公元前 330－前 275)的“几何原本”的出现是数学 史上的一个伟大的里程碑。从它刚问世起就受到人们的高度重视。在西方世界除了“圣经”以外没有 其它著作的作用、研究、印行之广泛能与“几何原本”相比。自 1482 年第一个印刷本出版以后，至今 已有一千多种版本。在我国，明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前 6 卷，于 1607 年出 版。中译本书名为“几何原本”。徐光启曾对这部著作给以高度评价。他说：“此书有四不必：不必 疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后 更置之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以 其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已。”“几何原本”的传入对我国数学界影响颇大。 欧几里得的“几何原本”称为数学家的圣经，在数学史，乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高 地位。它在数学上的主要贡献是什么呢？ （1）成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。 （2）对命题作了公理化演绎。从定义，公理，公设出发建立了几何学的逻辑体系，成为其后所有数学的范 本。 （3）几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。 （4）演绎的思考首先出现在几何学中，而不是在代数学中，使几何具有更加重要的地位。这种状态一直保 持到笛卡儿解析几何的诞生
我们还应当注意到，它的影响远远地恒出了数学以外，而对整个人类文明霉带米了巨大影响。它对人类 的贡献不仅仪在于产生了一些有用的，美妙的定理，更重要的是它孕育了一种理性精神，人类的任何其它创 造都不可能像殿几里德的几百条证明那样，品示出这么多的知识那仅仅是靠几条公理推导出米的。这些大量 深奥的滴绎抽果使得希睛人和以后的文明了解到理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信 心。受到这一成就的鼓舞，人们把理性运用于其它领减。神学家、逻辑学家、智学家，政治家、和所有真理 的追求者霉翰纷仿效就儿里德的模式，来建立单们自己的理论。 此外欧氏几何的重要性还表现在它的美学铃值。随着几何学美妙结构和精确推理的发展，数学变 成了一门艺术， 3。希罐文化小结。吉希罐的文化大的从公元前600年廷续到公元前300年。古希静数学家强调严密的推理 以及由此得出的结论。他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行轴象推理，煮发人们对理想 与美的道求。因此，这个时代产生了后量很垂超感的优美文学，极编理性化的哲学。以及理塑化的建筑与雕刻， 那位斯臂美人？米洛的推纳斯（公元前4世纪是那个时代景好的代表。是至春至美象任。正是由于数学文化的发 眠，使得看醋社会具有现代社会的一切轻粕。 希精文化给人类文明留下了什么样的珍费遗产呢？它留哈后人四件宝。 第一，它甯恰我们一个写强的信多：白然数是万物之醇，即字油规律的枝心是数学。这个信念鼓每人们将学 由间一切现象的终极原因找出来。并将它数量化。 第二，它孕育了一种理性精神。这种精神现在已经渗透的人类知供的一切领减。 第三，它给出一个样板？收几里得几何。这个样板的光解风亮了人类文化的每个角落。 第四，它研究了锥曲线，为日后天文学的研究莫定了基础 但是，令人痛情的是，罗马士兵一刀系死了阿基米德这个科学巨人。这就宜布了一个光解时代的结束。怀转 海对此评论道：“阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征。务实的罗马人取代了爱好理论的看精人，领导 了欧洲：一罗马人是一个伟大的民族。但是受到了这样的批评：讲求实效，而无建树。他们没有改进粗先的知识， 绝们的进步只限于工程上的技术细节，他们没有梦塑。得不出新观点，因面不能对白然的力量得到新的控制。“ 此后是千余年的停滞， 4.欧几里得儿何的影响：歌几里得几何是推理的典愿，其特点是，以简取繁，以少胜多。这本书成为后人模 仿的样板。我们来餐几个肉型的例子， 阿基米物不是通过用重物作实验。面是搜款几里得的方式，从“相等的重物在离支点相等距离处处于平衡“ 这一公设指发证明了杠杆定律 年顿称著名的三定律为“公理成运动定律”，从三定律和万有明力定律出发，建立了他的力学体系，色的《白 然暂学的数学短弹》具有成几里得式的结构。 在马尔萨斯189年的《人口论》中，我们可以找到另一个例子。马尔萨所接受了微几里得的演年模型。绝把 下面两个公设作为他的人口学的出发点：人需要食品：人需要累附后代。，他接看从对人口增长和食品供求增长的 分析中建立了能的数学模数。这个慎型简洁，有说眼力，对各国的人口政策有大影响
我们还应当注意到，它的影响远远地超出了数学以外，而对整个人类文明都带来了巨大影响。它对人类 的贡献不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的定理，更重要的是它孕育了一种理性精神。人类的任何其它创 造都不可能像欧几里德的几百条证明那样，显示出这么多的知识都仅仅是靠几条公理推导出来的。这些大量 深奥的演绎结果使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信 心。受到这一成就的鼓舞，人们把理性运用于其它领域。神学家、逻辑学家、哲学家、政治家、和所有真理 的追求者都纷纷仿效欧几里德的模式，来建立他们自己的理论。 此外欧氏几何的重要性还表现在它的美学价值。随着几何学美妙结构和精确推理的发展，数学变 成了一门艺术。 3．希腊文化小结。古希腊的文化大约从公元前 600 年延续到公元前 300 年。古希腊数学家强调严密的推 理 以及由此得出的结论。他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象推理，激发人们对理想 与美的追求。因此，这个时代产生了后世很难超越的优美文学，极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻。 那位断臂美人?米洛的维纳斯(公元前 4 世纪)是那个时代最好的代表，是至善至美象征。正是由于数学文化的发 展，使得希腊社会具有现代社会的一切胚胎。 希腊文化给人类文明留下了什么样的珍贵遗产呢？它留给后人四件宝。 第一，它留给我们一个坚强的信念：自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学。这个信念鼓舞人们将宇 宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化。 第二，它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透的人类知识的一切领域。 第三，它给出一个样板?欧几里得几何。这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落。 第四，它研究了圆锥曲线，为日后天文学的研究奠定了基础。 但是，令人痛惜的是，罗马士兵一刀杀死了阿基米德这个科学巨人。这就宣布了一个光辉时代的结束。怀特 海对此评论道：“阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征。务实的罗马人取代了爱好理论的希腊人，领导 了欧洲……罗马人是一个伟大的民族。但是受到了这样的批评：讲求实效，而无建树。他们没有改进祖先的知识， 他们的进步只限于工程上的技术细节。他们没有梦想，得不出新观点，因而不能对自然的力量得到新的控制。” 此后是千余年的停滞。 4．欧几里得几何的影响。欧几里得几何是推理的典范，其特点是，以简驭繁，以少胜多。这本书成为后人模 仿的样板。我们来举几个典型的例子。 阿基米德不是通过用重物作实验，而是按欧几里得的方式，从“相等的重物在离支点相等距离处处于平衡” 这一公设出发证明了杠杆定律。 牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律”。从三定律和万有引力定律出发，建立了他的力学体系。他的《自 然哲学的数学原理》具有欧几里得式的结构。 在马尔萨斯 1789 年的《人口论》中，我们可以找到另一个例子。马尔萨斯接受了欧几里得的演绎模型。他把 下面两个公设作为他的人口学的出发点：人需要食品；人需要繁衍后代。他接着从对人口增长和食品供求增长的 分析中建立了他的数学模型。这个模型简洁，有说服力，对各国的人口政策有巨大影响
令人惊奇的是，欧几里得的模式还推广到了或治学。美国的《独立直言)是一个著名的侧子。鞋立宜言是为 了证明反抗大英帝国的完全合理性面横写的。美国第三任总统杰斐骚(173一182)是这个宜言的主要起草人。他 试图借曲欧几黑得的候型使人们时宜言的会正性和合理性深信不极。”我们认为这线真理是不证白明的…”不仅 所有的直角都相等。面且”所有的人生来霉平等”。这些白明的真理包括，如果任何一届威府不量从这些先决条 件，事么”人民就有权更换或废弹它”·宜言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足上述条件。”因 此，…我宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，白由的和鞋立的国家，”我们顺便指出： 当建进爱好文学、数学、白然科学和建筑艺术。 相时论的瑟生是另一个允解的例子。相时论的公理只有两条(1)相对性原理，任何自然定律对于一切直线运 动的观测系统都有相同的形式：(2》光速不变原理，对于一切惯性系，光在真空中都以确定的速度传播。爱因 断坦就是在这两条公理的基健上建文了他的相对论。 关于建立一个理论体系，爱因斯妇认为科学家的工作可以分为两步。第一步是发现公理，第二步是从公理性 出结论。事一步更难呢？他认为，如果研究人员在学校里已竖得到银好的基本理论、性理和数学的调练，那么他 在第二步时。只要“相当勤奋和聪明，微一定能成功”。至于第一步，即找出所需要的公理，则具有完全不同的 性质，这里没有一般的方法。爱因断坦说：“科学家必须在境杂的轻险事实中间抓住装些可用精密会式来表示的 誉遍特性，由此双求白然界的普渴原理。“ 5,选累分配同题，选票分配网思属于民主攻治的范畸，选票分配是否合理是速民最美心的热点利题，这一何 题早己引起西方政治家和数学家的关注。并进行了大量深入的研究。那么，透票分配的基木原则是什么呢？首先 是公平合理。要做到公平合理。一个慎单的办法是，选票按人数比侧分配。但是会出观这样的问题：人数的比例 常常不是整数，怎么办？一个简单的小法是四舍五入+四舍五入的结果可使会出现名额多余，减名额不是的情况： 因为有这个缺点，美国乔治？华盛懒时代的时政部长亚历山大？汉密尔领在1790年提曲一个解决名额分配的办法， 并干1792年为美国国公所通过. 美国国会的收页是按州分配。显定美国的人口数是，各州的人口数分别是，再置定仅员的总数是。记称它为 第1个州分配的龄额。汉密尔领方法的具体餐作如下： (1》取各州份领的整数军分，让第1个州先拥有个议员。 2》然后考忠各个的小数部分，核从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配克为止 汉密尔领方法看起来十分合理，但是仍存在问思。按那常规，程建各州的人口比例不变，议员名额的总数自 于某种原因面增加的话，么各州的议员名额数或者不变。或者增加，至少不应该减少。可是汉密尔顿方法却不 能满足这一常规。1880年，亚拉巴马州曾面临这种状况。人们把汉密尔顿方法产生韵这一矛盾叫作亚拉巴马性 论。汉密尔领方法侵见了亚拉巴马州的利菌。其日，1890年，190年人口普查后，细因州和克罗拉多州也极力 反对汉密尔幢方法。所以，从1880年起，美国国会就针对汉密尔领方法的公壬合理性展开了争论。因此，必類 改进汉密尔顿方法，使之更如合理，新的方法不久（提雷米了，并酒障了亚拉巴马悖论，目是新的方法引出新的 问愿，新的利题又需菱消除，于是更新的方法，当然是更加公正合弹的方法又出现了。人们当然金利，有没有一 种一芳水浅的解决办法呢？ 这个问题从菱生之日起，就一直吸引着众多政治家和数学家取研究。这里要特别提出的是，1952年数学家阿 罗证明了一个令人吃惊的定理？阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统这就是说，只有更合理， 没有最合理。原来世上无”公”，阿罗不可使理是数学应用于杜金科学的一个里程绵
令人惊奇的是，欧几里得的模式还推广到了政治学。美国的《独立宣言》是一个著名的例子。独立宣言是为 了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的。美国第三任总统杰斐逊(1743－1826)是这个宣言的主要起草人。他 试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑。”我们认为这些真理是不证自明的…”不仅 所有的直角都相等，而且”所有的人生来都平等”。这些自明的真理包括，如果任何一届政府不服从这些先决条 件，那么”人民就有权更换或废除它”。宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足上述条件。”因 此，……我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，自由的和独立的国家。”我们顺便指出， 杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术。 相对论的诞生是另一个光辉的例子。相对论的公理只有两条（1）相对性原理，任何自然定律对于一切直线运 动的观测系统都有相同的形式；（2）光速不变原理，对于一切惯性系，光在真空中都以确定的速度传播。爱因 斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论。 关于建立一个理论体系，爱因斯坦认为科学家的工作可以分为两步。第一步是发现公理，第二步是从公理推 出结论。哪一步更难呢？他认为，如果研究人员在学校里已经得到很好的基本理论、推理和数学的训练，那么他 在第二步时，只要“相当勤奋和聪明，就一定能成功”。至于第一步，即找出所需要的公理，则具有完全不同的 性质，这里没有一般的方法。爱因斯坦说：“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的 普遍特性，由此探求自然界的普遍原理。” 5．选票分配问题。选票分配问题属于民主政治的范畴。选票分配是否合理是选民最关心的热点问题。这一问 题早已引起西方政治家和数学家的关注，并进行了大量深入的研究。那么，选票分配的基本原则是什么呢？首先 是公平合理。要做到公平合理，一个简单的办法是，选票按人数比例分配。但是会出现这样的问题：人数的比例 常常不是整数。怎么办？一个简单的办法是四舍五入。四舍五入的结果可能会出现名额多余，或名额不足的情况。 因为有这个缺点，美国乔治?华盛顿时代的财政部长亚历山大?汉密尔顿在 1790 年提出一个解决名额分配的办法， 并于 1792 年为美国国会所通过。 美国国会的议员是按州分配。假定美国的人口数是，各州的人口数分别是。再假定议员的总数是。记称它为 第 i 个州分配的份额。汉密尔顿方法的具体操作如下： (1)取各州份额的整数部分，让第 i 个州先拥有个议员。 (2)然后考虑各个的小数部分，按从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配完为止。 汉密尔顿方法看起来十分合理，但是仍存在问题。按照常规，假定各州的人口比例不变，议员名额的总数由 于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变，或者增加，至少不应该减少。可是汉密尔顿方法却不 能满足这一常规。1880 年，亚拉巴马州曾面临这种状况。人们把汉密尔顿方法产生的这一矛盾叫作亚拉巴马悖 论。汉密尔顿方法侵犯了亚拉巴马州的利益。其后，1890 年，1900 年人口普查后，缅因州和克罗拉多州也极力 反对汉密尔顿方法。所以，从 1880 年起，美国国会就针对汉密尔顿方法的公正合理性展开了争论。因此，必须 改进汉密尔顿方法，使之更加合理。新的方法不久就提出来了，并消除了亚拉巴马悖论。但是新的方法引出新的 问题，新的问题又需要消除。于是更新的方法，当然是更加公正合理的方法又出现了。人们当然会问，有没有一 种一劳永逸的解决办法呢？ 这个问题从诞生之日起，就一直吸引着众多政治家和数学家取研究。这里要特别提出的是，1952 年数学家阿 罗证明了一个令人吃惊的定理?阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统这就是说，只有更合理， 没有最合理。原来世上无”公”。阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑
阿罗不可能定理不仅是一项数学成果，也是十分重要的经济成果。因此，作为一名数学家，干19？2年获得了 话具尔经济奖，选释刊题吸引经济学家的因素主要有两个方面：策略与公平性。而策略的研究又引出了博突论， 6。利席的规知。历史上向前一步的进展，挂往作随看向后一步的整本周源。欧说在千余年的沉夏后，迎案 了伟大的文艺复兴，这是一个蓄要巨人，面且也产生了巨人的时代，1564年，加利略诞生了，不拉有偶，同年 莎士比亚也凝生了。文艺复类运动为人门带米了希肝的理性精神。如利略是第一个举忌理性，帆的科学家。他的 工作成了现代科学的新起点。 近代科学成功的密快在何处呢？在子科学活动选择了一个新目标。这个目标是加利略提出的。希蜡科学家曾 数力于解释现象发生的原因，例如亚里士多德曾花费大量时间去解释为什么空中的物体会落到地上，如科略第一 个认识到关于事物原因与结果的玄想不俺增进科学如识，无助于人们找出闲示和控制自然的办法，血利略提出了 个科学规划，这个规划包含三个上要内容： 第一，找出物理现象的定量描逃。即眠系它们的数学公式： 第二，找出最基本的物理量，这些就是公式中的变量 第三，在此基础上建立滴师科学。 规划的核心城是寻求提述白然现象的数学会式。在这个思见的指导下，如利略找出了自由落体下落的公式， 还找出了力学第一定律和第二宠律，所有这些成果和其它成黑，仙利略都总结在《美于两门新科学的方法和数学 证明》一书中，此书耗费了他30多年的心血。在这部著作中，加利略开创了物理科学数学化的进程，建立了力 学科学，设计和树立了近代利学思谁模式 现在方向己经指明，航道己经开通，科学将呈现一种加速发展的趋势，但是。要前进必项有新的数学工具， 7,解析儿何。解新几何的诞生是数学史上的另一个伟大的里程肆。他的创始人是苗卡儿和费马。他们都对惯 氏几何的局限性表不不满：古代的几何过于拍象，过多地依翰于图形。他们对代数也提出了批评，因为代数过于 受法刚和公式的的桌，成为一种阻母思想的技艺，而不是有益于发展思想的艺术，同时，他们都认积到几何学提 候了有关真实世界的知和真理，而代数学能用来对抽象的来知量进行推理，是一门潜在的方法科学，因此，把 代数学和儿柯学中一切精华的素西结合起来，可以取长补短。这样一来。一门新的科学诞生了。前卡儿的理论以 丙个概之为基硅：坐标概之和利用坐标方法把两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条由线的概念。因此， 解析几何是这样一个数学学科，它在采用坐标法的同时，运用代数方法米研究几何对象： 解析儿何的伟大意义表现在什么地方见？ 《1》数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学， (2》以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的更生莫定了基础。 (3》使代数和几何雕合为一体，实现了几何图形的数字化，是数字化时代的先声。 《4)代数的几何化和几何的代数化，使人们露税了现实的束傅。它带来了认识新空列的需要。师助人们从现 实空间迷入虚叔空间：从三推空间进入更高难的空间。 解析几何中的代数语言具有意想不到的作用，因为它不需要从几何考虑包行：
阿罗不可能定理不仅是一项数学成果，也是十分重要的经济成果。因此，作为一名数学家，于 1972 年获得了 诺贝尔经济奖。选举问题吸引经济学家的因素主要有两个方面：策略与公平性。而策略的研究又引出了博奕论。 6．伽利略的规划。历史上向前一步的进展，往往伴随着向后一步的推本溯源。欧洲在千余年的沉寂后，迎来 了伟大的文艺复兴。这是一个需要巨人，而且也产生了巨人的时代。1564 年，伽利略诞生了，不独有偶，同年 莎士比亚也诞生了。文艺复兴运动为人们带来了希腊的理性精神。伽利略是第一个举起理性旗帜的科学家。他的 工作成了现代科学的新起点。 近代科学成功的密诀在何处呢？在于科学活动选择了一个新目标。这个目标是伽利略提出的。希腊科学家曾 致力于解释现象发生的原因，例如亚里士多德曾花费大量时间去解释为什么空中的物体会落到地上。伽利略第一 个认识到关于事物原因与结果的玄想不能增进科学知识，无助于人们找出揭示和控制自然的办法。伽利略提出了 一个科学规划。这个规划包含三个主要内容： 第一，找出物理现象的定量描述，即联系它们的数学公式； 第二，找出最基本的物理量，这些就是公式中的变量； 第三，在此基础上建立演绎科学。 规划的核心就是寻求描述自然现象的数学公式。在这个思想的指导下，伽利略找出了自由落体下落的公式， 还找出了力学第一定律和第二定律。所有这些成果和其它成果，伽利略都总结在《关于两门新科学的方法和数学 证明》一书中，此书耗费了他 30 多年的心血。在这部著作中，伽利略开创了物理科学数学化的进程，建立了力 学科学，设计和树立了近代科学思维模式。 现在方向已经指明，航道已经开通，科学将呈现一种加速发展的趋势。但是，要前进必须有新的数学工具。 7．解析几何。解析几何的诞生是数学史上的另一个伟大的里程碑。他的创始人是笛卡儿和费马。他们都对欧 氏几何的局限性表示不满：古代的几何过于抽象，过多地依赖于图形。他们对代数也提出了批评，因为代数过于 受法则和公式的约束，成为一种阻碍思想的技艺，而不是有益于发展思想的艺术。同时，他们都认识到几何学提 供了有关真实世界的知识和真理，而代数学能用来对抽象的未知量进行推理，是一门潜在的方法科学。因此，把 代数学和几何学中一切精华的东西结合起来，可以取长补短。这样一来，一门新的科学诞生了。笛卡儿的理论以 两个概念为基础：坐标概念和利用坐标方法把两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的概念。因此， 解析几何是这样一个数学学科，它在采用坐标法的同时，运用代数方法来研究几何对象。 解析几何的伟大意义表现在什么地方呢？ （1）数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学。 （2）以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础。 （3）使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数字化，是数字化时代的先声。 （4）代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚。它带来了认识新空间的需要。帮助人们从现 实空间进入虚拟空间：从三维空间进入更高维的空间。 解析几何中的代数语言具有意想不到的作用，因为它不需要从几何考虑也行