《数学文化》辅导资料（三） 1-1什么是数学危机 为了讲清楚第三次数学危机的米龙去脉，我门首先要说明什么是数学危机。一般来 讲，危机是一种藏化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛所是无处不在的、不可是 免的，即便以确定无疑著称的爱学也不例外。 量学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、如法与减法、微分与积分、有理数与 无理数、实数与虚最等等。俱是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛屑，例如有穷与无穷， 连续与离散，乃至存在与构造，细与直观。具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整 个数学发展的历史上。贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基趾时， 就产生数学危机。 矛质的清除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展。甚至引起革命性 的变革，这也反肤出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发屎史款 是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展， 人类最早认讯的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么 大量的数的减法就行不通：月样，引进分数使乘法有了逆运算一一除法，否则许多实际问题 也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数米表示？于是发现 无理数就导政了第一次数学危机，而危机的解决也款促使逻州的发展和几何学的体系化： 方程的解导致了虚数的出现。虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实 的数却能解决实数所不能解决的问题。从而为自己争得存在的权利。 几何学的发展从欧几里得几问的一统天下发展到各种丰欧几何学也是如此。在十九 世纪发观了许多用传统方法不能解决的问愿，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、 乘、除、乘方、开方求出根来：古希醋几何三大问圈。即三等分任意角、倍立方体，化圆为 方不伦通过规、直尺作图来解决等等。 这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反缺了人类认识的深入。这种发现给 这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它门的方向，比如说，代数学从此以后向抽象代 数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种 情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不亮全性，许多问思的不可判定性 露大大提高了人们的认识，也促进了数理逐辑的大发展。 这种矛盾、危机引起的发展。改变面粮，其至引起革角。在数学发展历史上是愿见 不鲜的.第二次数学危机是由无穷小量的子盾引起的，它反联了数学内部的有限与无穷的子 所。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逐铜上严格的矛盾。在 这方面。比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出数评
《数学文化》辅导资料（三） 1-1 什么是数学危机 为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来 讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避 免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。 数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与 无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷， 连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整 个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时， 就产生数学危机。 矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性 的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就 是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么 大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题 也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现 无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。 方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实 的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。 几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九 世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、 乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为 方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。 这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给 这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽象代 数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种 情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性 都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。 这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见 不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛 盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在 这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评
贝有这两方面取得协调一数后，矛盾才能解决。后来算符演算及香函数也重复了这个过程， 开始是形式滴算、任意应用，直到储瓦尔签才闋定广义函数论的严整系统。 对于第三次数学危机，有人认为贝是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片 面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果 殿离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部 分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容。也有许多阿题要涉及无穷的方法，比如 解决数论中的许多门题都要用解析方法，由此看案，第三次数学危机是一次深刘的数学危机， 1-2第一次数学危机 从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演择系统的纯牌数学）来源于 古希醋的毕达哥校斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流 派。他们重祝自然及杜会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”， 在其中追求字宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可章的、准确 的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直 觉及日常经验。 毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了幻股定理。他口 知道锈足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发规了一线直角三角形的三边比不能用整 数来表达，也就是勾长暖股长与弦长是不可通的的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的 信条：字宙阿的一切现象都能归结为整数或整数之比。 不可通约性的发现引起第一次数学危机，有人说。这种性质是希帕索斯约在公元前 00年发现的，为此，他的同作把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事 实，而希帕素斯因沿密而被处死。不管怎样，这个发现对古希册的数学观点有极大的冲击。 这表明。几何学的某丝真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数想可 以由几何量表示出来。整数的等崇地位受到挑战。于是几何学开始在希曹数学中占有特味地 位。 同时这也反驍出，直觉和经验不一定靠得住，面推理证明才是可靠的。从此希量人 开始由“自明的”公理出发，经过演释推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思 想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。 1-3第一次数学危机的产物一古典逻辑与欧氏几何学 亚里士多德的方法论对于数学方法的响是巨大的，他指出了正确的定义螺理。亚 里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性米定义的东西可能未 必#在（如正九面体）。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原 始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法雷要规定和限制：
只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及 δ 函数也重复了这个过程， 开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。 对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片 面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果 脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部 分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如 解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。 1-2 第一次数学危机 从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于 古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前 500 年左右，它是一个唯心主义流 派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”， 在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确 的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直 觉及日常经验。 毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们 知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整 数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的 信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。 不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前 400 年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事 实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。 这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可 以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地 位。 同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人 开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思 想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。 1-3 第一次数学危机的产物—古典逻辑与欧氏几何学 亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理。亚 里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未 必存在(如正九面体)。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原 始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制
亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演择挂理的出发点。也区别了公理和公 设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。能 把逐辑规律（矛盾律、排中律等）也列为公理。 亚里士多德对逻辑推理过程进行装入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理 系饶，这是最早的公理系饶。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个貌立学科，而且对数学 正明的发履也有良好的影响。 亚里士多德对于离散与连续的子盾有一定闲述。对于潜在的无穷（大）和实在的无穷 (大)加以区别，他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。 饵是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在 无穷的。在细分上也是潜在无穷的。 欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多该。不过应该指出，欧几里 得的贡献在于他有史以来第一次总结了以柱希睡人的数学知识，构成一个标准化的滴绎体 系。这对数学乃至学、自然科学的影响一直廷续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原 理》和斯宾话涉的《伦理学》等都采用了欲几里得《几何冢本》的体侧。 做几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定文 五个公莲和五个公设，他规定了存在的证明依赖于构造。 《几何源本》在西方世界成为仅次于《圣轻》而流传最广的书辅。它一直是几何学 的标准著作。但是它还存在许多缺点并不新受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格 的：“点是没有部分的对象”。“线是没有党度的长度（线番曲线）”，“面是只有长度和宽 度的对象”·显然，这些定义是不能起逐辑推理的作用。特别是直线、平面的定文更是从 直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)， 另外，他的公理五是“整体大于部分”，没有涉及无穷量的同题。在他的正明中， 原米的公理也不够用。须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其也公理，公设推出更是 人所鼠口的月题。尽管如此，近代数学的体系特点在其中己经基本上形成了， 1-4丰做几何学的菌生 败几里得的《U几何原木》是第一次数学危机的产物。尽管它有种种点和毛病，毕 竟两干多年来一直是大家公认的具范。尤其是许多哲学家，把做几里得儿何学摆在绝对几 何学的地位。十八世纪时，大部分人都认为欧儿里得几是物质空间中图形性质的正确理想 亿。特别是集德认为美于空阿的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几 里得几何是唯一的、必松的、完美的。 既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直载了当。其他的公理和公设调 足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，象是一条定理
亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公 设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他 把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。 亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理 系统，这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对数学 证明的发展也有良好的影响。 亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的无穷(大)和实在的无穷 (大)加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上 1 以后总能得到一个新的数。 但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在 无穷的，在细分上也是潜在无穷的。 欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里 得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体 系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原 理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。 欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义， 五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。 《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学 的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格 的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽 度的对象”。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从 直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)。 另外，他的公理五是“整体大于部分”，没有涉及无穷量的问题。在他的证明中， 原来的公理也不够用，须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是 人所瞩目的问题。尽管如此，近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。 1-4 非欧几何学的诞生 欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。尽管它有种种缺点和毛病，毕 竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几 何学的地位。十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想 化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几 里得几何是唯一的、必然的、完美的。 既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其他的公理和公设都满 足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，象是一条定理
收几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线州交，在它一侧做成的两个 问侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在判侧内角和小于两直角的那一侧杆交， 在《几何原本)中，延明前28个命题并没有用到这个公设，这视自然引起人们考 虑：这条寥哩四嫁的公设是否可由其他的公理和公设推出。也就是说，平行公设可能是多 余的。 之后的二千多年，许许多多人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过 仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来， 所以他们只不过得到一些和平行公设等价的金愿罢了。 到了十八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得 出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在无穷运点处相交。而在交点处这两条线有 公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些性论的含义不 清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。 从旧的歌几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想， 首先，要能从二千年来证明平行公设的失数过程中看出这个证明是办不到的事。并 且这种不可能性是可以加以证实的：其次，要老取与平行公设相矛盾的其他公设。也隆建立 逻辑上没有矛所的几何。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。 要认凯到欧几里得几何不一定是物质空饲的儿何学，欧几里得几何学只是许多可能 的儿何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学，也 就是说。它的存在性只由无矛盾性米决定，虽说象兰的特等人已有这些思想苗头，但是真正 把几何学变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特， 这个过程是漫长的，其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和放哪分别玖立地创立布歌 几何学，尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的鞋创。后人把罗氏几何的无矛盾性隐含地 变成或氏几何无不盾性的同题。这种利用“慎型”和证明“相对无孑盾性”的思想一直贯穿 到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏儿何，也使得 大家在接受季数儿何方面起到重要作用。 应该指出，中欧几何为广大数学界接受还是经过几香艰苦斗争的，首先要证明第五 公设的否定并不会导致子盾，具有这样才能说新儿何学成立，才旋说明第五公设鞋立于别的 公理公设，这是一个起码的要求： 当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几黑得儿何学没 有矛盾。如果能把丰武几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛霜： 而这就要把幸欧几何中的点，直线，平面、角，平行等臣译成欧几里得几何学中相应的东西， 公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欺几何学的微 氏棋型
欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的两个 同侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。 在《几何原本》中，证明前 28 个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考 虑：这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是多 余的。 之后的二千多年，许许多多人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过 仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来， 所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。 到了十八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得 出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在无穷远点处相交，而在交点处这两条线有 公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不 清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。 从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。 首先，要能从二千年来证明平行公设的失败过程中看出这个证明是办不到的事，并 且这种不可能性是可以加以证实的；其次，要选取与平行公设相矛盾的其他公设，也能建立 逻辑上没有矛盾的几何。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。 要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是许多可能 的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学，也 就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象兰伯特等人已有这些思想苗头，但是真正 把几何学变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特。 这个过程是漫长的，其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分别独立地创立非欧 几何学，尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把罗氏几何的无矛盾性隐含地 变成欧氏几何无矛盾性的问题。这种利用“模型”和证明“相对无矛盾性”的思想一直贯穿 到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏几何，也使得 大家在接受非欧几何方面起到重要作用。 应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五 公设的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第五公设独立于别的 公理公设，这是一个起码的要求。 当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没 有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛盾。 而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西， 公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧 氏模型
对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的做氏模型有意大利数学家贝特拉米于186码年提 出的常负曲率曲面慎型：德国数学家克莱因于1871年提出的财影平面核型和彭加勒在182 年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几柯的相对无矛盾 性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的桶圆几何学，另外还可以推广到高 推空同上， 因此，从十九量纪六十年代末到八十年代初，大部分数学家接受了款几何学。尽 管有的人还坚持欧几里得几何学的独特性，目是许多人明确指出丰歌几何学和歌氏几何学 平起平坐的时代已经到来。当然也有少数确固派。如数理逻相的筛造者弗雷格，至死不肯承 认非欧几何学，不过这已无关大同了， 非欧几何学的创建对量学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题，从十九 世纪八十年代起，几何学的公理化成为大家关注的日标，并由党产生了希尔伯特的新公理 化运动。 1-5第二次数学危机 第二次数学意机发生在牛顿创立微积分的十七量纪第二次数学意机则是由牛顿学 派的外部、具克莱大主数提出的，是对牛领“无穷小量”说法的质量引起的。 希背人虽然没有刃确的极限颗念，但也们在处理积体积的月题时，却有严格的通 近步撑。这就是所谓“穷粥法”。它依靠河接的证明方法。证明了许多重要而难证的定理， 到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了 许多新问题，知求速度、求切线，以及求极大、极小值等日圈。经过许多人多年的务力，终 于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算一激积分这门学科，这也款是数学分析的开端。 牛顿和菜布尼兹被公认为徽积分的莫基者。他们的功续主要在于，1，把各种间恩 的解法统一成一种方法，徽分法和积分法：2，有明确的计算徽分法的步骤：3。微分法和 积分法互为逆塔算， 由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。同时关于 微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例，解时速度是A△1当△1趋向于零时的值。△ 是零、是很小的量。还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零，这引起了极大的争论，从 而引发了第二次数学危机。第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚， 极限的理论基础不半固。也低是说，微积分理论缺乏正辑基陆， 应当承认，贝克菜的责难是击中要害的。“无穷小”的方法在概念上和逐辑上都减乏 基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信 它，只是由于它使用起米方便有效，并且得出的结果总是对的第二次数学危机的实质。应 该说，是极限的概念不请楚，极限的理论基础不牢固。也瓷是说，微积分理论缺乏登辑基础， 由“无穷小”明发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分 学的基留。 到小9世纪，一批杰出数学家辛蜀、天才的工作，终于逐步建立了“格的极限理论，并
对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于 1869 年提 出的常负曲率曲面模型；德国数学家克莱因于 1871 年提出的射影平面模型和彭加勒在 1882 年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾 性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的椭圆几何学，另外还可以推广到高 维空间上。 因此，从十九世纪六十年代末到八十年代初，大部分数学家接受了非欧几何学。尽 管有的人还坚持欧几里得几何学的独特性，但是许多人明确指出非欧几何学和欧氏几何学 平起平坐的时代已经到来。当然也有少数顽固派，如数理逻辑的缔造者弗雷格，至死不肯承 认非欧几何学，不过这已无关大局了。 非欧几何学的创建对数学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题，从十九 世纪八十年代起，几何学的公理化成为大家关注的目标，并由此产生了希尔伯特的新公理 化运动。 1-5 第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪. 第二次数学危机则是由牛顿学 派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。 希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼 近步骤，这就是所谓“穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。 到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了 许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力，终 于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。 牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：1，把各种问题 的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和 积分法互为逆运算。 由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。同时关于 微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt 是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从 而引发了第二次数学危机。第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚， 极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。 应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏 基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信 它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的 .第二次数学危机的实质, 应 该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。 由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分 学的基础。 到19 世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并
把它作为微积分的基础。应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。 总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不范固。柯西的责献在于，将微积分建 立在极限论的基础。镜尔斯特拉所的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理 论，使之成为极限理论的基础，所以建立要学分析《或者说微积分)甚留的“逻辑顺序”是： 实数理论一极限理论一微积分。而“历史顺序”则正好相反。 第三次数学危机产生的背景 第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。 首先是逻组的数学化，促使了数理逻辑这门学科退生， 十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接案 源。十九量纪末。戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公 理化运动的最大成就则是看尔自特在18羽年对于初等儿何的公理化。 罗素的集合论悖论的出现使整个数学的基础似平也动摇了。这动摇所带米的震感是空前 的，罗素论引发的危机，就称为第三次数学危机。 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力米消除学论。当时酒释 悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析梓论产生的原 因，改造集合论，探讨清除悖论的可能，人门选择了后一条路。希里在消除悖论的同时，尽 量把原有理论中有价值的东西保图下米。这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明， 但并不是建立在明晰的公理基路之上的，这就留下了解决问题的余地，罗素等人分析后认为， 这些悖论的共同特征（撑论的实质）是“自我指谓”。即。个待定义的顺念，用了包含该 概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。为了消除掉论，数学家们要将康托“朴素的集 合论”加以公理化：并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”，“一 切属于自身的集合”这样的集合， 1908年，策梅洛(E.F.F.Zermelo,1871一1953》提出了由7条公理组成的集合论体系，称为 Z系统。 1922年，弗兰克尔(AA.Fracnk)又加进一条公理，还把公理用符号亚辑表示出来，形成 了集合论的正系统。再后来，还有改进的江C系统。这样，大体完成了由朴素集合论到 公理集合论的发展过程，悖论消隐了，第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合” 这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我折谓”， 恶性稀环的错误。以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的 思推，所以一旦遇到无穷时，要格外地小心心 数学与哲学 从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家都卷入到一场大，论当中。传们看 到这次危机湾及数学的根本，必美对数学的哲学基硅加以严斋的考察。在这场大，论中，原来的 不明显的意见分歧扩煲成为学服的争论，以罗素为代表的逻辑主文，以布劳威尔为代表的直觉主 又，以希尔伯特为代表的形式主义三大学深应词而生。勉们在争论过程中尽管言语尖刻，好象劳 不两立。其实使们各自的观点在争论过程中吸收了对立面的看法面有根多变化
把它作为微积分的基础。应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。 总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建 立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理 论，使之成为极限理论的基础，所以建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是： 实数理论—极限理论—微积分。而“历史顺序”则正好相反。 第三次数学危机产生的背景 第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。 首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。 十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来 源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公 理化运动的最大成就则是希尔伯特在 1899 年对于初等几何的公理化。 罗素的集合论悖论的出现使整个数学的基础似乎也动摇了。这一动摇所带来的震憾是空前 的，罗素悖论引发的危机，就称为第三次数学危机。 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除 悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原 因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽 量把原有理论中有价值的东西保留下来。这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明， 但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。罗素等人分析后认为， 这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓”。即，一个待定义的概念，用了包含该 概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集 合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一 切属于自身的集合”这样的集合。 1908 年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由 7 条公理组成的集合论体系，称为 Z-系统。 1922 年，弗兰克尔（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成 了集合论的 ZF-系统。再后来，还有改进的 ZFC-系统。这样，大体完成了由朴素集合论到 公理集合论的发展过程，悖论消除了。第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合” 这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、 恶性循环的错误。以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的 思维，所以一旦遇到无穷时，要格外地小心。 数学与哲学 从 1900 年到 1930 年左右，数学的危机使许多数学家都卷入到一场大辩论当中。他们看 到这次危机涉及数学的根本，必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的 不明显的意见分歧扩展成为学派的争论，以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主 义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派应运而生。他们在争论过程中尽管言语尖刻，好象势 不两立，其实他们各自的观点在争论过程中都吸收了对立面的看法而有很多变化
1930年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的露点。哲学的争论冷浅了下去，此后 各派力量沿着自己的道路发展演化，尽管争论的门题远未解决，但大能分数学家并不太关心相学 问思。近年米数学智学问圆又激起人门的兴是。因此我们有必要了解一下数学哲学的来龙去琳。 1,逻辑生文 罗素在1903年出版的（数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。他说：“纯 粹数学是所有形如‘P蕴满4”的所有命腿类，其中p和Q都包含数日相同的一个或多个变元的 命题，且p和▣除了型氧常项之外，不核含任何常项。所背逻织常项是可由下面这线对象定文的 概之：蕴涵，一个项与它所属类的美叛，如此这般的概多，关系的概老，以及象湾及上述形式一 般命题概念的其他概老，除此之外。数学使用一个不是它所考感的向思组成富分的概念。即真假 的概念。 这种看法是罗素自己最早发表的关于型男主义的论点。这种看法在以前也不同程度被戴 德金、弗雷格，皮亚诺，怀特海等人表达过，戴德金在1872年出版了《连续性及无理数》一文， 在这篇文章中，绝把有理数做为已知，进面分析连续性这个概念。为了要询底解决这个问愿，色 领考虑有理数乃至白然数产生的问巡。他认为应该建立在逻辑恭础上，们没有实行。 弗雷格在1884年《算术基硅》中认为每个数是一个独立的对像，他认为算术规则是分析 判斯，因此是先验的，根据这点，算术只是逐辑进一步发展的形式，每个算术定理是一个逻辑规 律，把算术应用刊白然现象上的解释只是对所观黎刊的事实的逻辑加工，计算瓷是推理，数字规 律无须实武检验即可应用于外在世界，而在外在世界、空间总体及其内容物，并没有概念、没有 数。因此，数字规排实际上不修反用于外在世界，这些规律井不是白然规律，不过它们可以应周 于对外在世界中的事物为真的判康上，这叁列断甲是自盐规律。它门反映的不是自然现象之间的 关系，面是关于白然现象的判断之间的关系。 早在罗素发现停论之前，他在写作《数学的原理》时就企图把数学还鼎为逻辑，由于发 观悖论，这个计划遗到了用难。他发现清降悖论的方法之后，又开始具体实璞地的计划，这戴是 他和怀特海合著的《数学原理》。 低然罗素，怀特海的《数学原理》原来的目的是全图把数学建立在速辑的基础上，因此 书一开始就提出几个不加定义的顺念和一些宠辑的公理，由此推出逐辑规则以及数学定性。 不加定义的概念有基木命题、命题函数、斯言，或、否()：这里讲韵命思是指际述 件事实或描述一种关系的一个语句，如“张三是人”，“草果是红的”等等，由这些概念可定义 逻绑上最重要的微念“蕴汤”， 要塑由逻纸推出数学，第一步是推出“数”米，这件事皮亚曙及弗雷格都做了，罗素在 酒除悖论之后，成功地用“类”米定义1。这个过程极为繁境费力，一直到《数学原理》第一卷 的363真才推出“1”的定义，而簧二卷费了很大力气证明了n×■■■×： 在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的日标在于正明“数学和远男是全等的”这 个逻辑主义论题。它可以分析为三部分内容：
1930 年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷淡了下去。此后 各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不太关心哲学 问题。近年来数学哲学问题又激起人们的兴趣，因此我们有必要了解一下数学哲学的来龙去脉。 1、逻辑主义 罗素在 1903 年出版的《数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。他说：“纯 粹数学是所有形如‘p 蕴涵 q’的所有命题类，其中 p 和 q 都包含数目相同的一个或多个变元的 命题，且 p 和 q 除了逻辑常项之外，不包含任何常项。所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的 概念：蕴涵，一个项与它所属类的关系，如此这般的概念，关系的概念，以及象涉及上述形式一 般命题概念的其他概念。除此之外，数学使用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念，即真假 的概念。” 这种看法是罗素自己最早发表的关于逻辑主义的论点。这种看法在以前也不同程度被戴 德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。戴德金在 1872 年出版了《连续性及无理数》一文， 在这篇文章中，他把有理数做为已知，进而分析连续性这个概念。为了要彻底解决这个问题，必 须考虑有理数乃至自然数产生的问题。他认为应该建立在逻辑基础上，但没有实行。 弗雷格在 1884 年《算术基础》中认为每个数是一个独立的对象。他认为算术规则是分析 判断，因此是先验的。根据这点，算术只是逻辑进一步发展的形式，每个算术定理是一个逻辑规 律。把算术应用到自然现象上的解释只是对所观察到的事实的逻辑加工，计算就是推理。数字规 律无须实践检验即可应用于外在世界，而在外在世界、空间总体及其内容物，并没有概念、没有 数。因此，数字规律实际上不能应用于外在世界，这些规律并不是自然规律。不过它们可以应用 于对外在世界中的事物为真的判断上，这些判断即是自然规律。它们反映的不是自然现象之间的 关系，而是关于自然现象的判断之间的关系。 早在罗素发现悖论之前，他在写作《数学的原理》时就企图把数学还原为逻辑，由于发 现悖论，这个计划遭到了困难。他发现消除悖论的方法之后，又开始具体实现他的计划，这就是 他和怀特海合著的《数学原理》。 既然罗素、怀特海的《数学原理》原来的目的是企图把数学建立在逻辑的基础上，因此， 书一开始就提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理，由此推出逻辑规则以及数学定性。 不加定义的概念有基本命题、命题函数、断言、或、否(非)；这里讲的命题是指陈述一 件事实或描述一种关系的一个语句，如“张三是人”，“苹果是红的”等等，由这些概念可定义 逻辑上最重要的概念“蕴涵”。 要想由逻辑推出数学，第一步是推出“数”来，这件事皮亚诺及弗雷格都做了。罗素在 消除悖论之后，成功地用“类”来定义 1。这个过程极为繁琐费力，一直到《数学原理》第一卷 的 363 页才推出“1”的定义，而第二卷费了很大力气证明了 n×m＝m×n。 在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这 个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：
1。每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单米讲，即每条数学直 理都能够表示为真正的亚氧命题。 2、每一条真的逻辑命思如果是一条数学真理的陆译，则它就是逻辑真理· 3、每条数学真理一且表示为一个逻辑命题。就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。 这三方面不完全一样，罗素只是分制在各处用一条或两条表示，过更男主义。由于骨德闲 的不完全定理，3是情的。们是还可以坚特1和2： 罗素认为逻辑主又的许多主要论点不是米自他本人，弗需格藏曾明确地表示过一些逐辑 主义的观点。是，遂辑主义观点尽管受到批判，罗素本人还一直留持。在三十年代以日，还是 有许多人发展逐辑主义。 逐辑主义从一开始就造到批评，“因为如果数学只是一套逐辑演择荔统，那么它怎么可 能反味广泛的白然现象呢？它又怎样能够有创造力观？它又生样能够产生新覆之呢？”用维特 鼠斯坦的话说，数学线是同语反复（重言式），结不出任何斯知识， 罗素悖论的出现。使得这一派痘到的攻击更大。彭加粉挖苦他们“逻辑主义的理论倒不 是不毛之地，什么包不长，它避长千居，这就更如让人受不了”。罗素一怀特海用了几年时间写 出了《数学短理)论证了白己的观点，仍不免通到乳讽。彭如精挖苦他门费根大力气去定复1， 说“这是一个可软可佩的定义，它献给事线从来不知道1的人”，别人也说这一套完全是中此纪 的教条。更有人指出这种方法的人为性，颜项性。尤其是可化归公理，显然是硬加上的，没有任 何白然之处。尽管如此，逻婚生义总算还使白图其说， 对逻辑主义致命打击的是辱德尔的不完全性定理。它证明了从逻辑并不能推出算术的正 确性米，显然把数学全部化日为逻辑祠底失收了，但是，罗素等人的历史功领是不可磨灭的，他 们为数学莫定了逐到基陆。在一授时期内，《数学原理》是一军导数学逐辑家的经典，至今它 还有一定的意义。 正辑主文也不是后维无人，英国的拉姆塞，美围的蜜因都对逻辑主义作了进一步的发展。 2,直意主义 直凳主义有着长远的历史，它植根于数学的构造性当中。古代数学大多是算，只是在欧 几里得几何学中逐辑才起一定作用。到了十七世纪解析几何和做积分发明之后，计算的倾向大大 超过了逐男顿向。十七、十八世纪的创造，并不考哆逻辑的严格，面具是醉心于计算。 十九世纪初，三个力量出现了，一个是解五次代数方程碰钉子，置要考忠存在性定理。 一个是非欧几何不矛盾，是逐辑而不是直觉在起作用。一个是数学分析不严格，产生觉课的结果： 在新的矛后面偷出呢一些事构造性结果。也考虑一些无穷的问思。这时追求严密与追求实用构造 两种领向都有增长，不过一粮数学家维持看微妙的平衡， 到了十九世纪术，集合论的出现藏起这两方面的尖锐斗争，于是出现极璃的构造主又者， 象克洛附克否认无理数存在，否认连使函数，快认为任何东西部要有构造步骤或判断准侧，们甲 使他本人的工作也不符合他白己的要求
1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来讲，即每条数学真 理都能够表示为真正的逻辑命题。 2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。 3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。 这三方面不完全一样，罗素只是分别在各处用一条或两条表示过逻辑主义。由于哥德尔 的不完全定理，3 是错的，但是还可以坚持 1 和 2。 罗素认为逻辑主义的许多主要论点不是来自他本人，弗雷格就曾明确地表示过一些逻辑 主义的观点。但是，逻辑主义观点尽管受到批判，罗素本人还一直坚持。在三十年代以后，还是 有许多人发展逻辑主义。 逻辑主义从—开始就遭到批评，“因为如果数学只是一套逻辑演绎系统，那么它怎么可 能反映广泛的自然现象呢？它又怎样能够有创造力呢？它又怎样能够产生新观念呢？”用维特 根斯坦的话说，数学就是同语反复(重言式)，结不出任何新知识。 罗素悖论的出现，使得这一派遭到的攻击更大。彭加勒挖苦他们“逻辑主义的理论倒不 是不毛之地，什么也不长，它滋长矛盾，这就更加让人受不了”。罗素—怀特海用了几年时间写 出了《数学原理》论证了自己的观点，仍不免遭到讥讽。彭加勒挖苦他们费很大力气去定义 1， 说“这是一个可钦可佩的定义，它献给那些从来不知道 1 的人”，别人也说这一套完全是中世纪 的教条。更有人指出这种方法的人为性、烦琐性。尤其是可化归公理，显然是硬加上的，没有任 何自然之处。尽管如此，逻辑主义总算还能自圆其说。 对逻辑主义致命打击的是哥德尔的不完全性定理，它证明了从逻辑并不能推出算术的正 确性来，显然把数学全部化归为逻辑彻底失败了。但是，罗素等人的历史功绩是不可磨灭的，他 们为数学奠定了逻辑基础。在一段时期内，《数学原理》是一部引导数学逻辑家的经典，至今它 还有一定的意义。 逻辑主义也不是后继无人，英国的拉姆塞、美国的奎因都对逻辑主义作了进一步的发展。 2、直觉主义 直觉主义有着长远的历史，它植根于数学的构造性当中。古代数学大多是算，只是在欧 几里得几何学中逻辑才起一定作用。到了十七世纪解析几何和微积分发明之后，计算的倾向大大 超过了逻辑倾向。十七、十八世纪的创造，并不考虑逻辑的严格，而只是醉心于计算。 十九世纪初，三个力量出现了，一个是解五次代数方程碰钉子，需要考虑存在性定理。 一个是非欧几何不矛盾，是逻辑而不是直觉在起作用。一个是数学分析不严格，产生荒谬的结果。 在新的矛盾面前出现一些非构造性结果，也考虑一些无穷的问题。这时追求严密与追求实用构造 两种倾向都有增长，不过一般数学家维持着微妙的平衡。 到了十九世纪末，集合论的出现激起这两方面的尖锐斗争。于是出现极端的构造主义者， 象克洛耐克否认无理数存在，否认连续函数，他认为任何东西部要有构造步骤或判断准则，但即 使他本人的工作也不符合他自己的要求
法因数学家多加粘等人是率直觉主义者，有人移为法围经验主文者，他们反对实无穷， 反对实数集合，反对选择公理，主要因为他们以为限本不能进行无穷的构造， 现代直量主义真正的莫基人是布劳成尔，他于1881年2月27日生于荷兰奥弗西。1897 年进入阿料所特丹大学学习，一直到1904年。他根快拿握了当时的数学并且发表关于儿何第一 个结果。他多少受曼诺利的影响。美心当时的基唱门题，在1907年博士论文中闹述自已对数学 基键问医的观点。 布劳减尔是从霄学中得出白己观点的，基本的直觉是按隔时间眼序出现的感觉，而这形 成白然数的颜念：这例不是新解的，他认为数学思维是头酵中的白由构造，与经验世界无关，只 受基本数学直凳为基础的限制，在这方面是不同于法国经荣主复者的。数学概念速入人精是先 于语言，逐辑和经验的，决定概含的正确性是直觉，面不是经验及重辑。这些充分攀露了他唯心 主义和神经主义的思塑领白。 布劳碱尔认为数学直觉的世界和感觉的世界是互相对立的，日常的语言属于感觉世界， 不属于数学，数学鞋立于语言存在，而逻辑是从属于语言的，它不是调露真理的工具，而是运用 话言的手段。正因为如此，数学中最主要的进展不是靠逻辑形式完美化而得到，而是靠基本理论 本身的变革。 布劳碱尔认为逐辑规律并不对数学有什么的束作用，数学是白由的，不一定道中什么逻 辑规则。他认为经典逻辑是从有限集合的数学拍象出来，投有理由运用到无穷集合。1908年， 他反对把排中律运用于无穷集合上，因为有穷集合可以逐个检查，面无穷集合则办不到。因此存 在不可断定真假的端三种情况，就是说有既不可正明，又非得要证明的命题， 1908年到1913年，布劳成尔主要从事拓扑学的研究，他运用单形冠近的方法证明了堂 数的拓扑不变性，这在数学上是个了不起的成就，是极重要的拓扑方法。他在李群、几何等方面 也有出色的工作，不过银快他又转肖基陆研究。 布劳碱尔象康德和彭加勒一样。认为数学定理是先验综合真理，他在1912年的阿朝断特 丹大学就积演说中，他承认由于非做几何的发展，康德的空间学说不可信。但他同鬼需格和罗素 相反，仍然室特康德的观点，算术是从对时间的直凳导出的。由于现代数学是建立在算术基础上 的，所以整个数学也是如此。正是时间单位的序列产生序数的概多，南连续统O,】只是不可用 新单位穷尽的居间性，他认为儿何学也依赖于这种直觉，他认为除了可数集合之外，没有其绝集 合，所以丛以上的拉穷数都是胡说八道，像0与1之间所有实数的集合是毫无意义的，这点他 在190感年罗马召开的国际数学家大会上请过，数学无穷集合只有一个基数，即可数无穷， 1909年他同希尔伯特通信，指出形式主义和直凳主义的争论焦点，1912年说到这个问圆 之日，绝一直到191？年才又开始这方面的论战。从这时起到二十年代米他发表一系列的文章， 开始建立一个不依靠排中律的集合论，接着又建立构造的测度论及函数论，这是能从消极的否定 转变为积侵的构适。同时他试图桂数学家相信排中律导出矛盾。他运用了扇定理，这个定理及选 择序列，散集等是他的直觉主义数学的独创 三十年代初期由于哥德尔的工作，许多数学家开始重祝直觉主义，外尔早在1920年左右 低表示效忠于直凭主义，从而激起希尔的新的极大损琴，地吸牧了直觉主义一些思想，开始用有
法国数学家彭加勒等人是半直觉主义者，有人称为法国经验主义者。他们反对实无穷， 反对实数集合，反对选择公理，主要因为他们认为根本不能进行无穷的构造。 现代直觉主义真正的奠基人是布劳威尔，他于 1881 年 2 月 27 日生于荷兰奥弗西。1897 年进入阿姆斯待丹大学学习，一直到 1904 年，他很快掌握了当时的数学并且发表关于几何第一 个结果。他多少受曼诺利的影响，关心当时的基础问题，在 1907 年博士论文中阐述自己对数学 基础问题的观点。 布劳威尔是从哲学中得出自己观点的，基本的直觉是按照时间顺序出现的感觉，而这形 成自然数的概念。这倒不是新鲜的，他认为数学思维是头脑中的自由构造，与经验世界无关，只 受基本数学直觉为基础的限制，在这方面他是不同于法国经验主义者的。数学概念进入人脑是先 于语言、逻辑和经验的，决定概念的正确性是直觉，而不是经验及逻辑。这些充分暴露了他唯心 主义和神秘主义的思想倾向。 布劳威尔认为数学直觉的世界和感觉的世界是互相对立的，日常的语言属于感觉世界， 不属于数学。数学独立于语言存在，而逻辑是从属于语言的，它不是揭露真理的工具，而是运用 语言的手段。正因为如此，数学中最主要的进展不是靠逻辑形式完美化而得到，而是靠基本理论 本身的变革。 布劳威尔认为逻辑规律并不对数学有什么约束作用，数学是自由的，不一定遵守什么逻 辑规则。他认为经典逻辑是从有限集合的数学抽象出来，没有理由运用到无穷集合。1908 年， 他反对把排中律运用于无穷集合上，因为有穷集合可以逐个检查，而无穷集合则办不到，因此存 在不可断定真假的第三种情况，就是说有既不可证明，又非得要证明的命题。 1908 年到 1913 年，布劳威尔主要从事拓扑学的研究，他运用单形逼近的方法证明了维 数的拓扑不变性，这在数学上是个了不起的成就，是极重要的拓扑方法。他在李群、几何等方面 也有出色的工作，不过很快他又转向基础研究。 布劳威尔象康德和彭加勒一样，认为数学定理是先验综合真理。他在 1912 年的阿姆斯特 丹大学就职演说中，他承认由于非欧几何的发展，康德的空间学说不可信。但他同弗雷格和罗素 相反，仍然坚持康德的观点，算术是从对时间的直觉导出的。由于现代数学是建立在算术基础上 的，所以整个数学也是如此。正是时间单位的序列产生序数的概念，而连续统[0，1]只是不可用 新单位穷尽的居间性，他认为几何学也依赖于这种直觉。他认为除了可数集合之外，没有其他集 合，所以 ω 以上的超穷数都是胡说八道，象 0 与 1 之间所有实数的集合是毫无意义的。这点他 在 1908 年罗马召开的国际数学家大会上讲过，数学无穷集合只有一个基数，即可数无穷。 1909 年他同希尔伯特通信，指出形式主义和直觉主义的争论焦点。1912 年说到这个问题 之后，他一直到 1917 年才又开始这方面的论战。从这时起到二十年代末他发表一系列的文章， 开始建立一个不依靠排中律的集合论，接着又建立构造的测度论及函数论，这是他从消极的否定 转变为积极的构造。同时他试图使数学家相信排中律导出矛盾。他运用了扇定理，这个定理及选 择序列、散集等是他的直觉主义数学的独创。 三十年代初期由于哥德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。外尔早在 1920 年左右 就表示效忠于直觉主义，从而激起希尔伯特的极大愤怒。他吸收了直觉主义一些思想，开始用有
佩生义方法来完成证明论方案，企图一劳水逸地解决基鸥利题。不料没使成功，于是还得求助于 无穷. 直觉主义仍然进行他们的事业，转则是海丁建立直觉亚辑系统。它包含古典逻辑系统， 后素更有人建立直觉主义集合论及直爱主义分析。不过，仍魅不能尽如人意， 1967年，美国数学家坪青售出饭《构造性分析》一书，开始了构造上义的时期。他们不 象以首直觉主义着那样偏激，而是积极采用构造的方法解决一个个具体问远。不去单纯的者定或 争论。毕肖普白信会取得大多数人的支持，不过设有能实观，因为他门毕竟成就有限，难于同整 个数学汪洋大海相比，可是十儿年来构造主又还是取得一定进展，如《构造性泛函分析》等问 世，说明它还有一定的市场 3,形式主文 一殿认为形式主文的莫基人是希尔伯特，但是看尔伯特白己并不自命为形式主复着。并 且，希尔的转的思塑有一个发展变化的过程，我们简单地介绍一下。希尔伯特是二十数纪最有影 响的数学家，他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域 中都微出伟大童献的全才。更重要的是，他对干数学基础问避有着长时期的持久关注，绝的思想 在现代数学也占有统治地位。 大卫·希尔伯特。1852年1月23日出生在东晋鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上学 1885年取得博士学位，18所年就任哥尼斯堡大学讲师，1888年因为解决了不变式理论中著名的 “哥尔界同题”开始在数学界架露头角，1891年他升任别教授。1893年升任数授，1895年，他 应克莱因之港，任哥丁根大孕教授，由此开辟了哥丁根大学的黄金时代。他在哥丁积大学任教至 1930年退体，其间培养了各国数学家，单是他指号的博士论文就有五、六十篇。由于他的影响， 辱丁根成为世界数学的中心，繁盛了三、因十年，一直到看特称掌权后才迅速地衰落下去。晚年 学生大都离开，色于1948年2月14在蕉寂中逝世， 希尔的行阗期主要供献在不变式论方面，1895年左右，他写了代数数论的总结性巨落。 二十世纪开时，他的兴便转向分析及物理学。从十九世纪末，他对数学基础做出重大责就。为 了方便起见，不妨把他关于数学基硅和数理逐辑的主要著作开列如下： 1899年，《几何学蒸础》，本书多次宜印及再版。生载最后一版为第七版(1930年)。正 文官分有中释本， 1900年，实数的公理化，以及“数学问题” 1904年。在海德堡因际数学家大会上的讲滴一“论逻辑和算术的基甜· 1917年。公理化思塑 1922年，“数学的新基硅”，以及“数学的议辑基础” 1925年。论无穷 1927年。数学基建
限主义方法来完成证明论方案，企图一劳永逸地解决基础问题，不料没能成功，于是还得求助于 无穷。 直觉主义仍然进行他们的事业，特别是海丁建立直觉逻辑系统，它包含古典逻辑系统。 后来更有人建立直觉主义集合论及直觉主义分析。不过，仍然不能尽如人意。 1967 年，美国数学家毕肖普出版《构造性分析》一书，开始了构造主义的时期。他们不 象以前直觉主义者那样偏激，而是积极采用构造的方法解决一个个具体问题。不去单纯的否定或 争论。毕肖普自信会取得大多数人的支持，不过没有能实现，因为他们毕竟成就有限，难于同整 个数学汪洋大海相比，可是十几年来构造主义还是取得一定进展，如《构造性泛函分析》等书问 世，说明它还有一定的市场。 3、形式主义 一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特，但是希尔伯特自己并不自命为形式主义者。并 且，希尔伯特的思想有一个发展变化的过程，我们简单地介绍一下。希尔伯特是二十世纪最有影 响的数学家，他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域 中都做出伟大贡献的全才。更重要的是，他对于数学基础问题有着长时期的持久关注，他的思想 在现代数学也占有统治地位。 大卫·希尔伯特，1862 年 1 月 23 日出生在东普鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上学， 1885 年取得博士学位，1886 年就任哥尼斯堡大学讲师。1888 年因为解决了不变式理论中著名的 “哥尔丹问题”开始在数学界崭露头角，1891 年他升任副教授，1893 年升任教授。1895 年，他 应克莱因之邀，任哥丁根大学教授，由此开辟了哥丁根大学的黄金时代。他在哥丁根大学任教至 1930 年退休，其间培养了各国数学家，单是他指导的博士论文就有五、六十篇。由于他的影响， 哥丁根成为世界数学的中心，繁盛了三、四十年，一直到希特勒掌权后才迅速地衰落下去。晚年 学生大都离开，他于 1948 年 2 月 14 在孤寂中逝世。 希尔伯特前期主要供献在不变式论方面。1895 年左右，他写了代数数论的总结性巨著。 二十世纪开始时，他的兴趣转向分析及物理学。从十九世纪末，他对数学基础做出重大贡献。为 了方便起见，不妨把他关于数学基础和数理逻辑的主要著作开列如下： 1899 年，《几何学基础》，本书多次宣印及再版，生前最后一版为第七版(1930 年)。正 文部分有中释本。 1900 年，实数的公理化，以及“数学问题” 1904 年，在海德堡国际数学家大会上的讲演—“论逻辑和算术的基础” 1917 年，公理化思想 1922 年，“数学的新基础”，以及“数学的逻辑基础” 1925 年，论无穷 1927 年，数学基础