《数学文化》辅导资料（二） 本文论述了在各门科学数学化的趋劳下，数学作为料学语言的重要地位，分析了数学能 够影响人类精神生活的几个特点，即它的确定性，简单性、深刻性，抽象性和自我完善性， 高度评价了数学在促进人类思想解放、使人类摆瓶宗教递信、不断创新的历史功锁，把数学 提到文化兴亡，民族盛衰的高度来认识。这些观点别开生面，今人耳目一新。（节选白《数 学与文化》（满南数育出版社1991年版）的绪言)。 可列举文化的各个部门：科学、文学、艺术、政治、宗教、伦理请注意，数学也是 文化的一部分，数学和任何其他学科不同，它几乎是任何科学所不可缺少的，没有任何一门 科学能像它那样泽被（泽被）恩泽广布。被，遍及。天下。它是现代科学技术的语言和工具， 这一点大概没有什么人会怀疑了。它的思想是许多物理学说的楼心，并为它们的出现开腺 了道路，了解这一点的人就比较少了。它曾经是科学革命的旗舰，现代科学之所以成为现代 科学，第一个决定性的海露是使白己数学化。为什么会这样？因为数学在人类理性思维活动 中有一些特点。这些特点的形成离不开各个时代的总的文化背景，同时又是数学影响人类文 化最突出之点。我这里并不想概括什么是数学文化，而只是就它对人类精神生话影响最突出 之处提出一些看法。诚然，其他的学科也可能有这些特点，但大抵是与受数学的影响分不开 的。 首先。它遍求一种完全确定、完全可靠的知识。在这木小书里可以看到许多梭吸引到数 学中米的人正是因为数学有这样的特点。例如说，欲几里得平面（欧几里得平而）指以做几 里得平行公理为黄提的平面，在非欧几何中，三角形的内角和就不是180°了。欧几里得约 生活于公元前30年左右，吉希稽数学家。所著《儿何原本》一书，将在他之前希精几何积 累起米的咸果归纳在严密的逻辑系统中，使几何学成为一门独立的、演桥的科学。上的三角 形内角和为180°，这绝不是说在某种条件下”，“绝大部分”三角形的内角在某种误差范 围内“为180°，面是在命题的线定范围内，一切三角形的内角和不多不少为18。产生这个 特点的原因可以由其对象和方法两个方面米说明，从希爵的文化背景中形成了数学的对象并 不只是具体月恩，数学所探讨的不是转解即适的知识，而是某种水短不变的东西。所以，数 学的对象必须有明确无误的概念，而且其方法必须由明确无误的命题开始，并服从明确无误 的推理规则，甜以达到正确的结论。通过纯粹的思维竟能在认识字宙上达到如此确定无量的 地步，当然会给一切需要思推的人以极大的启发，人们自然会要求在一切领域中军这样去微。 正是因为这样，而且也仅仅因为这样，数学方法既成为人类认识方法的一个具范，也成为人 在认识字宙和人类白己时必须持有的客观志度的一个标准。纸数学本身而言，达到数学真理 的途径低有逐辑的方而也有直觉的方而，但就其与其他科学比较而言，就其影响人类文化的 其他部门而言，它的逐辑方法是最突出的。这个方法发展成为人们常说的公理方法。迄今为 止，人类知识还没有事一个部门应月公理方法得到如数学那样大的成功。但是，如果到今天 某个知识部门还是只有论断而没有论据，只是一堆相互没有逻辑联系的价题，前后又无一贯 性，恐柏是不会有人接受的了。每个论点都必须有根据，都必须持之有理。除了逻辑的要求 和实我的检验以外，无论是几千年的习俗、京教的权威、皇帝的救令、流行的风尚统统是没 有用的。这样一种求真的药度，领毕生之力用果性的思维去解开都伟大而水恒的成？字宙和 人类的真面目是什么们？是人类文化发能到高度的标志。这个伟大的理性探案是数学发展必 不可少的文化背景，反过来也是数学贡献于文化最突出的功领之一。 数学作为人类文化组成部分的另一个特点是它不断追求最简单的、最深层次的、超出人 类感官所及的字宙的根本。所有这些研究都是在极抽象的形式下进行的。这是一种化繁为简 以求统一的过程。从古希醋起，人们就有一个信念：买冥之中最深处字宙有一个伟大的、统
《 数学文化》辅导资料（二） 本文论述了在各门科学数学化的趋势下，数学作为科学语言的重要地位，分析了数学能 够影响人类精神生活的几个特点，即它的确定性、简单性、深刻性、抽象性和自我完善性， 高度评价了数学在促进人类思想解放、使人类摆脱宗教迷信、不断创新的历史功绩，把数学 提到文化兴亡、民族盛衰的高度来认识。这些观点别开生面，令人耳目一新。(节选自《数 学与文化》(湖南教育出版社 1991 年版)的绪言)。 可列举文化的各个部门：科学、文学、艺术、政治、宗教、伦理……请注意，数学也是 文化的一部分。数学和任何其他学科不同，它几乎是任何科学所不可缺少的。没有任何一门 科学能像它那样泽被〔泽被〕恩泽广布。被，遍及。天下。它是现代科学技术的语言和工具， 这一点大概没有什么人会怀疑了。 它的思想是许多物理学说的核心，并为它们的出现开辟 了道路，了解这一点的人就比较少了。它曾经是科学革命的旗帜，现代科学之所以成为现代 科学，第一个决定性的步骤是使自己数学化。为什么会这样?因为数学在人类理性思维活动 中有一些特点。这些特点的形成离不开各个时代的总的文化背景，同时又是数学影响人类文 化最突出之点。我这里并不想概括什么是数学文化，而只是就它对人类精神生活影响最突出 之处提出一些看法。诚然，其他的学科也可能有这些特点，但大抵是与受数学的影响分不开 的。 首先，它追求一种完全确定、完全可靠的知识。在这本小书里可以看到许多被吸引到数 学中来的人正是因为数学有这样的特点。例如说，欧几里得平面〔欧几里得平面〕指以欧几 里得平行公理为前提的平面，在非欧几何中，三角形的内角和就不是 180°了。欧几里得约 生活于公元前 300 年左右，古希腊数学家。所著《几何原本》一书，将在他之前希腊几何积 累起来的成果归纳在严密的逻辑系统中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。上的三角 形内角和为 180°，这绝不是说“在某种条件下”，“绝大部分”三角形的内角和“在某种误差范 围内”为 180°，而是在命题的规定范围内，一切三角形的内角和不多不少为 180°。产生这个 特点的原因可以由其对象和方法两个方面来说明。从希腊的文化背景中形成了数学的对象并 不只是具体问题，数学所探讨的不是转瞬即逝的知识，而是某种永恒不变的东西。所以，数 学的对象必须有明确无误的概念，而且其方法必须由明确无误的命题开始，并服从明确无误 的推理规则，借以达到正确的结论。通过纯粹的思维竟能在认识宇宙上达到如此确定无疑的 地步，当然会给一切需要思维的人以极大的启发。人们自然会要求在一切领域中都这样去做。 正是因为这样，而且也仅仅因为这样，数学方法既成为人类认识方法的一个典范，也成为人 在认识宇宙和人类自己时必须持有的客观态度的一个标准。就数学本身而言，达到数学真理 的途径既有逻辑的方面也有直觉的方面，但就其与其他科学比较而言，就其影响人类文化的 其他部门而言，它的逻辑方法是最突出的。这个方法发展成为人们常说的公理方法。迄今为 止，人类知识还没有哪一个部门应用公理方法得到如数学那样大的成功。但是，如果到今天 某个知识部门还是只有论断而没有论据，只是一堆相互没有逻辑联系的命题，前后又无一贯 性，恐怕是不会有人接受的了。每个论点都必须有根据，都必须持之有理。除了逻辑的要求 和实践的检验以外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的敕令、流行的风尚统统是没 有用的。这样一种求真的态度，倾毕生之力用理性的思维去解开那伟大而永恒的谜??宇宙和 人类的真面目是什么???是人类文化发展到高度的标志。这个伟大的理性探索是数学发展必 不可少的文化背景，反过来也是数学贡献于文化最突出的功绩之一。 数学作为人类文化组成部分的另一个特点是它不断追求最简单的、最深层次的、超出人 类感官所及的宇宙的根本。所有这些研究都是在极抽象的形式下进行的。这是一种化繁为简 以求统一的过程。从古希腊起，人们就有一个信念：冥冥之中最深处宇宙有一个伟大的、统
一的，而且简单的设计图，这是一个数学设计图。在一切比较柔入的科学研究后面，心定有 一种信念驱使我门。这个信念线是：世界是合理的。简单的，因而是可以理解的，对于数学 研究则还要加上一点：这个世界的合理性，首先在于它可以用数学来描述。在古代，这个信 念有线神程色彩。可是发展到现代，科学轻过了多次伟大的综合。多少随意地列举一些：欧 几里得的馀合。牛顿牛顿（牛顿(1643？1727刀）英国伟大的数学家、物理学家、天文学家。 在数学上叫建了微积分，在物理学上建立了经奥物理学理论体系，在天文学上提出了万有引 力定律。是近代科学的集大成者，的嫁合：麦克斯事〔麦克斯183118)】英国物理学 家。提出了作为经典电动力学基健的麦克斯事方程组，统一了电磁理论。的综合：爱因斯坦 (爱因斯坦(187？1955)》20世纪最伟大的白然科学家，生于德国，193年移居美国。在光 量子论、分子运动论方面都成绩卓著。他创建的装文相对论和广文相对论，在更高层次上解 释了物质运动和时空关系，推动了现代物理学的革命，是一种新的综合◆的综合：量子物理 的第合〔量子物理的综合】指以量子力学为核心的量子物理学所取得的成就。量子力学是研 究微观粒子运动规律的科学，己成为近代物理学的基础理论之一，并且得到广泛的应用。： 计算机的出现。哪一次不是成多咸少遵简这个信念？也许有例外：达尔文和玉德尔〔五德尔 (1822?1884)】奥地利速传学家，速传学的奥基人。他通过进行魏豆象交实验，提出了速传 的分离定律和独立分配定律，这两个定律成为遗传学的基本定律，但是今天已经开始，人 们在用数学去讨论物种的进化与竟争，讨论遗传的规律。人们会又一次看见宇宙的根本规律 表现为一种抽象的、至少是数学味根重的设计图。这不是幻想面是现实。为什么DNA的双 螺旋结构是在卡文追什实验室)即英国剑桥大学的物理系，筹建于1871年，是世界上最有 声望的物理学研究和教育中心之一。这所实验室是为纪念英国物理学家和化学家卡文迪什 (1731?1810)面命名的。完成。受了研究分子结构的X射战衍射方法(X射线舒射方法】X 射线烈射到分子整齐排列的昌体上封，会产生一系列行射点。从这生厅射点的空间排列规律 及强度。可以推算出分子在品体中的持判情况和原子在分子中的立体排列情况。利用这一原 理测定分子立体结构的方法称为X射线缸射方法。美国遗传学家沃森和英国物理学家克里 克根据英国品体析射专家推尔金斯对服氧核糖核脑DNA)的X射找行射资料，提出了DNA 的双螺旋结构模型。郑么多好处？承道看不出这也是一种把生命归结为最简单成分的不同位 置、不同形式、不同数量而成的数学味很重的结构马这种深层次的酥究是能破豫建信的， 它鼓幼人门按孤最深刻的内在规律来考虑事物。我们为量界最的精巧和合理而欣喜而惊 异。这种感情正是人类文化精神的结品。数学正是在这样的文化气氛中成长的，而反过来推 动这种文化气氛的发展。现在应该提出的问题是，对这样一种信老应该老样去估价？是否还 应该同时也看到它的不足的一面？从科学史看来，一直#在一种还原“的顿向：把复桑的现 象归结为一些最简单的最原始的因素的作用。物体分成了“质点”、“电荷“：分成了分子、解 子、亚原子的控子：生物分成了细腹。然后又是细型核、田取质、染色体染色体】真核细 胞有往分裂和诚数分裂时出现的由桌色质聚集而成的结构，一般呈棒状，因易核碱性染料着 色，故称染色体，主要由核酸和蛋自质组成。是速传物质的主要基础、基因〔基因)速传物 质的最小功能单位，多数生物的基因由脱氧核糖核酸DNA)构咸，并在染色体上呈线状排列， 核酸（核酸）由数十至数十亿个核苷酸通过磷酸二酯健违接成的生物大分子，存在于所有动 物、植物、微生物体内，根据组成成分不同可分为眼氧核糖核酸DNA)和核糖核酸RNA)两 大类，是生命最基本的物质之一。：：丰富无比、千差万别的世界的多样性似乎越米越被归 钠为这些基本的成分或称为字宙的砖石在数量上，彩状上，结构上的差别，这当然是数学发 挥作用的大好场所。同时也就产生了一种越米越深刻的疑问：大千世界真是由这些最简单的 成分叠加的吗难道线性的叠加原理[线性的叠加螺理]指事物呈直线增长。线性是一个数 学概念，即数学对象之间的关系是以一次的形式米表达的，是成正比例增长的，可以用直线 表示。竟是宁害的最根本木法则吗？由一堆砖石国然可以建成宏伟的纪念碑，却也可以挤起一
一的、而且简单的设计图，这是一个数学设计图。在一切比较深入的科学研究后面，必定有 一种信念驱使我们。这个信念就是：世界是合理的，简单的，因而是可以理解的。对于数学 研究则还要加上一点：这个世界的合理性，首先在于它可以用数学来描述。在古代，这个信 念有些神秘色彩。可是发展到现代，科学经过了多次伟大的综合。多少随意地列举一些：欧 几里得的综合。牛顿牛顿〔牛顿(1643?1727)〕英国伟大的数学家、物理学家、天文学家。 在数学上创建了微积分，在物理学上建立了经典物理学理论体系，在天文学上提出了万有引 力定律，是近代科学的集大成者。的综合；麦克斯韦〔麦克斯韦(1831?1879)〕英国物理学 家。提出了作为经典电动力学基础的麦克斯韦方程组，统一了电磁理论。的综合；爱因斯坦 〔爱因斯坦(1879?1955)〕20 世纪最伟大的自然科学家，生于德国，1933 年移居美国。在光 量子论、分子运动论方面都成绩卓著。他创建的狭义相对论和广义相对论，在更高层次上解 释了物质运动和时空关系，推动了现代物理学的革命，是一种新的综合。的综合；量子物理 的综合〔量子物理的综合〕指以量子力学为核心的量子物理学所取得的成就。量子力学是研 究微观粒子运动规律的科学，已成为近代物理学的基础理论之一，并且得到广泛的应用。； 计算机的出现，哪一次不是或多或少遵循这个信念? 也许有例外：达尔文和孟德尔〔孟德尔 (1822?1884)〕奥地利遗传学家，遗传学的奠基人。他通过进行豌豆杂交实验，提出了遗传 的分离定律和独立分配定律，这两个定律成为遗传学的基本定律。，但是今天已经开始，人 们在用数学去讨论物种的进化与竞争，讨论遗传的规律。人们会又一次看见宇宙的根本规律 表现为一种抽象的、至少是数学味很重的设计图。这不是幻想而是现实。为什么 DNA 的双 螺旋结构是在卡文迪什实验室〕即英国剑桥大学的物理系，筹建于 1871 年，是世界上最有 声望的物理学研究和教育中心之一。这所实验室是为纪念英国物理学家和化学家卡文迪什 (1731?1810)而命名的。完成，受了研究分子结构的 X 射线衍射方法〔X 射线衍射方法〕X 射线照射到分子整齐排列的晶体上时，会产生一系列衍射点。从这些衍射点的空间排列规律 及强度，可以推算出分子在晶体中的排列情况和原子在分子中的立体排列情况。利用这一原 理测定分子立体结构的方法称为 X 射线衍射方法。美国遗传学家沃森和英国物理学家克里 克根据英国晶体衍射专家维尔金斯对脱氧核糖核酸(DNA)的 X 射线衍射资料，提出了 DNA 的双螺旋结构模型。那么多好处?难道看不出这也是一种把生命归结为最简单成分的不同位 置、不同形式、不同数量而成的数学味很重的结构吗?这种深层次的研究是能破除迷信的， 它鼓励人们按照最深刻的内在规律来考虑事物。我们为世界图景的精巧和合理而欣喜而惊 异。这种感情正是人类文化精神的结晶。数学正是在这样的文化气氛中成长的，而反过来推 动这种文化气氛的发展。现在应该提出的问题是，对这样一种信念应该怎样去估价？是否还 应该同时也看到它的不足的一面?从科学史看来，一直存在一种“还原”的倾向：把复杂的现 象归结为一些最简单的最原始的因素的作用。物体分成了“质点”、“电荷”；分成了分子、原 子、亚原子的粒子；生物分成了细胞，然后又是细胞核、细胞质、染色体〔染色体〕真核细 胞有丝分裂和减数分裂时出现的由染色质聚集而成的结构，一般呈棒状，因易被碱性染料着 色，故称染色体，主要由核酸和蛋白质组成，是遗传物质的主要基础、基因〔基因〕遗传物 质的最小功能单位，多数生物的基因由脱氧核糖核酸(DNA)构成，并在染色体上呈线状排列。 核酸〔核酸〕由数十至数十亿个核苷酸通过磷酸二酯键连接成的生物大分子，存在于所有动 物、植物、微生物体内，根据组成成分不同可分为脱氧核糖核酸(DNA)和核糖核酸(RNA)两 大类，是生命最基本的物质之一。……丰富无比、千差万别的世界的多样性似乎越来越被归 纳为这些基本的成分或称为宇宙的砖石在数量上、形状上、结构上的差别，这当然是数学发 挥作用的大好场所。同时也就产生了一种越来越深刻的疑问：大千世界真是由这些最简单的 成分叠加的吗?难道线性的叠加原理〔线性的叠加原理〕指事物呈直线增长。线性是一个数 学概念，即数学对象之间的关系是以一次的形式来表达的，是成正比例增长的，可以用直线 表示。竟是宇宙的最根本法则吗?由一堆砖石固然可以建成宏伟的纪念碑，却也可以搭起一
座马椰。它们的区别究竟何在可是，每一个从事数学研究的人仍然抱有下面说的信念：塑 解决这个更深刻的月题？我把它将为嫁合，而把那种还星的佩向称为分析？仍然要靠数孕 当代数学的发展将越来越证实这一点。 数学的再一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自己。在发挥自己力量的同 时又研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断反思，不断批判白已，并且以此开牌 自己前进的道路，它不斯政力于分析自己的颗老，分析自己的逻辑结构，它不斯地反思：自 己的概念、自己的万法能走多远？从希精时代起，毕达哥拉所[毕达哥拉所（约前58约铜 S00)】古希醴哲学家，数学家、天文学家。他是“毕达哥拉斯学派“的额袖。相信数是万物的 本原。毕达哥拉斯以发现匀股定理弘西方称为坪达哥拉斯定理)而称于世，认为宇宙即数（他 是指白然数)，可是遇到了无理数，后来的希腊人只好采用不可公度理论〔不可公度理论】 华达督拉斯学派把那些能用整数之比表达的比称作可公度比，而把那些不能用整数之比表达 的比称作不可公度比。触们认为不可公度（即相比的两个量不能用一个公共度量单位量尽）就 意味着不和谐完美，所以不去研究它。这实际上是不承认无理数的存在◆，因为弄不清，线 干魔不讲无理数，而时论一取的线段长。希背人甚至不讲数，使希普数学与其他民收？例如 中国？相比呈现了缺点。但即令如此，也要保持高度严整，而不允许采取折表主义的志度。 历史终于证明，正是希量人开辟了研究无理数系的道路。他们研究数学，却同时考虑数学研 究的对象是否存在。希普人考虑数学对象的存在问题，把存在归结为可构造，然后就月：“用 直尺与圆规经有限步骤去三等分任意角可能吗？因为弄不请是否可能，即没有构造的方法以 正明三等分角的存在。触们的几何学中干葡不讲一个角的三分之一，只博平分线。从不讲角 三分找。感向后面发展，数学就出现了感来越多的不可能性“，+1=0不可隆在实数城中 求解，五次以上的方程不能用根式求解。平行线公理能不德证明？到20世起韧才知道是既不 能证明又不能香证。大家都说，数学最需要严格性，数学家就要问什么叫严格性？大家都说， 数学在证明一申串的定理，数学家就要问什么叫证明？数学越发展。取得的成就越大，数学 家就越要问自己的基础是不是巩因。越是在表面上看来没有问愿的地方，越要找出问思来。 乘法明明是可以交换的，偏偏要研究不可交换的乘法。孟子自隋地说：“予岂好辩银？予不得 已也（予岂好料提？予不得已也）这句话见于《孟子？膝文公下，是孟子回蓉别人付话的话乱别 人问他：“外人皆称夫子好#，收月何也？"数学家只需要换一个字：“予岂好变"战？予不得 己也！当然。任何科学要发展就要变。但是只是在与实际存在的事物、现象成实验的结果发 生矛盾时才变，惟有数学，时常是在理性思推感到有了问盟时就要变，而且，其他科学中一变 的颜向时常是由数学中的变”直接或间接引起的。当然，数学中许多重要的变是由于直觉地 感到有变的必要，感到只有变才能直视字宙的真面目。但无论如何。是先从思推的王国里开 始变，即否定自已。这种变的结果时常是“从一一无所有之中创适了新的字宙”。 到了最后，数学开始怀疑起自己的整体，考虑自己的力量界限何在，大概是到了9世 纪术年，数学向自己提出的问题是：我真是个没有矛盾的体系吗？我真正提供了完全可靠， 确定无疑的知识吗？我白认为是在追求真里，可是真·究意是指什么？我证明了某些对象的存 在，或者说我无子盾地创造了自己的研究对象，可是它们确实存在吗如果我不能真正地把 这些东西构造出来，又怎么知道它是存在的呢？我是不是一张空头支票，一套没有银行的支 票呢 总之，。数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的枝叶，吸收阳光。它不断扩展自己的 领地，在它的树干上有越来越多的鸟果，它为越来越多的学科提供支持，也从越来越多的学 科中吸取营养，它又把自己的根伸向越来越深的理性思维的士地中，使它越来越牢固地站立。 从这个意义上米讲，数学是人类理性发展最高的成就成者再加上“之”二字更好一些)， 数学深刻地影响人类精神生活，可以概括为一句话，就是它大大地促进了人的思想解救， 提高与丰富了人类的整个精神水平。从这个意义上讲，数学使人成为更完全、更丰富、更有
座马棚，它们的区别究竟何在?可是，每一个从事数学研究的人仍然抱有下面说的信念：想 解决这个更深刻的问题??我把它称为综合，而把那种还原的倾向称为分析??仍然要靠数学， 当代数学的发展将越来越证实这一点。 数学的再一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自己。在发挥自己力量的同 时又研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断反思、不断批判自己，并且以此开辟 自己前进的道路。它不断致力于分析自己的概念，分析自己的逻辑结构。它不断地反思：自 己的概念、自己的方法能走多远?从希腊时代起，毕达哥拉斯〔毕达哥拉斯(约前 580?约前 500)〕古希腊哲学家、数学家、天文学家。他是“毕达哥拉斯学派”的领袖，相信数是万物的 本原。毕达哥拉斯以发现勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理)而著称于世。认为宇宙即数(他 是指自然数)，可是遇到了无理数，后来的希腊人只好采用不可公度理论〔不可公度理论〕 毕达哥拉斯学派把那些能用整数之比表达的比称作可公度比，而把那些不能用整数之比表达 的比称作不可公度比。他们认为不可公度(即相比的两个量不能用一个公共度量单位量尽)就 意味着不和谐完美，所以不去研究它。这实际上是不承认无理数的存在。，因为弄不清，就 干脆不讲无理数，而讨论一般的线段长。希腊人甚至不讲数，使希腊数学与其他民族??例如 中国??相比呈现了缺点。但即令如此，也要保持高度严整，而不允许采取折衷主义的态度。 历史终于证明，正是希腊人开辟了研究无理数系的道路。他们研究数学，却同时考虑数学研 究的对象是否存在。希腊人考虑数学对象的存在问题，把存在归结为可构造，然后就问：“用 直尺与圆规经有限步骤去三等分任意角可能吗?”因为弄不清是否可能，即没有构造的方法以 证明三等分角的存在，他们的几何学中干脆不讲一个角的三分之一，只讲平分线，从不讲角 三分线。越向后面发展，数学就出现了越来越多的“不可能性”：x2+1=0 不可能在实数域中 求解，五次以上的方程不能用根式求解。平行线公理能不能证明?到 20 世纪初才知道是既不 能证明又不能否证。大家都说，数学最需要严格性，数学家就要问什么叫严格性?大家都说， 数学在证明一串串的定理，数学家就要问什么叫证明?数学越发展，取得的成就越大，数学 家就越要问自己的基础是不是巩固。越是在表面上看来没有问题的地方，越要找出问题来。 乘法明明是可以交换的，偏偏要研究不可交换的乘法。孟子自嘲地说：“予岂好辩哉?予不得 已也〔予岂好辩哉?予不得已也〕这句话见于《孟子?滕文公下》，是孟子回答别人问话的话(别 人问他：“外人皆称夫子好辩，敢问何也?”)!”数学家只需要换一个字：“予岂好‘变’哉?予不得 已也!”当然，任何科学要发展就要变。但是只是在与实际存在的事物、现象或实验的结果发 生矛盾时才变。惟有数学，时常是在理性思维感到有了问题时就要变。而且，其他科学中“变” 的倾向时常是由数学中的“变”直接或间接引起的。当然，数学中许多重要的变是由于直觉地 感到有变的必要，感到只有变才能直视宇宙的真面目。但无论如何，是先从思维的王国里开 始变，即否定自己。这种变的结果时常是“从一无所有之中创造了新的宇宙”。 到了最后，数学开始怀疑起自己的整体，考虑自己的力量界限何在。大概是到了 19 世 纪末年，数学向自己提出的问题是：“我真是一个没有矛盾的体系吗?我真正提供了完全可靠、 确定无疑的知识吗?我自认为是在追求真理，可是‘真’究竟是指什么?我证明了某些对象的存 在，或者说我无矛盾地创造了自己的研究对象，可是它们确实存在吗?如果我不能真正地把 这些东西构造出来，又怎么知道它是存在的呢?我是不是一张空头支票，一张没有银行的支 票呢?” 总之，数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的枝叶，吸收阳光。它不断扩展自己的 领地，在它的树干上有越来越多的鸟巢，它为越来越多的学科提供支持，也从越来越多的学 科中吸取营养。它又把自己的根伸向越来越深的理性思维的土地中，使它越来越牢固地站立。 从这个意义上来讲，数学是人类理性发展最高的成就(或者再加上“之一”二字更好一些)。 数学深刻地影响人类精神生活，可以概括为一句话，就是它大大地促进了人的思想解放， 提高与丰富了人类的整个精神水平。从这个意义上讲，数学使人成为更完全、更丰富、更有
力量的人。爱因所坦说的得到解放”，其实正是这个意思。 数学作为文化的一都分，其最根本的特征是它表达了一种深索精神。数学的出现，确实 是为了满足人类的物质生活需要。可是，离开了这种探索精神，数学是无法满足人的物质需 要的。“风调南顺”是人类的物质生活不可少的。可是“票师"的析南”不也]是满足需要的手 段”之一吗？人总有一个信念，字宙是有秩序的。数学家更进一步相信，这个秩序是可以用数 学表达的，因此人应该去探素这种深层的内在的秩序，以此来满是人的物质需要。因比，数 学作为文化的一部分，其水恒的主墨是“认识字宙，也认识人类白己“。在这个探索过程中， 数学把理性思雀的力量发挥阁淋南尽政。它提供了一种思维的方法与模式，提供了一种最有 力的工具，提供了一种思维合理性的杯春，给人类的思易解放打开了道路。现在人人都知道 实验方法的重要性，但是任何科学实验，离开了一定的逻辑思推，将是没有意义的。在加利 略（如利略(156？1642）)意大利伟大的物理学家、天文学家。他在人类历史上首先通过科 学实验的方法购会贯通了数学、物理学和天文学三门知识，在物理学上阐明了惯性原理和如 速度原理，是科学革命的先驱者。的时代就是这样，他的许多实验都是所谓理想实单，在近 代就更是这样。在不同的时代有不月的文化，不问的民族有不同的文化。相是，数学在文化 中的这一地位是不可移易的，并且目益加强，有人认为数学是现代文化的核心域基石，始终 处于中心地位，而影响到人类知识的一切部门。似乎没有必要去争这个中心”或核心“的地 位，但是历史已经证明，面且将雅续证明。一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的， 一个不家握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的， 饽论及其解决方案 1、一连串撑论的出现 罗素的悖论以其简单明确覆动了整个数学界，造成第三次数学危机。但是，罗素性 论并不是头一个悖论。老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蘑已经发现集合论 中的矛盾。罗素悖论发表之后，更出观了一连串的逐辑掉论。这些梓论使入暖塑到古代的说 藏者梓论。即“我正在说适”，“这句话是整话”等。这些悖论合在一起，造成极大问题， 促使大家都去关心如何解决这些樟论。 头一个发表的悖论是泰拉里·相蒂修论，这个作论是说，序数按照它们的自然顺序 形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数日，这个序数日由定文应谈属于这 个良序集。可是由序数的定文，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因 此口应该比任何序数都大，从而又不属于口。这是布拉里·福蒂1897年3月8日在巴洛 摩数学会上宜读的一算文章里提出的：这是头一个发表的近代梓论，它引起了数学界的兴趣， 并导致了以后许多年的热烈时论。有几十篇文章时论悖论问愿。极大地推动了对集合论基留 的重新事查。 每拉里·相馨本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康 托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后米布拉里·福蒂在这方面并没有做 工作， 罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集显然是全序，并非良序，不过这种说 法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。法国厦辑学家萄尔丹找到一条出路
力量的人。爱因斯坦说的“得到解放”，其实正是这个意思。 数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神。数学的出现，确实 是为了满足人类的物质生活需要。可是，离开了这种探索精神，数学是无法满足人的物质需 要的。“风调雨顺”是人类的物质生活不可少的。可是“巫师”的“祈雨”不也[]是满足需要的“手 段”之一吗?人总有一个信念：宇宙是有秩序的。数学家更进一步相信，这个秩序是可以用数 学表达的，因此人应该去探索这种深层的内在的秩序，以此来满足人的物质需要。因此，数 学作为文化的一部分，其永恒的主题是“认识宇宙，也认识人类自己”。在这个探索过程中， 数学把理性思维的力量发挥得淋漓尽致。它提供了一种思维的方法与模式，提供了一种最有 力的工具，提供了一种思维合理性的标准，给人类的思想解放打开了道路。现在人人都知道 实验方法的重要性，但是任何科学实验，离开了一定的逻辑思维，将是没有意义的。在伽利 略〔伽利略(1564?1642)〕意大利伟大的物理学家、天文学家。他在人类历史上首先通过科 学实验的方法融会贯通了数学、物理学和天文学三门知识，在物理学上阐明了惯性原理和加 速度原理，是科学革命的先驱者。的时代就是这样，他的许多实验都是所谓理想实验，在近 代就更是这样。在不同的时代有不同的文化，不同的民族有不同的文化。但是，数学在文化 中的这一地位是不可移易的，并且日益加强。有人认为数学是现代文化的核心或基石，始终 处于中心地位，而影响到人类知识的一切部门。似乎没有必要去争这个“中心”或“核心”的地 位，但是历史已经证明，而且将继续证明，一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的， 一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。 悖论及其解决方案 1、一连串悖论的出现 罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。但是，罗素悖 论并不是头一个悖论。老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论 中的矛盾。罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。这些悖论使入联想到古代的说 谎者悖论。即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。这些悖论合在一起，造成极大问题， 促使大家都去关心如何解决这些悖论。 头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序 形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数 Ω，这个序数 Ω 由定义应该属于这 个良序集。可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因 此 Ω 应该比任何序数都大，从而又不属于 Ω。这是布拉里·福蒂 1897 年 3 月 28 日在巴洛 摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣， 并导致了以后许多年的热烈讨论。有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础 的重新审查。 布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康 托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做 工作。 罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说 法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路
他区分了相容集和不相容集。这种区分实际上碳托尔已经私下用了许多年了。不久之后，罗 素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有月样的想法，后来的 许多人在这个领域都持有同样的塑法： 布拉里·福著文章中对良序集有一个情误的概之，这个概之是廉托尔1883年引进来 的，但一直没有受到什么重视。18网7年8月。在布拉里·福蒂的文章发表以后，阿达马在 第一次国际数学家大会上仍然给出了一个错谈的良序集的定义，因为布拉里。相著所考虑的 关于良序集的顺念太弱了，他不得不引进自己的完全序。这两个概念并不一政，每一个良序 集是完全序集。但是反过米不对。布拉里·福蒂很快就认识到他的错误，他在1897年10 月的一算文章中指出这两个概念的不同，但是他没有重新校在自己的证明。一直到1906年 初他给库图拉的一封信中，他似乎还认为：一旦良序集和完全序集的区别被人们队识到，在 他的文章中掬示的矛盾就会清除。 康托尔189的年7月28日给戴德金的信中，谈到布拉里·福蒂所提到的矛听，这个 千盾并没有导致膜托尔载年集合的良序性，而收年了它的集合性。触把集合分为两类：相容 集合和不相容集合，面只把前者叫做集合。这种区分法预示了冯·诺依曼在1925年引进的 集合和类的区别。但是康托尔对于这种区分的判断标准仍然是不精确的。如果我们把一个集 体考感为一个对象面没有矛盾，它是一个集合。这个想法后来改违为：当一个集体是另一个 集体的元素，它是一个集合。 这种相容集体和不相容集体的区颗测早已被能罗德引进来，他认为如果集体的元素祓 此是相容的，它是相容的：而如果集体的元素被此是不相容的，它是不相容的。有趣的是施 罗德引进的这种区分和悖论设有关系，因为这种现代形式的悖论当时还不如道。康托尔关于 集体的叙述一两个等价的集体或者都是集合，或者都是不相容的，可以看成是取代公理的 最早的表述。这个公理是弗兰克尔和斯科兰焊在1922年提出的。 泰拉里·福馨的悖论到示了康托尔集合论的矛盾。其实，康托尔木人在这之前己超 意识到集合论的内在子盾。他在1899年7月8日给戴德金的信中指出，不能该论由一切集 合构成的集合，否则就会陷入矛盾。这实际上就是罗素悖论的内容。 康托尔最大基数梓论和布拉黑·幅蒂悖论到罗素梓论都是集合论悖论，它门直接同 康托尔朴素集合论的不严格性有关。毛病出在集合的定义上，也就是任何性质线对应一个具 有这种性质的集合，这瓷是所谓内函公理组。集合论的这种矛盾必须通过侧弱这个错误的公 理组才能解决。 罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论《后来白入所谓语义悖论)： (1),理查德悖诊。法国第戎中学教师理查德在1906年发表了一个悖论，大意如 下，法语中某些片语表示实数，比如“一个圆的圆周与直径之比”就表示实数”，法语字 母也象英语字母一样有一定的顺序，所以我们可以把所有片语按黑字母顺序排列，然后按属 片语中字母的多少样列，少的在前，多的在后。这样我们把能用片语表达的实数排成一个序 列，1,2，：，“。于是就得到了所有能用有限多字（字母》定义的数了。它们构成了 一个可数集合，现在我们提出一个规则把这个序列成变一下造成一个爱来：“设E中第
他区分了相容集和不相容集。这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。不久之后，罗 素在 1905 年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的 许多人在这个领域都持有同样的想法。 布拉里·福蒂文章中对良序集有一个错误的概念，这个概念是康托尔 1883 年引进来 的，但—直没有受到什么重视。1887 年 8 月，在布拉里·福蒂的文章发表以后，阿达马在 第一次国际数学家大会上仍然给出了一个错误的良序集的定义。因为布拉里．福蒂所考虑的 关于良序集的概念太弱了，他不得不引进自己的完全序。这两个概念并不一致，每一个良序 集是完全序集，但是反过来不对。布拉里·福蒂很快就认识到他的错误，他在 1897 年 10 月的一篇文章中指出这两个概念的不同，但是他没有重新检查自己的证明。一直到 1906 年 初他给库图拉的—封信中，他似乎还认为：一旦良序集和完全序集的区别被人们认识到，在 他的文章中揭示的矛盾就会消除。 康托尔 1899 年 7 月 28 日给戴德金的信中，谈到布拉里·福蒂所提到的矛盾，这个 矛盾并没有导致康托尔放弃集合的良序性，而放弃了它的集合性。他把集合分为两类：相容 集合和不相容集合，而只把前者叫做集合。这种区分法预示了冯·诺依曼在 1925 年引进的 集合和类的区别。但是康托尔对于这种区分的判断标准仍然是不精确的。如果我们把一个集 体考虑为一个对象而没有矛盾，它是一个集合。这个想法后来改进为：当一个集体是另一个 集体的元素，它是一个集合。 这种相容集体和不相容集体的区别早已被施罗德引进来。他认为如果集体的元素彼 此是相容的，它是相容的；而如果集体的元素彼此是不相容的，它是不相容的。有趣的是施 罗德引进的这种区分和悖论没有关系，因为这种现代形式的悖论当时还不知道。康托尔关于 集体的叙述——两个等价的集体或者都是集合，或者都是不相容的，可以看成是取代公理的 最早的表述。这个公理是弗兰克尔和斯科兰姆在 1922 年提出的。 布拉里·福蒂的悖论揭示了康托尔集合论的矛盾。其实，康托尔本人在这之前已经 意识到集合论的内在矛盾。他在 1899 年 7 月 28 日给戴德金的信中指出，不能谈论由一切集 合构成的集合，否则就会陷入矛盾。这实际上就是罗素悖论的内容。 康托尔最大基数悖论和布拉里·福蒂悖论到罗素悖论都是集合论悖论，它们直接同 康托尔朴素集合论的不严格性有关。毛病出在集合的定义上，也就是任何性质就对应一个具 有这种性质的集合，这就是所谓内函公理组。集合论的这种矛盾必须通过削弱这个错误的公 理组才能解决。 罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）： （1）、理查德悖论。法国第戎中学教师理查德在 1905 年发表了一个悖论，大意如 下：法语中某些片语表示实数，比如“一个圆的圆周与直径之比”就表示实数 π。法语字 母也象英语字母一样有一定的顺序，所以我们可以把所有片语按照字母顺序排列，然后按照 片语中字母的多少排列，少的在前，多的在后。这样我们把能用片语表达的实数排成一个序 列，al，a2，a：，……。于是就得到了所有能用有限多字(字母)定义的数了。它们构成了 一个可数集合 E。现在我们提出一个规则把这个序列改变一下造成一个数来：“设 E 中第 n
个数的第■位为p,我们迹一个实数如下：其整数部分为0，如果P不是8或9：其第n位 小数为p十1，要是p是8或9的话，则第n位变成1”。这个实数显然不属于E,因为它和 E中每个数都不一样。但是它们却可以由上面有限多个字组成的话来表示，因此应该属于E, 这就出现矛盾： 理查德提出的悖论是因为看到法国《纯粹科学与应用科学通论》1905年3月30目 一期的编者按语而写的。编者该到，190年8月在德国海德尔堡召开的国际数学家大会上， 德国数学家意尼格证明违续统是不能够良序化的。可是一个月后，德国数学家策离罗却证明 了任何集合都能良序化，理查德从这段话中看到了集合论中存在“某线矛屑”，这线矛屑和 良序性和序数的概念有关系，于是能给该刊物编辑部写了一封信，登在1905年6月号上， 编者还加了按语。 (2)、培里悖论。培里是英国的图书馆管理员。有一天能告诉罗素下面的梓论：英 语中只有有限多个音节，只有有限多英语表达式包含少于0个音节，所以，用少于40个音 竹的表达式表示的正数数目只有有限多个。假设R为不能由少于0个着的英语表达式米表 示的最小正整数(The least positive integer which is not denotedby an expression in the English language containing fewer than forty syllables)。但是，这段英语 只包含三十几个音节，肯定比40个少，而且表示R。这自然产生了矛盾。 (3),格瑞林和纳尔进樟论。纳尔避是新康德主义的小流深之一弗瑞斯派的代表。 198年也和他的学生格璃林把下面的悖论发表在弗瑞斯派的一个文集上，通常称为格瑞林 悖论，如果一个形容词所表示的性质适用于这个形容词本身，比如“黑的”两字的确是黑的， 那么这个形容词称为自适用的。反之，一个形容词如果不具有自适用的性质，就叫做半自适 用的。在英语中：“Polysy11abie”(多膏节的)，“English”(英语的)这些问都是白适用 的形容司，而“0 nosyllabic”(单音节的)、“French”(法语的)这些词就是丰白适用的。 现在我们来考虑“事自适用的”这个形容词，它是自适用的还是非自适用的呢？如果“非自 运用的”是幸自适用的，那么它就是自适用的：如果“非自适用的”是自适用的，那么按照 这词的意思，则它是非自适用的，这就导出矛盾。 (4)芝诺梓论的基本含义是它们刻示了一些内在的难题，这盛难题存在于有关多，动 和时空的普通人类经验之本能性假设之中。这些饽论包甚时空是否可以无限分制、时空是否 由不可分割之物构成等等月题。这些均是基木的霄学短念，也是基本的数学概念，所以芝诺 悖论引起了智学家和数学家们的无穷兴趣：关于芝诺悖论是香有效以及如何对其进行酸斥等 方面依然存在争议。在这些悖论中，芝诺使用的方法是归谬法，此方法对发展辩证的和哲学 的理性思维产生了巨大的影响。 芝诺悖论之所以重以破解，就是因为它有这么一个死结一位置。芝话的四个悖论都与 位置有关，两千多年米，人们暖解不了它就是因为没有人能够解开这个结。 2、撑论动据了整个数学的甚础
个数的第 n 位为 p，我们造一个实数如下：其整数部分为 0，如果 p 不是 8 或 9；其第 n 位 小数为 p＋1，要是 p 是 8 或 9 的话，则第 n 位变成 1”。这个实数显然不属于 E，因为它和 E 中每个数都不一样。但是它们却可以由上面有限多个字组成的话来表示，因此应该属于 E， 这就出现矛盾。 理查德提出的悖论是因为看到法国《纯粹科学与应用科学通论》1905 年 3 月 30 日 一期的编者按语而写的。编者谈到，1904 年 8 月在德国海德尔堡召开的国际数学家大会上， 德国数学家寇尼格证明连续统是不能够良序化的。可是一个月后，德国数学家策梅罗却证明 了任何集合都能良序化，理查德从这段话中看到了集合论中存在“某些矛盾”，这些矛盾和 良序性和序数的概念有关系，于是他给该刊物编辑部写了一封信，登在 1905 年 6 月号上， 编者还加了按语。 （2）、培里悖论。培里是英国的图书馆管理员。有一天他告诉罗素下面的悖论：英 语中只有有限多个音节，只有有限多英语表达式包含少于 40 个音节，所以，用少于 40 个音 节的表达式表示的正数数目只有有限多个。假设 R 为不能由少于 40 个普的英语表达式来表 示的最小正整数(The least positive integer which is not denotedby an expression in the English language containing fewer than forty syllables)。但是，这段英语 只包含三十几个音节，肯定比 40 个少，而且表示 R，这自然产生了矛盾。 （3）．格瑞林和纳尔逊悖论。纳尔逊是新康德主义的小流派之一弗瑞斯派的代表。 1908 年他和他的学生格瑞林把下面的悖论发表在弗瑞斯派的一个文集上，通常称为格瑞林 悖论。如果一个形容词所表示的性质适用于这个形容词本身，比如“黑的”两字的确是黑的， 那么这个形容词称为自适用的。反之，一个形容词如果不具有自适用的性质，就叫做非自适 用的。在英语中：“Polysyllabic”(多音节的)，“English”(英语的)这些词都是自适用 的形容词，而“monosyllabic”(单音节的)、“French”(法语的)这些词就是非自适用的。 现在我们来考虑“非自适用的”这个形容词，它是自适用的还是非自适用的呢？如果“非自 运用的”是非自适用的，那么它就是自适用的；如果“非自适用的”是自适用的，那么按照 这词的意思，则它是非自适用的，这就导出矛盾。 （4） 芝诺悖论的基本含义是它们揭示了一些内在的难题，这些难题存在于有关多、动 和时空的普通人类经验之本能性假设之中。这些悖论包括时空是否可以无限分割、时空是否 由不可分割之物构成等等问题。这些均是基本的哲学概念，也是基本的数学概念，所以芝诺 悖论引起了哲学家和数学家们的无穷兴趣；关于芝诺悖论是否有效以及如何对其进行驳斥等 方面依然存在争议。在这些悖论中，芝诺使用的方法是归谬法，此方法对发展辩证的和哲学 的理性思维产生了巨大的影响。 芝诺悖论之所以难以破解，就是因为它有这么一个死结——位置。芝诺的四个悖论都与 位置有关，两千多年来，人们破解不了它就是因为没有人能够解开这个结。 2、悖论动摇了整个数学的基础
1900年左右，数学已经发展成为一个成大的领规了。当时纯数学大致分为算术一代 数、几何和数学分析，随着第二次数学危机的解决，数学分析建立在极限理论基础上，而极 限理论中，有些基本性质要由“单调有界的数列必有极限”这个定理米证明。这个定理从直 观上看尽管很明显，但是追求严密性的数学家很早就要求不靠直观面靠烫智来证明，要求一 切定理都从比较简单的公理推导出来 要推导极限的性质，必须对数列有明确的概念。这里的数不只是有理数，还包括无 理数，这两种数构成实数的集合。所以，当务之急城是建立起严格的“实数”理论。鬣德金 在182年发表了《这续性与无理数》这本专著，同年康托尔也发表实数理论的文章，康托 尔通过一定的有理数序列（基木序列）米定文实数，而戴德金划利用有理数集合的分制米定义 实数。他们的理论風然逻细上可章，但是都不太自然，依装于有理数的集合概念，这样一来， 实数理论的无矛屑性就归结为有理数论，进而归结成自然数论的无矛盾性了， 自古以来，大家都认为自然数的算术是天经地文，不容杯暖的。不过有些数学家如 弗雷格和戴德金又进一步把自然数归结为逻辑与集合论，这样一米，集合论与逻辑成为整个 数学的基础。罗素悖论一出现，集合论靠不住了，自松数的算术也成问思，这样一米，整个 数学大厦都动摇了，无径乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则) 第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基 础跨掉了。当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。戴德金原来打 算把《违续性及无理数》第三版付印，这时也肥稿件抽了回来。他也觉得由于罗素悖论，整 个数学的基陆都靠不佳了。 饽论涉及的是集合，属于，所有（全部）性质与集合的对应关系，无穷这生最基本的 概念，这些：概念在数学中是天天必须用到的。如果不加以澄清，在数学证明的过程中。不 是这里就是那里就会出毛病， 有了毛病，有的人就主张把集合论全盘推倒，只考虑有限的东西。这样不仅把数学 内容武掉了一大半，而且无穷的问仍会出现。另一部分人则主张限制这些概念的使用范围， 当然限制太多了，就缩小了数学额域。而限制太少了又会出现矛盾。所以要在这两者之同找 到一种最好的解决办法。从二十世纪初，人们戴一直在找，虽然并没有得到最终满意的解决， 不过给数学提供一个可靠的基础还是可以办得到的。 3、罗素的类型论 1901年6月罗素发现了“悖论”，他在1902年6月16日把这个悖论告诉了弗需格. 他在1903年出版的《数学的原理》中，有一段可能是在1901年写的，他写道：“作为多的 类与类的项具有不同的类型”：“整个秘密的关健是逐辑类型的不同”，对这个何思的解决， 他只写了不到三十行。他还考查了其他的解决办法，凳得它们都不令人满意，于是得出结论： “没有适当的哲学涉及到上述的矛盾，这些矛盾直接从常识中得出，也只能通过抛弃掉某些 常识的假定而解决”，但是在这木书出版之前，罗素感觉到这个题目还应该更加注意，于是 他写了大钓六页的一个阳录，“数试性地提出了类型论”，他要求在回答所有问题之前变成
1900 年左右，数学已经发展成为一个庞大的领域了。当时纯数学大致分为算术—代 数、几何和数学分析。随着第二次数学危机的解决，数学分析建立在极限理论基础上。而极 限理论中，有些基本性质要由“单调有界的数列必有极限”这个定理来证明。这个定理从直 观上看尽管很明显，但是追求严密性的数学家很早就要求不靠直观而靠逻辑来证明，要求一 切定理都从比较简单的公理推导出来。 要推导极限的性质，必须对数列有明确的概念。这里的数不只是有理数，还包括无 理数，这两种数构成实数的集合。所以，当务之急就是建立起严格的“实数”理论。戴德金 在 1872 年发表了《这续性与无理数》这本专著，同年康托尔也发表实数理论的文章。康托 尔通过一定的有理数序列(基本序列)来定义实数。而戴德金则利用有理数集合的分割来定义 实数。他们的理论虽然逻辑上可靠，但是都不太自然，依赖于有理数的集合概念。这样一来， 实数理论的无矛盾性就归结为有理数论，进而归结成自然数论的无矛盾性了。 自古以来，大家都认为自然数的算术是天经地义、不容怀疑的。不过有些数学家如 弗雷格和戴德金又进一步把自然数归结为逻辑与集合论。这样一来，集合论与逻辑成为整个 数学的基础。罗素悖论一出现，集合论靠不住了，自然数的算术也成问题，这样一来，整个 数学大厦都动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》 第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基 础跨掉了。当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。戴德金原来打 算把《连续性及无理数》第三版付印，这时也把稿件抽了回来。他也觉得由于罗素悖论，整 个数学的基础都靠不住了。 悖论涉及的是集合、属于、所有(全部)性质与集合的对应关系、无穷这些最基本的 概念。这些：概念在数学中是天天必须用到的。如果不加以澄清，在数学证明的过程中，不 是这里就是那里就会出毛病。 有了毛病，有的人就主张把集合论全盘推倒，只考虑有限的东西，这样不仅把数学 内容砍掉了一大半，而且无穷的问题仍会出现。另一部分人则主张限制这些概念的使用范围， 当然限制太多了，就缩小了数学领域，而限制太少了又会出现矛盾，所以要在这两者之间找 到一种最好的解决办法。从二十世纪初，人们就一直在找，虽然并没有得到最终满意的解决， 不过给数学提供一个可靠的基础还是可以办得到的。 3、罗素的类型论 1901 年 6 月罗素发现了“悖论”。他在 1902 年 6 月 16 日把这个悖论告诉了弗雷格。 他在 1903 年出版的《数学的原理》中，有一段可能是在 1901 年写的，他写道：“作为多的 类与类的项具有不同的类型”；“整个秘密的关键是逻辑类型的不同”。对这个问题的解决， 他只写了不到三十行。他还考查了其他的解决办法，觉得它们都不令人满意，于是得出结论： “没有适当的哲学涉及到上述的矛盾，这些矛盾直接从常识中得出，也只能通过抛弃掉某些 常识的假定而解决”。但是在这本书出版之前，罗素感觉到这个题目还应该更加注意，于是 他写了大约六页的一个附录，“尝试性地提出了类型论”，他要求在回答所有问题之前变成
为更如精政的形式。自然，当时罗素已经知道其他的悖论了，例如布拉里·幅蒂惇论和最大 基数悖论。 大钓1906年12月，罗素抛弃了类型论。为了克服由悖论州起的困难。也提出了三 种理论：1、曲折理论，命题函数丰常简单时才决定类，面当它们复杂时就不能决定类：2、 限制大小的理论，不存在象所有实体的类的东西：3，非类理论，类和关系完全都禁用。这 篇文章甚至授有提到类型论。1906年2月5日。罗素在这篇文章来尾加了一个注：“通过 更进一步的研究，我一点也不怀疑非类理论能够解决本文第一节所陈述的所有困难”，这藏 是说，能够解决悖论。 非类理论的中心思想是它不讲满足某种站定语句的所有对象的类，而只讲语句本身 和其中的代换。于是关于指定类的时论都可以用语句和代换米表述。但是当我们讨论一般的 类作为可量词化变元的值时，这种讨论德意义就不明显了。在这篇文章中，罗素已经承认对 于大部分经典数学来说，辈类理论的可能证明是不适当的。他在1906年2月加的附注中表 现出他对于刚刚抛弃的类重论又重新燃起希望。果然，他很快就回来进一步细线地研究类型 论，并于1906年7月发表论文了： 罗素肥悖论加以分析之后认为：一切悖论的共月特任是“自我指谓”或自指示、自 反性，它们都来源于某种“恶性循环”。这种恶性循环来源于某种不合法的使体（或总体或 全体)。这类集体的不合法之处在于，定文它的成员时，要涉及到这个集体的整体。罗素榨 论是最明显的例子，定义不属于白身的集合时，涉及到“自身”这个整体，这是不合法的， 这种涉及自身的定文称为意直谓定义，所以要避免悖论，只需遵循“（消隐）恶性循环原理”， “凡是涉及一个集体的整体的对象，它本身不能是该集体的成员”。根据这个原则。罗素提 出他的分支类型论。 罗素把论域分成为等缓或者类型，只有当满足某一给定条件的所有对象都属于同一 类型时，我们才能该到他们的全体，于是一个类的所有成员必定全都具有同一类型。同样， 任何一个量词化的变元也必定有月一类型。这样罗素就引导谈论“所有”和“任何”的区 别。“所有”由普端量司的束傅变元来表示，它们跑寿一个类型：面“任何”则由自由变元 来表示，它们可以指任刺不确定的事物，而不管其类型如何。因此自由变元是没有任何妨碍 的。 但是，分支类型论禁例太严。以致无法推出全部数学，为此罗素引进可化归公理 “任何公式都可以和一个直谓公式等价”，也就是都可以化为含级变元的+】领公式， 这样一米可以不必考虑钓束变元的级了。这种类型论称为简单类型论。 由于集合（类）和谓词（命题函数）是平行的，因此我们可以用集合更简单地解释一下： 简单类型论是由一系列层构成的系统，最成一层是第0级，上面各层、各级都是同一类的型 构成，最低一层的元素称为个体，由这些个体所成的类就构成第一级的类，由一级的类为元 素所成的类收构咸第二级的类，依此类推： 196年，英国年轻数学家校姆寒把悖论区别为逻辑脖论（或谓问悖论、集合论悖论】 及语文悖论（或认识论悖论）。能证明对于集合论梓论，简单类型论就足以消除。因为这种悖
为更加精致的形式。自然，当时罗素已经知道其他的悖论了，例如布拉里·福蒂悖论和最大 基数悖论。 大约 1905 年 12 月，罗素抛弃了类型论。为了克服由悖论引起的困难，他提出了三 种理论：1、曲折理论，命题函数非常简单时才决定类，而当它们复杂时就不能决定类；2、 限制大小的理论，不存在象所有实体的类的东西；3、非类理论，类和关系完全都禁用。这 篇文章甚至投有提到类型论。1906 年 2 月 5 日，罗素在这篇文章末尾加了一个注：“通过 更进一步的研究，我一点也不怀疑非类理论能够解决本文第一节所陈述的所有困难”。这就 是说，能够解决悖论。 非类理论的中心思想是它不讲满足某种结定语句的所有对象的类，而只讲语句本身 和其中的代换。于是关于指定类的讨论都可以用语句和代换来表述。但是当我们讨论一般的 类作为可量词化变元的值时，这种讨论德意义就不明显了。在这篇文章中，罗素已经承认对 于大部分经典数学来说，非类理论的可能证明是不适当的。他在 1906 年 2 月加的附注中表 现出他对于刚刚抛弃的类型论又重新燃起希望。果然，他很快就回来进一步细致地研究类型 论，并于 1906 年 7 月发表论文了。 罗素把悖论加以分析之后认为：一切悖论的共同特征是“自我指谓”或自指示、自 反性，它们都来源于某种“恶性循环”。这种恶性循环来源于某种不合法的集体(或总体或 全体)。这类集体的不合法之处在于，定义它的成员时，要涉及到这个集体的整体。罗素悖 论是最明显的例子。定义不属于自身的集合时，涉及到“自身”这个整体，这是不合法的， 这种涉及自身的定义称为非直谓定义。所以要避免悖论，只需遵循“(消除)恶性循环原理”， “凡是涉及一个集体的整体的对象，它本身不能是该集体的成员”。根据这个原则，罗素提 出他的分支类型论。 罗素把论域分成为等级或者类型，只有当满足某一给定条件的所有对象都属于同一 类型时，我们才能谈到他们的全体，于是一个类的所有成员必定全都具有同一类型。同样， 任何一个量词化的变元也必定有同一类型。这样罗素就引导谈论“所有”和“任何”的区 别。“所有”由普遍量词的束缚变元来表示，它们跑遍一个类型；而“任何”则由自由变元 来表示，它们可以指任何不确定的事物，而不管其类型如何。因此自由变元是没有任何妨碍 的。 但是，分支类型论禁例太严，以致无法推出全部数学。为此罗素引进可化归公理： “任何公式都可以和一个直谓公式等价”。也就是都可以化为含 n 级变元的 n＋1 级公式。 这样一来可以不必考虑约束变元的级了。这种类型论称为简单类型论。 由于集合(类)和谓词(命题函数)是平行的，因此我们可以用集合更简单地解释一下： 简单类型论是由一系列层构成的系统，最底一层是第 0 级，上面各层、各级都是同一类的型 构成，最低一层的元素称为个体，由这些个体所成的类就构成第一级的类，由一级的类为元 素所成的类就构成第二级的类，依此类推。 1926 年，英国年轻数学家拉姆塞把悖论区别为逻辑悖论(或谓词悖论、集合论悖论) 及语义悖论(或认识论悖论)。他证明对于集合论悖论，简单类型论就足以消除。因为这种悖
论贝条沙到谓司和变元的关系，它门不同级便可以消除悖论了。但是语义悖论要沙及到谓词 本身，非得分支类重论不可。 風然类型论可以消除悖论，但是缺点根多，非常烦頊，特别是可化自公理的引进， 具有很大的任意性，因此受到很多批评。不过它的历史作用还是很大的，也借助它，罗素才 实现他的逻主义钢领，完成前人没有完成的计划， 罗素和怀特海的《数学原理》出版之后，许多人对于其系统进行简化与改进。特别 是哥德尔及塔尔斯基。1940年，丘奇给膏单类型论一个新的表送。类型论至今仍是数理逻 辑中主要的系统之一。 4、策梅罗的公理集合论 198年，策梅罗果用把集合论公理化的方法来消除罗素悖论。他的著名论文《关于 集合论基础的研究》是这样开始的：“集合论是这样一个数学分支，它的任务就是从数学上 以最为简单的方式米研究数，序和函量等基本概么，并借此建立整个算术和分析的辑基陆： 因此构成了数学科学的必不可少的组成部分。但是在当前，这门学科的存在本身似乎受到某 种矛盾成者梓论的威励，而这些矛盾和修论似乎是从它的根本原理导出来的。而且一直到现 在，还没有找到适当的解决办法。面对着罗素关于·所有不包含以自己为元素的集合的集 合'的悖论，事实上，它今天似乎不修再容许任何逻辑上可以定义的顺老“集合”或‘类 为其外延.康托尔原来把集合定义为我们直觉或者我们思考的确定的不同的对象做为一个总 体。肯定要求加上某种限制，虽然到现在为止还没有成功地用另外同样简单的定义代替它， 而不引起任何疑虑。在这种情况下，我们没有别的办法，而只能尝试反其道而行之。也就是 从历史上存在的集合论出发，来得出一些原理，而这些原理是作为这门数学学料的基础所要 求的。这个问题必须这样地解决，使得这些原理足够地狭窄，足以排除掉所有的子屑。同时， 又要足够地宽广，能够保留这个理论所有有价值的东西。” 在这篇文章中，策梅罗实行的计划。是把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。 在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，面它的性质就由公理反映出来。他 不说什么是集合，面只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：诀定性公理（外延公 理)、初等集合公理（空集公理、单元素公理，对集公理）、分离公理，琴集公理、并集公理、 遮择公理、无穷公理（稍稍改变一下原来形式）。 实际上策梅罗的公理系饶Z(公理1至)把集合限制得使之不要太大，从而日通了比 如说所有“对象”，所有序数等等，从而消障罗素悖论产生的条件。策梅罗不把集合只简单 看成一些集团或集体，它是满足七条公理的条件的“对象”，这样排除了某些不适当的“集 合”，特别是产生悖论的原因是定义集合的所谓内函公理组，如今已换成弱得多的分离公理 组。 策梅罗首次提出的集合论公理系统。意义是非常重大的。国是，其中有许多缺点相 毛病。比如：公理3的确定性质的含义并不清楚，他的公理没有涉及泛辑基础。这择公理有
论只牵涉到谓词和变元的关系，它们不同级便可以消除悖论了。但是语义悖论要涉及到谓词 本身，非得分支类型论不可。 虽然类型论可以消除悖论，但是缺点很多，非常烦琐，特别是可化归公理的引进， 具有很大的任意性，因此受到很多批评。不过它的历史作用还是很大的，也借助它，罗素才 实现他的逻辑主义纲领，完成前人没有完成的计划。 罗素和怀特海的《数学原理》出版之后，许多人对于其系统进行简化与改进。特别 是哥德尔及塔尔斯基。1940 年，丘奇给简单类型论一个新的表述。类型论至今仍是数理逻 辑中主要的系统之一。 4、策梅罗的公理集合论 1908 年，策梅罗采用把集合论公理化的方法来消除罗素悖论。他的著名论文《关于 集合论基础的研究》是这样开始的：“集合论是这样一个数学分支，它的任务就是从数学上 以最为简单的方式来研究数、序和函数等基本概念，并借此建立整个算术和分析的逻辑基础； 因此构成了数学科学的必不可少的组成部分。但是在当前，这门学科的存在本身似乎受到某 种矛盾或者悖论的威胁，而这些矛盾和悖论似乎是从它的根本原理导出来的。而且一直到现 在，还没有找到适当的解决办法。面对着罗素关于‘所有不包含以自己为元素的集合的集 合’的悖论，事实上，它今天似乎不能再容许任何逻辑上可以定义的概念‘集合’或‘类’ 为其外延。康托尔原来把集合定义为我们直觉或者我们思考的确定的不同的对象做为一个总 体。肯定要求加上某种限制，虽然到现在为止还没有成功地用另外同样简单的定义代替它， 而不引起任何疑虑。在这种情况下，我们没有别的办法，而只能尝试反其道而行之。也就是 从历史上存在的集合论出发，来得出一些原理，而这些原理是作为这门数学学科的基础所要 求的。这个问题必须这样地解决，使得这些原理足够地狭窄，足以排除掉所有的矛盾。同时， 又要足够地宽广，能够保留这个理论所有有价值的东西。” 在这篇文章中，策梅罗实行的计划，是把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。 在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他 不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：决定性公理(外延公 理)、初等集合公理(空集公理、单元素公理、对集公理)、分离公理、幂集公理、并集公理、 选择公理、无穷公理(稍稍改变一下原来形式)。 实际上策梅罗的公理系统 Z(公理 1 至 7)把集合限制得使之不要太大，从而回避了比 如说所有“对象”，所有序数等等，从而消除罗素悖论产生的条件。策梅罗不把集合只简单 看成一些集团或集体，它是满足七条公理的条件的“对象”，这样排除了某些不适当的“集 合”。特别是产生悖论的原因是定义集合的所谓内函公理组，如今已换成弱得多的分离公理 组。 策梅罗首次提出的集合论公理系统，意义是非常重大的。但是，其中有许多缺点相 毛病。比如：公理 3 的确定性质的含义并不清楚，他的公理没有涉及逻辑基础，选择公理有
许多争议等等。后米经许多人加以严格处理及补充。才成为严格的公理系统，即F成 系饶。其中Z代表策梅罗。F代表弗兰克尔，S代表斯科兰娟。这里南特别是有斯科兰胡和 弗兰克尔进行的改进。但是一般的F中往往不包括选择公理。如果如进选择公理则写为 ZFC(AC是Axion of Choice的增写，有时简写为C) 策将罗的公理系统发表之后，通到各方面的批评。特别是斯科兰姆1922年在8月份 在转尔辛基召开的第五届斯继的纳隆亚数学家大会上做了公理化集合论的报告，他对策梅罗 公理系统提出了八点数评 1、为了讨论集合，我们]必须从对象“域”开始，也就是用某种方法构成的域：2、 策梅罗关于确定的命避要有一个定义使得它精确化：3、在所有完全的公理化中。集合论的 概念不可避免地是相对的：4，策梅罗的公理系统不足以提供通常集合论的基础：5、当人门 打算证明公理的无矛盾时，谓语句所引起的困难：6、对象规B的不唯一性，7，数学归纳法 对于抽象给出的公理系饶的经要性：8。透并公理的问题。 另一方面，许多人对策梅罗公理集合论提出许多改进意见。首先Z太狭窄不足以满 足对集合论的合法雷要，有许多集合不能由它产生出来，也不能够由此造出序数的一殿理论 和超穷归纳法，为了弥补这个缺陷，鬼兰克尔加进一个公理组即代换公理，另外，弗兰克尔 适把公理以符号逻相表示出米，形成了现在通用的F系统。 一般认为经过弗兰克尔改进的策梅罗集合论公理系饶，再加上选择公理是足够数学 发展所需的，目是还需要加一条限制性的公理，即除了满足这些公理的集合之外没有其他的 集合，采取这样一个公理是出干一个悖论的启发，这个悖论最初是法国数学家米里马诺夫在 1917年提出的。这个悖论涉及所谓基瑞集合，为了排除这种集合，冯·诺依曼引进公理9（基 础公理，从面消除了上述悖论。 这样定义的集合论)中，虽说与连线统假设有关的“琴集公理”不图下疑点。 正因为不包含有很多问思的“选择公理(C)”,所以纯牌性很高。虽燃至今还不能给出F 集合论的无矛盾性的证明，可是它已经没有必须大书特书的难点了。 常用的集合论公理系统除了F之外，还有由冯·诺根曼开创并由贝耐斯、哥德尔加 以改进、简化的集合论公理系统一G系统（有时简称为即系统，N代表冯·诺依曼，B代 表贝耐斯，G代表番德尔)： 大数学家冯·诺依曼在也年青的时候，开辟了公理化集合论的第二个系统。他第一 个主要的数学研究就是重新考虑策梅罗一鬼兰克尔对干集合论的公理化，在他的博士论文中 论述了一款集合论的公理构适，这篇论文是也1925年用匈牙利文写的。但是也后来在两篇 重要文章中用德文发表了其中主要的思想，一篇是《集合论的一种公理化》，另二篇是《集 合论的公理化》。第一算文章中快给出了白己的公理化体系，在第二算文章中他评细地证明 了怎样由他的公理系统导出集合论。 冯·诺依曼的处理方法是策梅罗公理化的推广，原米的理论基本上保持了下米。但 是形式有所变化。表面看米新公理和旧公理非常不一样，目是主要是使用的语言有所变化
许多争议等等。后来经许多人加以严格处理及补充，才成为严格的公理系统，即 ZF 或 ZFS 系统。其中 Z 代表策梅罗，F 代表弗兰克尔，S 代表斯科兰姆。这里面特别是有斯科兰姆和 弗兰克尔进行的改进。但是一般的 ZF 中往往不包括选择公理，如果加进选择公理则写为 ZFC(AC 是 Axiom of Choice 的缩写，有时简写为 C) 策梅罗的公理系统发表之后，遭到各方面的批评。特别是斯科兰姆 1922 年在 8 月份 在赫尔辛基召开的第五届斯堪的纳维亚数学家大会上做了公理化集合论的报告，他对策梅罗 公理系统提出了八点批评： 1、为了讨论集合，我们必须从对象“域”开始，也就是用某种方法构成的域；2、 策梅罗关于确定的命题要有一个定义使得它精确化；3、在所有完全的公理化中，集合论的 概念不可避免地是相对的；4、策梅罗的公理系统不足以提供通常集合论的基础；5、当人们 打算证明公理的无矛盾时，谓语句所引起的困难；6、对象域 B 的不唯一性；7、数学归纳法 对于抽象给出的公理系统的必要性；8、选择公理的问题。 另一方面，许多人对策梅罗公理集合论提出许多改进意见。首先 Z 太狭窄不足以满 足对集合论的合法需要，有许多集合不能由它产生出来，也不能够由此造出序数的一般理论 和超穷归纳法。为了弥补这个缺陷，弗兰克尔加进一个公理组即代换公理。另外，弗兰克尔 还把公理以符号逻辑表示出来，形成了现在通用的 ZF 系统。 一般认为经过弗兰克尔改进的策梅罗集合论公理系统，再加上选择公理是足够数学 发展所需的，但是还需要加一条限制性的公理，即除了满足这些公理的集合之外没有其他的 集合。采取这样一个公理是出于一个悖论的启发，这个悖论最初是法国数学家米里马诺夫在 1917 年提出的。这个悖论涉及所谓基础集合，为了排除这种集合，冯·诺依曼引进公理 9(基 础公理)，从而消除了上述悖论。 这样定义的集合论(ZF)中，虽说与连续统假设有关的“幂集公理”不留下疑点，但 正因为不包含有很多问题的“选择公理(AC)”，所以纯粹性很高。虽然至今还不能给出 ZF 集合论的无矛盾性的证明,可是它已经没有必须大书特书的难点了。 常用的集合论公理系统除了 ZF 之外，还有由冯·诺依曼开创并由贝耐斯、哥德尔加 以改进、简化的集合论公理系统—NBG 系统(有时简称为 BG 系统，N 代表冯·诺依曼，B 代 表贝耐斯，G 代表哥德尔)。 大数学家冯·诺依曼在他年青的时候，开辟了公理化集合论的第二个系统。他第一 个主要的数学研究就是重新考虑策梅罗—弗兰克尔对于集合论的公理化。在他的博士论文中 论述了一般集合论的公理构造，这篇论文是他 1925 年用匈牙利文写的。但是他后来在两篇 重要文章中用德文发表了其中主要的思想，一篇是《集合论的一种公理化》，另二篇是《集 合论的公理化》。第一篇文章中他给出了自己的公理化体系，在第二篇文章中他详细地证明 了怎样由他的公理系统导出集合论。 冯·诺依曼的处理方法是策梅罗公理化的推广。原来的理论基本上保持了下来，但 是形式有所变化。表面看来新公理和旧公理非常不一样，但是主要是使用的语言有所变化