《数学文化》辅导资料（四） 数学研究的是现实世界中的数量关系和空间形式，它作为一门基础科学，既了泛应用于技 术工程中，又是研究许多理论科学必不可少的工具。然而，由于数学具有高度的抽象性，一舰人 对它存在着片面的认识，本文开篇就提出了鲜明的观点：“数学一直是形成现代文化的主要力量， 同时又是这种文化极其重要的因素。”作着列举了历史上人门对数学的误解，在各个层面上论违 了数学在人类文化中的作用，对它的本质和应用作了精要的分析。作者引用怀特毒关于“阿基米 德死于一个罗马士兵之手”的精衫论述，将数学放在广调的社会背景中来说明它的文化意义，发 人深省。本文文质米美，作者务狂博引，说理造辟，议论精警。 数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。这种观点在南 多人看米是难以置帽的，或者充其量来说也只是一种奇张的说法。这种怀疑态度完全可以理解， 它是一种普遍存在的对数学实颜的由误概念所带来的结果。 由于受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师。成许还有金整家才有 用的一系列技巧，这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。当有人对这种状况提出异 议时，某些地学之士可以得到权减们的支持。圣？奥古斯丁[至？奥古斯丁(354？430】基督教神 学家，皙学家，北非希波主教，生于北非塔加斯特（现在阿尔及利亚的苏克阿转量们，他的神学 体系5至12世纪在西款基督教会中占统治地位。主要著作有《上密之城)《领定论》《论三位 一体)等。 他说过：“好的基徒应谈提幽数学家和那些空头许话的人。这样的危险已经存在，数学 家们已经与魔鬼签订了胁约，要使精神进入黑暗，把人投入地就，”古罗马法官则酸决“对于作 恶者，数学家诸如此类的人”，应禁止他们“学习儿何技艺和参加当众运算檬数学这样可恶的学 问”◆权本华（权本华(1788？18两0）】19纪物国皙学家，惟意志论的创始人+认为人生线是苦 难。他对科学研究评铃不高，认为科学研究是为了满足物质欲里。，这位在现代西学史上占有重 要地位的百学家，也把算术说成是最任级的精神活动，她之所以持这种态度，是基于算术能通过 机器米运算这一事实， 由于学校数学数学的影剩，这些权威性的论断和流行的看法，竟被认为是正确的！但是一舰 人忽栈数学的观点仍然是情误的。数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不这是它微不足道 的方而：它们远不使代表数学，瓷如同调配福色远不便当作给面一样，技巧是将数学的煮情，推 理、美和深刻的内酒剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形 成现代生话和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜潭， 因此。让我们看一看0世纪人们对这门学科的态度。着先。数学主要是一种寻求众所周知 的公理法思想的方法。这种方法包括明确地表述出将要讨论的概念的定义，以及准确地表述出作 为推理基留的公理，具有极其严密的亚辑思雄使力的人从这些定义和公理出发，推导出结论。数 学的这一特任由1了世记一位著名的作家在论及数学和科学判时，以某种不可的方式表运过，“数 学家们像恋人=承认一位数学家的最初的原理，事么他由此将会推导出你也必烫承认的另一结 论，从这一墙论又推导出其他的结论。” 仅仅起数学看作一种探求的方法，（如月把达？芽奇【达？特奇(1452内519）)意大利文艺复 民时明的美术家，科学家。工程师。绘绳代表作有《最后的观餐》《蒙螺国花》等。《最后的骏 餐》看作是商布上颜料的组合一样。数学也是一门雷要创透性的学科：在预测能技证明的内容时， 和构思证明的方法时一样，数学家们利周高度的直凳和号像。例如，牛顿和开晋精〔开香助
《数学文化》辅导资料（四） 数学研究的是现实世界中的数量关系和空间形式，它作为一门基础科学，既广泛应用于技 术工程中，又是研究许多理论科学必不可少的工具。然而，由于数学具有高度的抽象性，一般人 对它存在着片面的认识。本文开篇就提出了鲜明的观点：“数学一直是形成现代文化的主要力量， 同时又是这种文化极其重要的因素。”作者列举了历史上人们对数学的误解，在各个层面上论述 了数学在人类文化中的作用，对它的本质和应用作了精要的分析。作者引用怀特海关于“阿基米 德死于一个罗马士兵之手”的精彩论述，将数学放在广阔的社会背景中来说明它的文化意义，发 人深省。本文文质兼美，作者旁征博引，说理透辟，议论精警。 数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。这种观点在许 多人看来是难以置信的，或者充其量来说也只是一种夸张的说法。这种怀疑态度完全可以理解， 它是一种普遍存在的对数学实质的错误概念所带来的结果。 由于受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有 用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。当有人对这种状况提出异 议时，某些饱学之士可以得到权威们的支持。圣?奥古斯丁〔圣?奥古斯丁(354?430)〕基督教神 学家、哲学家，北非希波主教。生于北非塔加斯特(现在阿尔及利亚的苏克阿赫腊斯)。他的神学 体系 5 至 12 世纪在西欧基督教会中占统治地位。主要著作有《上帝之城》《预定论》《论三位 一体》等。 他说过：“好的基督徒应该提防数学家和那些空头许诺的人。这样的危险已经存在，数学 家们已经与魔鬼签订了协约，要使精神进入黑暗，把人投入地狱。”古罗马法官则裁决“对于作 恶者、数学家诸如此类的人”，应禁止他们“学习几何技艺和参加当众运算像数学这样可恶的学 问”。叔本华〔叔本华(1788?1860)〕19 世纪德国哲学家，惟意志论的创始人。认为人生就是苦 难。他对科学研究评价不高，认为科学研究是为了满足物质欲望。，这位在现代哲学史上占有重 要地位的哲学家，也把算术说成是最低级的精神活动，他之所以持这种态度，是基于算术能通过 机器来运算这一事实。 由于学校数学教学的影响，这些权威性的论断和流行的看法，竟被认为是正确的!但是一般 人忽视数学的观点仍然是错误的。数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不过是它微不足道 的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推 理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形 成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。 因此，让我们看一看 20 世纪人们对这门学科的态度。首先，数学主要是一种寻求众所周知 的公理法思想的方法。这种方法包括明确地表述出将要讨论的概念的定义，以及准确地表述出作 为推理基础的公理。具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公理出发，推导出结论。数 学的这一特征由 17 世纪一位著名的作家在论及数学和科学时，以某种不同的方式表述过：“数 学家们像恋人……承认一位数学家的最初的原理，那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结 论，从这一结论又推导出其他的结论。” 仅仅把数学看作一种探求的方法，就如同把达?芬奇〔达?芬奇(1452?1519)〕意大利文艺复 兴时期的美术家、科学家、工程师。绘画代表作有《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》等。《最后的晚 餐》看作是画布上颜料的组合一样。数学也是一门需要创造性的学科。在预测能被证明的内容时， 和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的直觉和想像。例如，牛顿和开普勒〔开普勒
(1571?160】德国物理学家，天文学家，提出了行星运功的三大定律，就是极官于想像力的人 这使得能们不仅打酸了长期以来幅化的传统，面且建立了新的、革合性的假念：在数学中，人的 造能力运用的范国，只有通过检赖这线创造本身才健决定。有气创造性成果将在后面时论，问 这里只雷说一下灵在这门学科已有人十多个广泛的分支就够了。 如果数学的确是一种创造性活动。那么里使人们去道求它的动力是什么呢？研究数学最明显 的、尽管不一定是最重要的动力是为了解决国杜会面要到直接赞出的问避。商业和金融事务，航 海。历法的计算。桥梁，水坝、敦登和宫爱的建造。作线武器和工事的设计，以及许多其他的人 调要。数学镜对这些月题哈出最完满的解决。在我们这个工程时代，数学技当作晋将工具这一 事实更是毋庸置疑 数学的另外一个基本作用（的确，这一点在现代特制突出），事减是覆供自些观象的合群结 构。数学的概念、方法和结论是物理学的基陆。这些学科的成减大小取决于它门与数学结合的程 度。数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一 系列枝此脱节的观餐研究钠入科学的实体之中。 智力方面的好奇心和对纯思雀的强烈兴是，微的作多数学家研究数的性质和几何闲形，并 且取得了富有创造性的成果。今天很受重棍的顺率论，就开始干牌暗中的一个问题？一场赌博在 结束之前就被迫中止了，那么瑞注如何分配才合理？另外一个与社会需要成科学没有什么联系的 最突出的成就，舰是由古代希精人创造出来的，他们把数学转变成了拍象的.演鲜的和公理化的 思塑系统，事实上，数学学科中一感最伟大的成就？射影几何，数论，超穷数理论和非欧几何〔丰 微几何】一种不同于微几里得几何学的几何体系的院称，一般富罗巴切夫斯基的双曲几何和黎曼 的椭圆几何，它们与欧民儿何的最主要区别在于公理体系中采用了不具的平行会理。，这里我只 提到我将要时论的内容？？都是为了解决纯智力的桃线： 进行数学创造的最主要的率动力是对美的追乘。罗素四〔罗素(1877170)】英国哲学家， 数理逐辑学家，分析哲学的创始人。1950年孩诺贝尔文学奖。一生著述一百多种，主要著作有 《论儿何学的基础》《数学原理》（与怀特海合）《西方智学史》《人类知识》等。，这位抽象 数学思想的大师曾直言不结地说： 数学。如果正确地看它，刚具有…至高无上的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。 这种美不是投合我们天性的微到的方面，这种美没有绘画或音乐的事些华隅的装阵，它可以纯净 到崇高的地步，能够达列严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦 的精神。一种精神上的亢奋。一种觉得高于人的意识？？这些是至善至美的标准，能够在诗里得到， 也使够在数学里得到， 除了完善的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，运用必不可少的想像和直凭也给创 造者提供了高度的爽学上的满足。如果美的组成和艺术作品的特征包括割察力和想像力，对称性 和比例，简洁。以及精确地适应达到目的的手段，那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术， 尽管历史已清楚地表明。上述所有因素推动了数学的产生和发展，们是依然存在着许多铺 深的观点。有这样的指责（经常是用来为对这门学科的忽视作解的》，认为数学家们喜玫沉酒干 毫无意又的题测：或者认为数学家们是茶智和毫无用处的梦想家，对这种指责，我们可以立作 出使其无言以对的驳斥，事实证明，即使是纯粹轴象的研究，也是有极大用处的，更不用说由于 科学和工程的雷要面进行的研究了。圆维由线（情醒、双由线和抛物线）自被发现两千多年米，管
(1571?1630)〕德国物理学家、天文学家，提出了行星运动的三大定律。就是极富于想像力的人， 这使得他们不仅打破了长期以来僵化的传统，而且建立了新的、革命性的概念。在数学中，人的 创造能力运用的范围，只有通过检验这些创造本身才能决定。有些创造性成果将在后面讨论，但 这里只需说一下现在这门学科已有八十多个广泛的分支就够了。 如果数学的确是一种创造性活动，那么驱使人们去追求它的动力是什么呢?研究数学最明显 的、尽管不一定是最重要的动力是为了解决因社会需要而直接提出的问题。商业和金融事务、航 海、历法的计算、桥梁、水坝、教堂和宫殿的建造、作战武器和工事的设计，以及许多其他的人 类需要，数学能对这些问题给出最完满的解决。在我们这个工程时代，数学被当作普遍工具这一 事实更是毋庸置疑。 数学的另外一个基本作用(的确，这一点在现代特别突出)，那就是提供自然现象的合理结 构。数学的概念、方法和结论是物理学的基础。这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程 度。数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一 系列彼此脱节的观察研究纳入科学的实体之中。 智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣，激励许多数学家研究数的性质和几何图形，并 且取得了富有创造性的成果。今天很受重视的概率论，就开始于牌赌中的一个问题??一场赌博在 结束之前就被迫中止了，那么赌注如何分配才合理?另外一个与社会需要或科学没有什么联系的 最突出的成就，就是由古代希腊人创造出来的，他们把数学转变成了抽象的、演绎的和公理化的 思想系统。事实上，数学学科中一些最伟大的成就??射影几何、数论、超穷数理论和非欧几何〔非 欧几何〕一种不同于欧几里得几何学的几何体系的简称，一般指罗巴切夫斯基的双曲几何和黎曼 的椭圆几何。它们与欧氏几何的最主要区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。，这里我只 提到我们将要讨论的内容??都是为了解决纯智力的挑战。 进行数学创造的最主要的驱动力是对美的追求。罗素②〔罗素(1872?1970)〕英国哲学家、 数理逻辑学家，分析哲学的创始人。1950 年获诺贝尔文学奖。一生著述一百多种，主要著作有 《论几何学的基础》《数学原理》(与怀特海合著)《西方哲学史》《人类知识》等。，这位抽象 数学思想的大师曾直言不讳地说： 数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美,正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美， 这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净 到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦 的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识??这些是至善至美的标准，能够在诗里得到， 也能够在数学里得到。 除了完善的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，运用必不可少的想像和直觉也给创 造者提供了高度的美学上的满足。如果美的组成和艺术作品的特征包括洞察力和想像力，对称性 和比例、简洁，以及精确地适应达到目的的手段，那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术。 尽管历史已清楚地表明，上述所有因素推动了数学的产生和发展，但是依然存在着许多错 误的观点。有这样的指责(经常是用来为对这门学科的忽视作辩解的)，认为数学家们喜欢沉湎于 毫无意义的臆测；或者认为数学家们是笨拙和毫无用处的梦想家。对这种指责，我们可以立刻作 出使其无言以对的驳斥。事实证明，即使是纯粹抽象的研究，也是有极大用处的，更不用说由于 科学和工程的需要而进行的研究了。圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)自被发现两千多年来，曾
被认为不过是“富干思费头脑中的无利可图的限乐”，可是最终它却在现代天文学、仿射运动理 论和万有引力定律中发挥了作用。 另一方面。一线“具有社会头脑”的作家断言：数学完全或者主要是由于实际需要，如雷 要建筑桥梁，制造雷达和飞机而产生或发展的，这种断言也是情误的。数学已经使这些对人类方 便有用的东西成为可俺，但是伟大的数学家在进行思考和研究时却很少把这些放在心上，有些人 对实际应用漠不关心，这可使是因为他门成果的皮用在几百年后才实现。毕达哥拉斯和柏2图的 唯心主义数学玄想。比起费战职员采用“”号和“”号的实际行动米（这普使某一作家深信“数 学史上的一个转折点乃是由日常的性会活动所致”》，所作的页献要大得多。确实。儿乎每一个 伟大的人物所考忠的都是他事个时代的问题，流行的观点会制钓和限制他的思塑，如果牛额早生 两百年。能限有可德会成为一位出色的种学家。伟大的思见家追求时代胃力风高，复如同妇女在 服饰上赶时髦一样。即使是把数学作为纯粹业余爱好的富有创造性的天才，也会去研究令专业数 学家和科学家感到十分浙动的问题。但是。那些“业余爱好者”和数学家门一般并不十分美心他 们工作的实用价值。 实用的，料学的，美学的和西学的因素，共同促进了数学的形成。把这线做出责献、产生 影响的因素中的任何一个豫去，或者拍高一个而去贬低另外一个都是不可能的，甚至不修斯定这 些因素中谁具有相对的重菱性。一方面，对美学和哲学因素作出反应的地粹思维决定性地假造了 数学的特征，并且作出了像做氏几何和非款几何这样不可超越的责献。另一方面，数学家们登上 吨思作的顶峰不是富他们白已一步步攀登，角是情助于让会力量的推动。如果这线力量不值为数 学家们性入活力，规么他们就立刻会身接力粥，然后他们就仅仅只使维特这门学科处于属立的境 地。虽然在短时期内还有可旋光芒四射，但所有这些成就会是县花一现。 数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学 也用符号表示数量美系和空间形式。与日常佛话用的语言不同。日常语言是习俗的产物。也是性 会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的 严密性和简洁性，数学家门减可以表达和研究数学思想，这生思如果用著通语言表达出米，瓷 金显得沉长不塔，这种简洁性有助于思雄的效常。」.苏.杰罗姆山.X.杰罗朝(1859？192)】英国 小说家、别作家。主委作品有《獭汉的南组》《三人出游记)等。，为了蓄要求诸于代数符号， 在下派一段描写中，尽管与数学无关，如清楚地表现了数学的实用性和明了性： 当一个0世纪的青年重入情网时，他不会后退三步，看着他心爱的站娘的凰睛。对地说地 是世界上最源亮的人儿，他说他要冷静下米，仔阳考虑这件事，如果他在外面碰上一个人，并且 打破了他的籍袋？我指另外一个人的脑整？于是想就证明了他的？前面那个小伙子？姑娘是个 漂亮站第.如果是另外一个个秋子打酸了他的脑袋？不是他自己的，你知道，而是另外那个人的？ 对第二个小快子来说的另外一个，因为另外一个小伙子只是对他来说是另外一个，而不是对前面 那个小快了？那么。如果他打酸了他的头，那么的站蝓？不是另外一个小秋予，而是那个小伙 子，地一雕：如果A打破了B的脑授，事么A的姑如是一个漂亮的帖细。但如果B打破了A 的头，那么A的姑娘就不是一个源亮的姑娘，而B的姑娘是一个源亮的姑娘。 简洁的符号能够使数学家们进行复条的思考时区付自如，但也会使门外汉所数学讨论如更 五里云雾。 数学请言中使用的符号十分重要，它们能区别日常语言中经常明起混风的意又。例如，菊 请中使用“is”一词时，就有多种不饲的意义，在“他在这儿”《e is here》这个句子中，“is” 藏表示一种物理位置，在“天使是白色的”(n angel is sh11e)这个句子中。它表示天使的
被认为不过是“富于思辨头脑中的无利可图的娱乐”，可是最终它却在现代天文学、仿射运动理 论和万有引力定律中发挥了作用。 另一方面，一些“具有社会头脑”的作家断言：数学完全或者主要是由于实际需要，如需 要建筑桥梁、制造雷达和飞机而产生或发展的。这种断言也是错误的。数学已经使这些对人类方 便有用的东西成为可能，但是伟大的数学家在进行思考和研究时却很少把这些放在心上。有些人 对实际应用漠不关心，这可能是因为他们成果的应用在几百年后才实现。毕达哥拉斯和柏拉图的 唯心主义数学玄想，比起货栈职员采用“”号和“”号的实际行动来(这曾使某一作家深信“数 学史上的一个转折点乃是由日常的社会活动所致”)，所作的贡献要大得多。确实，几乎每一个 伟大的人物所考虑的都是他那个时代的问题，流行的观点会制约和限制他的思想。如果牛顿早生 两百年，他很有可能会成为一位出色的神学家。伟大的思想家追求时代智力风尚，就如同妇女在 服饰上赶时髦一样。即使是把数学作为纯粹业余爱好的富有创造性的天才，也会去研究令专业数 学家和科学家感到十分激动的问题。但是，那些“业余爱好者”和数学家们一般并不十分关心他 们工作的实用价值。 实用的、科学的、美学的和哲学的因素，共同促进了数学的形成。把这些做出贡献、产生 影响的因素中的任何一个除去，或者抬高一个而去贬低另外一个都是不可能的，甚至不能断定这 些因素中谁具有相对的重要性。一方面，对美学和哲学因素作出反应的纯粹思维决定性地塑造了 数学的特征，并且作出了像欧氏几何和非欧几何这样不可超越的贡献。另一方面，数学家们登上 纯思维的顶峰不是靠他们自己一步步攀登，而是借助于社会力量的推动。如果这些力量不能为数 学家们注入活力，那么他们就立刻会身疲力竭，然后他们就仅仅只能维持这门学科处于孤立的境 地。虽然在短时期内还有可能光芒四射，但所有这些成就会是昙花一现。 数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学 也用符号表示数量关系和空间形式。与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社 会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的 严密性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就 会显得冗长不堪。这种简洁性有助于思维的效率。J.K.杰罗姆〔J.K.杰罗姆(1859?1927)〕英国 小说家、剧作家。主要作品有《懒汉的痴想》《三人出游记》等。，为了需要求诸于代数符号， 在下面一段描写中，尽管与数学无关，却清楚地表现了数学的实用性和明了性： 当一个 20 世纪的青年堕入情网时，他不会后退三步，看着他心爱的姑娘的眼睛，对她说她 是世界上最漂亮的人儿。他说他要冷静下来，仔细考虑这件事。如果他在外面碰上一个人，并且 打破了他的脑袋??我指另外一个人的脑袋??于是那就证明了他的??前面那个小伙子??姑娘是个 漂亮姑娘。如果是另外一个小伙子打破了他的脑袋??不是他自己的，你知道，而是另外那个人的?? 对第二个小伙子来说的另外一个。因为另外一个小伙子只是对他来说是另外一个，而不是对前面 那个小伙子??那么，如果他打破了他的头，那么他的姑娘??不是另外一个小伙子，而是那个小伙 子，他……瞧：如果 A 打破了 B 的脑袋，那么 A 的姑娘是一个漂亮的姑娘。但如果 B 打破了 A 的头，那么 A 的姑娘就不是一个漂亮的姑娘，而 B 的姑娘是一个漂亮的姑娘。 简洁的符号能够使数学家们进行复杂的思考时应付自如，但也会使门外汉听数学讨论如堕 五里云雾。 数学语言中使用的符号十分重要，它们能区别日常语言中经常引起混乱的意义。例如，英 语中使用“is”一词时，就有多种不同的意义。在“他在这儿”（He is here）这个句子中，“is” 就表示一种物理位置。在“天使是白色的”（An angel is white）这个句子中，它表示天使的
一种与位置线物理存在无关的属性。在“事个人正在商”(The man is running)这个句子中， 这个可“is”表示的是动词时老。在“二如二等于四”(T0adt0「er)这个句子中， 1s的形式被用干表示数字上的相等。在“人是两足的使思排的哺乳动物”(Me量re the t0 1 gged thinking mamals)这个句子中，1s的形式被用米断言两组之何的等同.当然。在一舰 日常会话中引用各种各样不同的问米解释1%的所有这些意义，不过是西蛇添足，因为尽管有这 线意义上的混乱，人们包不会因此产生什么误会。但是，数学的精确性？它与科学和西学的精确 性一样。要求数学领线的研究者们更加重慎。 数学语言是精确的。它是如此精确，以致常常使那些不习惯于它特有形式的人觉得夏名其 妙。如果一个数学家说，“今天我没看见一个人”(1 did sot%e one person today),那么 他的意思可能是，他要么一个人也没看见，要么使看见了许多人。一粒人则可能慎单地认为恒一 个人也没看见。数学的这种精确性。在一个还没有认识到它对于精密思雄的重要性的人看米，根 乎显得过于呆板，过于恂泥于形式，然面任何精密的思维和精确的语言都是不可分制的。 毕达餐拉斯定拜数学风格以前洁和形式的完赛作为其日标，但有时由于过分地构延于形式 上的完美和筒洁，以致丧失了精确湖力要达到的清嘴。假定我们想用一般术语表选图1所示的内 容，我们银有可能说：“有一个直角三角形，画两个以流三角形的直角边作为其边的正方形，然 后再面一个以该三角形斜边作为其边的正方形，那么第三个正方形的面积就等于前面两个正方形 面积之和。”们是没有一个数学家会用这样的方式来表达白已的塑法。他会这样说：“直角三角 形直角边的平方和等于斜边的平方。”这种黄洁的用问使表述更为精练，而且这种数学表达式具 有重要的意义，因为它的确是言简意做。还有。由于这种惜墨如金的做法，任何数学文献的读者 有时会发现白己的耐心受到了极大的考验。 数学不仅是一种方法。一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有看丰富内容的知识体 系，其内容对白然科学家，杜会科学家、哲学家、逐规学家和艺术家十分有用，。同时影响者政治 家和神学家的学说：满足了人类探索学油的好奇心和对美妙音乐的冥想：甚至可能有时以难以察 觉到的方式组无可置疑地影响著现代历史的建程。在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种 理性的精神。正是这种精神，使得人类的思排得以运用到最完善的程度，也正是这种精神。试图 决定性地影响人类的物质，道齿和杜会生话：试图回答有关人莞白身存在提出的利题：努力去型 解和控制自然：尽力去探果和确立已经孩得知识的最深刻的和量完美的内锈。 数学还有一个更如典型的特征与我们的论述密切相关。数学是一棵富有生命力的树，它畅 着文明的兴膏而菜枯。它从史前瑟生之时起，瓷为自己的生存而斗争，这场斗争经历了史前的几 个世纪和随后有文字记规历史的几个世纪，量后终于在肥沃的希精士撞中乳稳了生存的根基，舞 儿在一个较短的时期黑苗壮成长起米了：在这个时期，它绽出了一朵美图的花？欧氏儿何。其他 的花蕾也含直藏放，如果你仔饵观侧，还可以看到三角和代数学的维形：但是这些花朵随看希精 文明的膏亡而桔菱了，这视树也可鞋了一干年之久。 这就是数学那时的状况，后来这棵树枝移植刊了欧洲本士，又一次根好地扎服在肥沃的 第中。到公元1600年。地又获得了在古希精厦峰时期管有过的旺盛的生合力，面且准备开创史 无前例的光解灿烂的前景。如零我门将17世纪以前所了解的数学称为初等数学，那么我们便说， 初等数学与从都以后创造出的数学相比是微不足道的，事实上，一个人相有牛顿处于顶峰时期所 拿握的知识，在今天不会核认为是一位数学家。因为与普通的观点相反，现在应该说数学是从微 积分开给，而不是以此为结熏，在我们这个世纪，这门学科已具有非常泛的内容。以数没有任 阿数学家筐够直称他已精通全部数学
一种与位置或物理存在无关的属性。在“那个人正在跑”（The man is running）这个句子中， 这个词“is”表示的是动词时态。在“二加二等于四”（Two and two are four）这个句子中， is 的形式被用于表示数字上的相等。在“人是两足的能思维的哺乳动物”（Men are the two legged thinking mammals）这个句子中，is 的形式被用来断言两组之间的等同。当然，在一般 日常会话中引用各种各样不同的词来解释 is 的所有这些意义，不过是画蛇添足，因为尽管有这 些意义上的混乱，人们也不会因此产生什么误会。但是，数学的精确性??它与科学和哲学的精确 性一样，要求数学领域的研究者们更加谨慎。 数学语言是精确的，它是如此精确，以致常常使那些不习惯于它特有形式的人觉得莫名其 妙。如果一个数学家说：“今天我没看见一个人”（I did not see one person today），那么 他的意思可能是，他要么一个人也没看见，要么他看见了许多人。一般人则可能简单地认为他一 个人也没看见。数学的这种精确性，在一个还没有认识到它对于精密思维的重要性的人看来，似 乎显得过于呆板，过于拘泥于形式。然而任何精密的思维和精确的语言都是不可分割的。 毕达哥拉斯定理数学风格以简洁和形式的完善作为其目标，但有时由于过分地拘泥于形式 上的完美和简洁，以致丧失了精确竭力要达到的清晰。假定我们想用一般术语表述图 1 所示的内 容，我们很有可能说：“有一个直角三角形，画两个以该三角形的直角边作为其边的正方形，然 后再画一个以该三角形斜边作为其边的正方形，那么第三个正方形的面积就等于前面两个正方形 面积之和。”但是没有一个数学家会用这样的方式来表达自己的想法。他会这样说：“直角三角 形直角边的平方和等于斜边的平方。”这种简洁的用词使表述更为精练，而且这种数学表达式具 有重要的意义，因为它的确是言简意赅。还有，由于这种惜墨如金的做法，任何数学文献的读者 有时会发现自己的耐心受到了极大的考验。 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体 系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治 家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；甚至可能有时以难以察 觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种 理性的精神。正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图 决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理 解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。 数学还有一个更加典型的特征与我们的论述密切相关。数学是一棵富有生命力的树，它随 着文明的兴衰而荣枯。它从史前诞生之时起，就为自己的生存而斗争，这场斗争经历了史前的几 个世纪和随后有文字记载历史的几个世纪，最后终于在肥沃的希腊土壤中扎稳了生存的根基，并 且在一个较短的时期里茁壮成长起来了。在这个时期，它绽出了一朵美丽的花??欧氏几何。其他 的花蕾也含苞欲放。如果你仔细观察，还可以看到三角和代数学的雏形；但是这些花朵随着希腊 文明的衰亡而枯萎了，这棵树也沉睡了一千年之久。 这就是数学那时的状况。后来这棵树被移植到了欧洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土 壤中。到公元 1600 年，她又获得了在古希腊顶峰时期曾有过的旺盛的生命力，而且准备开创史 无前例的光辉灿烂的前景。如果我们将 17 世纪以前所了解的数学称为初等数学，那么我们能说， 初等数学与从那以后创造出的数学相比是微不足道的。事实上，一个人拥有牛顿处于顶峰时期所 掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。因为与普通的观点相反，现在应该说数学是从微 积分开始，而不是以此为结束。在我们这个世纪，这门学科已具有非常广泛的内容，以致没有任 何数学家能够宣称他已精通全部数学
数学发展的这幅素摇，尽管简略，但却表明数学的生命力正是服植于养育地的文明的杜鱼 生活之中。事实上，数学一直是文明和文化的重要组成部分，因此许多历史学家通过数学这面镜 子，了解了古代其他主要文化的特征。以吉典时用的古希都文化为例，它大的从公元前00年延 续到公元前300年。由于吉希蜡数学家强调严密的推理以及由此得出的结论，因此绝们所关心的 并不是这些成零的实用性，而是数育人们去迷行拍象的推理，和煮发人们对理想与美的用象，因 觉，看到这个时代具有很难为后世植越的优美文学，极璃理性化的智学，以及理想化的建载与雕 刻，也就不是为裔了。 数学创造力的缺乏也表现在一个时代文明的文化里，这一点也是真实的。看看罗马的情况 配。在数学史上，罗马人在一定时用内曾作出过衡献，阳从事以后地门就开始停潭不前了。阿基 米德，最信大的古希阴数学家和科学家。在公元前221年被突然阀入的罗马上兵杀害了。当时他 正在研究面在沙盘中的几何图形。对此，A.N,怀特海A尾怀特海(1861？1947))英国数学家、 逻辑学家，过程哲学的创始人。曾任美国哈佛大学香学教授，英国科学院院士。主要著作有《数 学原理》（与罗素合著）《数学导论》《相对论眼理》《料学与近代世界》等，说过：阿其米德死 于一个罗马士兵之平，是一个世界发生头等重要变化的标志：爱好轴象科学、擅长推理的吉希精 在欧洲的弱主地位，被重实用的罗马取代了，洛德2比背所事尔德Lord Beac0nsf1eld),在他的 一常小说中，曾艺重实用的人称为是重复其先蒙错误的人。罗马是一个伟大的民族，但是他们却 由于只重实用面导取了创造性的缺乏。他们没有发展其相先的如凯，他门所有的进步都周限于工 程技术的细枝术竹，他)并不是那种使够提出新观点的梦想家，这些新观点能给人以更好地主率 自然界的力量，没有一个罗马人因为沉满于数学图形而丧命， 事实上，西塞罗[西塞罗（公元前106？前43年）】古罗马共和国末期的政治家和智学家。公 元前63年任执政官，公元前5引年任西里西亚总督。主要香学著作有《论日的)《神学论》《论 命运)等。夸量自己的同胞？感谢上帝2不是像希精人一样的梦想家，而是把他们的数学研究深 上实际用场的人。 注重实用的罗马帝国，将其精力用于权术和征服外邦。，为迎接军队胜利归来的其彩的凯能 门，也诈是罗马湾国的最好象征，它幻不是显得得体优雅，面是是得毫无生气。罗马最突出的 特征也许是麻术不仁，罗马人几平没有真正的独创精神。简言之，罗马文化是外米的，罗马时期 的大多数成就主要渊瓶于小亚细亚的希醋，此时小亚细亚的希精正处于罗马政权统治之下， 这儿个例子告诉我们，一个时代的总的特征在银大程度上与这个时代的数学活动密切相关。 这种关系在我们这个时代尤为明显。在不抹然历史学家，经济学家，暂学家，作家，诗人、面家 和改治家功绩的前提下，我门可以这样说：其他文明已轻产生了在能力和成就方面同等的效果， 另一方面，尽管欧几里得和阿基米德无疑地是极其卓越的思想家，尽管我们的数学家得以达到更 高的水平，这仅仅是因为像牛顿所说的样，能们是站在国人的扇酵上。齿雀，正是在我们这个 时代，数学才达到了它应该达到的范围，面且有着不同寻常的用途。这样，由于数学已经广泛地 影响着现代生活和思塑，今天的西方文明与以往任何历史上的文明都有着明显的区财： 在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前启后的作用。1928年套尔的特在意大利波轮那 召开的国际数学家大会上提出的四个问题。很快霞被哥德尔原则上解决了，尤其是他的不完全性 定理，把人们引向一种完全不可的境界，从此数理逻辑开始了一个新的时代。 在这之前，数学家期里数学有一个既广国又严格的基础，在这个基硅上数学家可以放心 地去干地们愿童干的事。餐德尔的不完全性定理使这种塑法破灭了，悖论所迹成的危机虽然可以
数学发展的这幅素描，尽管简略，但却表明数学的生命力正是根植于养育她的文明的社会 生活之中。事实上，数学一直是文明和文化的重要组成部分，因此许多历史学家通过数学这面镜 子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典时期的古希腊文化为例，它大约从公元前 600 年延 续到公元前 300 年。由于古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论，因此他们所关心的 并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。因 此，看到这个时代具有很难为后世超越的优美文学，极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕 刻，也就不足为奇了。 数学创造力的缺乏也表现在一个时代文明的文化里，这一点也是真实的。看看罗马的情况 吧。在数学史上，罗马人在一定时期内曾作出过贡献，但从那以后他们就开始停滞不前了。阿基 米德，最伟大的古希腊数学家和科学家，在公元前 221 年被突然闯入的罗马士兵杀害了，当时他 正在研究画在沙盘中的几何图形。对此，A.N.怀特海〔A.N.怀特海(1861?1947)〕英国数学家、 逻辑学家，过程哲学的创始人。曾任美国哈佛大学哲学教授，英国科学院院士。主要著作有《数 学原理》(与罗素合著)《数学导论》《相对论原理》《科学与近代世界》等。说过：阿基米德死 于一个罗马士兵之手，是一个世界发生头等重要变化的标志；爱好抽象科学、擅长推理的古希腊 在欧洲的霸主地位，被重实用的罗马取代了。洛德?比肯斯菲尔德(Lord Beaconsfield)，在他的 一部小说中，曾把重实用的人称为是重复其先辈错误的人。罗马是一个伟大的民族，但是他们却 由于只重实用而导致了创造性的缺乏。他们没有发展其祖先的知识，他们所有的进步都局限于工 程技术的细枝末节。他们并不是那种能够提出新观点的梦想家，这些新观点能给人以更好地主宰 自然界的力量。没有一个罗马人因为沉湎于数学图形而丧命。 事实上，西塞罗〔西塞罗(公元前 106?前 43 年)〕古罗马共和国末期的政治家和哲学家。公 元前 63 年任执政官，公元前 51 年任西里西亚总督。主要哲学著作有《论目的》《神学论》《论 命运》等。夸耀自己的同胞??感谢上帝??不是像希腊人一样的梦想家，而是把他们的数学研究派 上实际用场的人。 注重实用的罗马帝国，将其精力用于权术和征服外邦。为迎接军队胜利归来的拱形的凯旋 门，也许是罗马帝国的最好象征，但它们不是显得得体优雅，而是显得毫无生气。罗马最突出的 特征也许是麻木不仁，罗马人几乎没有真正的独创精神。简言之，罗马文化是外来的，罗马时期 的大多数成就主要渊源于小亚细亚的希腊，此时小亚细亚的希腊正处于罗马政权统治之下。 这几个例子告诉我们，一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。 这种关系在我们这个时代尤为明显。在不抹煞历史学家、经济学家、哲学家、作家、诗人、画家 和政治家功绩的前提下，我们可以这样说：其他文明已经产生了在能力和成就方面同等的效果。 另一方面，尽管欧几里得和阿基米德无疑地是极其卓越的思想家，尽管我们的数学家得以达到更 高的水平，这仅仅是因为像牛顿所说的那样，他们是站在巨人的肩膀上。然而，正是在我们这个 时代，数学才达到了它应该达到的范围，而且有着不同寻常的用途。这样，由于数学已经广泛地 影响着现代生活和思想，今天的西方文明与以往任何历史上的文明都有着明显的区别。 在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前启后的作用。1928 年希尔伯特在意大利波伦那 召开的国际数学家大会上提出的四个问题，很快就被哥德尔原则上解决了。尤其是他的不完全性 定理，把人们引向一种完全不同的境界，从此数理逻辑开始了一个新的时代。 在这之前，数学家期望数学有一个既广阔又严格的基础，在这个基础上数学家可以放心 地去干他们愿意干的事。哥德尔的不完全性定理使这种想法破灭了。悖论所造成的危机虽然可以
暂时回港，然而想从原则上一授子解说是章无希望的。从此之后，数学家只滨足于使用集合论一 些最简单的结果。而对更深入的数理逐辑与数学基健利思则不那么美心注意了， 具时，由于哥德尔在证明中发展的一线技术，也使数理更辑成为一门具有白已粒立技术 和方法的数学分支。现在的数理逻辑，不管是公理集合论，根型论还是证明论。送自论都已经变 得十分专门：就象代数新扑学，算子代数，随机过程等学科。对于非本行专家来说，简直是难以 理解的， 1930年番德尔的丙项主要賣献 1、完全性淀理：辱德尔的学位论文《逻辑函数滴算的公理的完全性)解决了一阶谓词演 算的完全性问避。罗素怀德有建立了遂辑滴算的公理系统的无千睛性及完全性（也许还包括不 那么重要的始立性)。所谓完全性就是，每一个真的逐辑数学合避都可以由这个公理系统导出， 也就是可证明。 命避演算的完全性已由美国数学家波斯特在1921年给出证明，面一阶谓润演算的完全性 一直到1929年才由将德尔给出证明。：是哥德尔认为，斯柯仑在1922年的文章中已隐含证明了 命题演算的完全性，但是他没有陈述这个墙果，可修是他本人并没有意识到这一点。 2、哥德尔的不完全性定理：这是数理逻辑最重大的成镜之一，是数理逻辑发展的一个里 程碑和转折点。哥德尔在研究过程中直接考虑饽论及解决悖论的方法，从把第三次数学危机 导至另外一个方向上 局德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的协调性问题开始的。1930年秋在哥尼斯堡 会议上，他宜布了第一不完全性定理：一个包括切等数论的形式系统，如果是协调的，那线是不 完全的。不久之后他又宜布：如果初等算术系统是协调的，则协腾性在算术系统内不可证明。 哥齿尔的证明桂用了“算术化”的方法。哥德尔说：“一个系统的公式一从外度上看 是原始符号的有穷序列。不难严格地际退，哪些原始粹号的序列是合适公式，哪些不是：类 似地，从形式观点看来。正明也只不过是（具有某种确定性质的）一事公式的有穷序列”。因此 研究一个形式系筑实际上镜是研究可数个对象的集合：我们論每个对象配上一个数，这种把每一 个对象配上一个数的方法称为“哥德不配数法”，哥德尔通过这年数反过米看原来形式系统的性 质。 哥德尔研究了46种函数和臂问，哥齿尔证明了他的前45个函数和用饲都是原始这归的。 但第6个谓问为“x是一个可任公式的哥德尔数”·在对番德尔配数的系统中，可以得到一个 公式，它相当于，我是不可证的。所以这个句子是不可旺的且是真的。所以系统中存在真语句而 又不可证，也就是系统不完全 哥德尔的论文在1931年发表之后。立即到起逻辑学家的莫大兴里。它开始虽然使人们感 刊惊异不解，不久即得到厂泛承认。并且产生巨大的影响： 哥德尔的证明对希尔的特原米的计刻是一个巨大的打击，因此把整个数学形式化的打算 是注定要失败的，因而逐辑主久和形式主义的原则是不德舞彻到底的：“希尔伯特计划”中证明 论的有限主义藏点必巢修正，从面使证明论的受求精椭放宽。1936年甘零在容许超穷归的的条 件下证明了算术的无矛函性，面们导有限构造主义的直觉主义也不能解决问避：哥德尔的工具递
暂时回避，然而想从原则上一揽子解决是毫无希望的。从此之后，数学家只满足于使用集合论一 些最简单的结果，而对更深入的数理逻辑与数学基础问题则不那么关心注意了。 同时，由于哥德尔在证明中发展的一些技术，也使数理逻辑成为一门具有自己独立技术 和方法的数学分支。现在的数理逻辑，不管是公理集合论、模型论还是证明论、递归论都已经变 得十分专门。就象代数拓扑学、算子代数、随机过程等学科，对于非本行专家来说，简直是难以 理解的。 1930 年哥德尔的两项主要贡献 1、完全性定理：哥德尔的学位论文《逻辑函数演算的公理的完全性》解决了一阶谓词演 算的完全性问题。罗素与怀德海建立了逻辑演算的公理系统的无矛盾性及完全性(也许还包括不 那么重要的独立性)。所谓完全性就是，每一个真的逻辑数学命题都可以由这个公理系统导出， 也就是可证明。 命题演算的完全性已由美国数学家波斯特在 1921 年给出证明，而一阶谓词演算的完全性 —直到 1929 年才由哥德尔给出证明。但是哥德尔认为，斯柯仑在 1922 年的文章中已隐含证明了 命题演算的完全性，但是他没有陈述这个结果，可能是他本人并没有意识到这一点。 2、哥德尔的不完全性定理：这是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里 程碑和转折点。哥德尔在研究过程中直接考虑悖论及解决悖论的方法，从而把第三次数学危机引 导至另外一个方向上。 哥德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的协调性问题开始的。1930 年秋在哥尼斯堡 会议上，他宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是协调的，那就是不 完全的。不久之后他又宣布：如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内不可证明。 哥德尔的证明使用了“算术化”的方法。哥德尔说：“一个系统的公式……从外观上看 是原始符号的有穷序列……。不难严格地陈述，哪些原始符号的序列是合适公式，哪些不是；类 似地，从形式观点看来，证明也只不过是(具有某种确定性质的)一串公式的有穷序列”。因此， 研究一个形式系统实际上就是研究可数个对象的集合。我们给每个对象配上一个数，这种把每一 个对象配上一个数的方法称为“哥德尔配数法”。哥德尔通过这些数反过来看原来形式系统的性 质。 哥德尔研究了 46 种函数和谓词，哥德尔证明了他的前 45 个函数和谓词都是原始递归的。 但第 46 个谓词为“X 是一个可证公式的哥德尔数”。在对哥德尔配数的系统中，可以得到一个 公式，它相当于：我是不可证的。所以这个句子是不可证的且是真的。所以系统中存在真语句而 又不可证，也就是系统不完全。 哥德尔的论文在 1931 年发表之后，立即引起逻辑学家的莫大兴趣。它开始虽然使人们感 到惊异不解，不久即得到广泛承认，并且产生巨大的影响： 哥德尔的证明对希尔伯特原来的计划是一个巨大的打击，因此把整个数学形式化的打算 是注定要失败的，因而逻辑主义和形式主义的原则是不能贯彻到底的；“希尔伯特计划”中证明 论的有限主义观点必须修正，从而使证明论的要求稍稍放宽。1936 年甘岑在容许超穷归纳的条 件下证明了算术的无矛盾性，而倡导有限构造主义的直觉主义也不能解决问题；哥德尔的工具递
归函数促进了通归函数论的系统解究，同时推动了不可判定刊题的研究，开始出现递归论的新分 支。 每德尔不完全定理的证明结束了美于数学基础的争论不体的时期。数学禁础的危机不那 么突出表现出来，数理逐辑形成了一个带有强技巧性的塑立学科，而地大官分数学家仍然把白己 的研究建文在朴素集合论或F公理集合论的基鞋上： 零管集合论中存在手盾，但这些矛盾大邻分均可国逗。研究这些矛盾，特别是集合论的 矛盾变成数理逻辑学家的事业。另外一方面。直凭主义和构造主义数学盈然也有发展，但蜂究是 一小部分，半个世纪以案，在数学中始蜂不占统泡地位。因为不着也好、意机也好，根源在于无 穷，：是数学中毕竟少不了无穷。白根结著。数学终究是研究无穷的科学， 今0年米，吴文微雅承并发展了中国古代的数学思想，在定理机器正明上开创了以多项式图军 点集为基本点的清元方法：美文俊的数学机械化方法已在物理规律的发现、机器人学、计算机视 见以及促进现代数学师究等重大高科技的前沿领域实观了成功的应用。数学机城化研究的兴起： 是中国当代数学发展中一个引人属目的具有中国传统特色的斯里程碑， 1977年，吴文傻在《中国科学》上发表的论文《初等几何判定利题与机板化创题.为数学 机板化领线送去了一缕清新的春风。1984年，吴文俊的学术专著《儿何定理机器证明的基本原 理)由科学出版杜出版，这部专著连新机械化思里引进数系和会理，依蝇机械化点系统地分析 了各类几何体系，明瑞建立了各类几何的机械化定理，着重网明几何定理机板化证明的基本原理： 1985年，吴文傻的论文《美于代数方程组的零点》发表，具体讨论了多项式方程组所确定的罗 点集，这算重要文就，是正式建立求解多项式方程组的吴文俊消元法的重要标志，与国际上流行 的代数弹塑论不闻，明确摄出了具有中国自己特色的、以多项式零点集为基本点的学术路线。白 此，“吴方法宜告是生，数学机板化研究翼开了地新的一幕。 几何问题的代数化是几何问圈机枫化的第一步。为此需要引进数系，建立坐标系，把几何命题的 图中的各种关系利用代数方配来摇述， 多项式方程相求解曾棱认为是极为困难的问题，这己为它的研究历史过程所证明，但是，吴 文俊清元法的叙逃简明白然。顺理成章，结论易懂，方法易学，可以用相当短的时间向初学者介 绍吴方法，并在计算机上具体操作吴方法的计算过配。初学者往住惊奇的发现：吴方法竟是这样 的简单自然，感叹为什么别人没有发现它：事实上，粹公认的难思，应用初等方法简朴自然地如 以解决。是数学科学近现归直的最高境界。 吴文慢关于机械化思组的形成，决非一朝一夕，至少在0年代以前，机械化的概之在作者 脑海里还毫无溶影。经过对中国古代数学的学习和触发，结合着几十年来在数学研究道路上探案 实我的回顾与分析，终于形成了这种数学机械化的巴塑，这种思想一旦形成，就白然地化成一股 强的动力。十几年来，作者一直在这一方向道路上模素簧进，艰苦奋斗，义无反顺： 0年代初，吴文俊开始研读中国数学史。中国古代数学曾有过解煌的历史。直到14世纪 在许多数学领域都保特西方望尘莫及的水平。但是，西方一些数学史家不了解也不承认中国古代 数学的光解成被，将其推斥于“数学主流”之外。黄文俊对此作了正本清源的研究。1975年，他 惯写了《中国吉代数学对世界文化的伟大贞献》，文中评细列举在代数、儿何、三角、解析几何 和微积分等学科的发现和创立过程中，中国传统数学所起的重大作用，吴文俊认为：置代数学之 所以能够发展到今天，主要是靠中国的数学，而非希群的数学，决定数学历史发展选程的主要是 中国的数学而丰希精的数学，这一论斯在当时真可臂空谷惊雷·此后，吴文俊对中国数学史的 研究一发面不可收。大的在196年，他的论文《我国吉代测望之学重差理论评价？兼评数学史 研究中某找方法问题)择洋酒酒3万余喜，列举参考文献达4移种。从吉代“重差理论”入手， 见微知著，社判了数学史研究中~以今代古所产生的巴比伦神话，印度神话以及丢番国神话：正
归函数促进了递归函数论的系统研究，同时推动了不可判定问题的研究，开始出现递归论的新分 支。 哥德尔不完全定理的证明结束了关于数学基础的争论不休的时期，数学基础的危机不那 么突出表现出来。数理逻辑形成了一个带有强技巧性的独立学科，而绝大部分数学家仍然把自己 的研究建立在朴素集合论或 ZF 公理集合论的基础上。 尽管集合论中存在矛盾，但这些矛盾大部分均可回避。研究这些矛盾，特别是集合论的 矛盾变成数理逻辑学家的事业。另外一方面，直觉主义和构造主义数学虽然也有发展，但终究是 一小部分，半个世纪以来，在数学中始终不占统治地位。因为矛盾也好、危机也好，根源在于无 穷，但是数学中毕竟少不了无穷。归根结蒂，数学终究是研究无穷的科学。 今 20 年来，吴文俊继承并发展了中国古代的数学思想，在定理机器证明上开创了以多项式组零 点集为基本点的消元方法；吴文俊的数学机械化方法已在物理规律的发现、机器人学、计算机视 觉以及促进现代数学研究等重大高科技的前沿领域实现了成功的应用。数学机械化研究的兴起， 是中国当代数学发展中一个引人瞩目的具有中国传统特色的新里程碑。 1977 年，吴文俊在《中国科学》上发表的论文《初等几何判定问题与机械化问题》，为数学 机械化领域送去了一缕清新的春风。 1984 年，吴文俊的学术专著《几何定理机器证明的基本原 理》由科学出版社出版，这部专著遵循机械化思想引进数系和公理，依照机械化观点系统地分析 了各类几何体系，明确建立了各类几何的机械化定理，着重阐明几何定理机械化证明的基本原理。 1985 年，吴文俊的论文《关于代数方程组的零点》发表，具体讨论了多项式方程组所确定的零 点集。这篇重要文献，是正式建立求解多项式方程组的吴文俊消元法的重要标志。与国际上流行 的代数理想论不同，明确提出了具有中国自己特色的、以多项式零点集为基本点的学术路线。自 此，“吴方法”宣告诞生，数学机械化研究揭开了她新的一幕。 几何问题的代数化是几何问题机械化的第一步，为此需要引进数系，建立坐标系，把几何命题的 图中的各种关系利用代数方程来描述。 多项式方程组求解曾被认为是极为困难的问题 , 这已为它的研究历史过程所证明。但是 , 吴 文俊消元法的叙述简明自然，顺理成章，结论易懂，方法易学。可以用相当短的时间向初学者介 绍吴方法，并在计算机上具体操作吴方法的计算过程。初学者往往惊奇的发现：吴方法竟是这样 的简单自然，感叹为什么别人没有发现它！事实上，将公认的难题，应用初等方法简朴自然地加 以解决，是数学科学返璞归真的最高境界。 吴文俊关于机械化思想的形成，决非一朝一夕，至少在 70 年代以前，机械化的概念在作者 脑海里还毫无踪影。经过对中国古代数学的学习和触发，结合着几十年来在数学研究道路上探索 实践的回顾与分析，终于形成了这种数学机械化的思想。这种思想一旦形成，就自然地化成一股 顽强的动力。十几年来，作者一直在这一方向道路上摸索前进，艰苦奋斗，义无反顾。 70 年代初，吴文俊开始研读中国数学史。中国古代数学曾有过辉煌的历史，直到 14 世纪， 在许多数学领域都保持西方望尘莫及的水平。但是，西方一些数学史家不了解也不承认中国古代 数学的光辉成就，将其排斥于“数学主流”之外。吴文俊对此作了正本清源的研究。 1975 年，他 撰写了《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》，文中详细列举在代数、几何、三角、解析几何 和微积分等学科的发现和创立过程中，中国传统数学所起的重大作用，吴文俊认为：近代数学之 所以能够发展到今天，主要是靠中国的数学，而非希腊的数学，决定数学历史发展进程的主要是 中国的数学而非希腊的数学。这一论断在当时真可谓空谷惊雷 。此后，吴文俊对中国数学史的 研究一发而不可收。大约在 1976 年，他的论文《我国古代测望之学重差理论评价?兼评数学史 研究中某些方法问题》洋洋洒洒 3 万余言，列举参考文献达 48 种，从古代“重差理论”入手， 见微知著，批判了数学史研究中“以今代古”所产生的巴比伦神话、印度神话以及丢番图神话；正
是在此文中，吴文傻意祖到几何与代数的配合，代数的几何应用与几何的代数化正是宋元天元 术的主要含义“，指出“在宋元数学家的手里为了发展天无术前建立了一整套的代数机卷”。这为 他日后机器证明思想埋下了伏笔，随后的另一篇文章《海岛算经》古证探源》，提出了古证复原 的三项原则，在数学史界引起了强烈反响。1986年，吴文俊应意在围际数学家大金做45分钟 报告，作为国际著名的数学家，吴文微的报骨却是“无年米中国数学史的研究“。吴文腹热情退 取中国古代数学的代表作《九章算术》。在他主编的《（九章算术》与刘量》的前言中，他写到： “《九章算术》是我国数学方面流传至今最早胞是最重要的一留经典著作。它承前自后。一方面 总结了秦汉以前的数学成镜，另一方面又成为汉代以米达两千年之久数学纤究与创造的泉。特 则是三国时期刘量的《九章算术注)，对数学理论多所帽夏，影响深进，总之，《九章算术》与刘 童《九章算术注》，对数学发展在历史上的崇高驰位，是以与古希睛的欧儿里得《几何原本》东 西解陕。各具特色”。他进一沙指出：“作为一名中国的数学工作者，首先应度对自己的数学历史 有深刻的认识，为此必须首先对《九章算术》与刘量《九章算术注》有确切的了解。一要顾见数 学的将米，不能不研究《九章算术)与《九章算术注》所蕴含的深篷的思见在数学发展过程中的 历史功绩，也不便不正找正在展露头角的这种思见对数学现状的影响”。 吴文能以一位数学家的素养敏悦地感受到中国传统数学窝理于算”鲜明特点表现在它的机械 化和构造性，他在论文《从（数书九章）看中国传锐数学构造性与机板化的特色》中着力用明了 这一点，后来在为数学史家李雕园先生的著作《九章算术)及其刘徽注研究》作序时，他起自 己多年研究数学史的体会系统完整地表述出米，他指出： 我国传统数学在从有题出发以解决问题为主骨的发展过程中建立了以构造性与机城化为其特 色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何尊本》为代表的所明公理化演锋体系正好蹈竭相 对。《九章》与《刘注》是这一机规化体系的民表作，与公理化的代表作欧几里得《几何原本》 可谓东西辉晓，在数学发展的历史长河中，数学机板化算法体系与数学公理化演择体系曾多次反 复互为消长，交特成为数学发展中的主流。壤始于我国的这种帆城化体系，在经过明代以聚近几 百年的相对消沉后，劳必重新登上历史舞台。《九章与《注》所贯穿的机械化想加。不仅管 深刻影响了数学的历史进程，而且对数学的现状也正在发扬它日盈暴著的影响，它在进入21世 纪日在数学中的地位，几乎可以预卜. 包就是在这个时期，吴文俊刊计算机工厂劳动，通过接触计算机，切身体会列了计算机的目 大或力。敏锐地觉察到计算机有极大的发展潜能。他一头机进机房，从HP1000机数开始。学 习算法语言，输制算法程序。就这样，中同数学史的启发。一玩”计算机的感受。更是几十年在数 学研究通路上的探需与实或，终于在吴文俊的精海里开华为数学机城化的思塑。197年，类文 傻的论文（初等几何判定何题与机械化证明）发表于《中国科学》，吴文俊特地为氏文写了一个 附注，闲明机板化思号起源： 我门关于初等几何定理肌械化证明所用的算法，主要牵移到一些多项式的运用技术，例如知算 术运算与简单消元法之类。应该指出，这些都是12至14世纪宋元时期中国数学家的创造，在 那时已由相当高度的发展。，事实上，儿何问避的代数化与用代数方法氣领求解，乃是当时 中国数学家主要成简之一。其时间远在17世纪出现解析几何之前。 吴文俊极取中华民陕灿烂文化之精华，发扬中国古代数学的优良传统。创造了世所公认的机 器证明的吴方法”，得成改变了数学机板化领减的面赖，吴文俊的京越建树，生动的迁明了这样 一个真理：正确认识和研究数学的历史。不仅是数学发展的必然要求，也是一个数学家水？学术 青春的重要覆泉之一。 四、数学机板化：无尽的前沿 下u:曾有过这样的名言对白然的深入研究，是数学发现最丰富的泉”。然而，这还是不 够的，还应该加上这样的续言，数学内容的不斯丰富和在更深层次的成然发展，必然对白然界的 认识。理解和改造产生更大的作用
是在此文中，吴文俊意识到“几何与代数的配合、代数的几何应用与几何的代数化正是宋元天元 术的主要含义”，指出“在宋元数学家的手里为了发展天元术而建立了一整套的代数机器”。这为 他日后机器证明思想埋下了伏笔。随后的另一篇文章《〈海岛算经〉古证探源》，提出了古证复原 的三项原则，在数学史界引起了强烈反响。 1986 年，吴文俊应邀在国际数学家大会做 45 分钟 报告，作为国际著名的数学家，吴文俊的报告却是“近年来中国数学史的研究”。 吴文俊热情讴 歌中国古代数学的代表作《九章算术》。在他主编的《〈九章算术〉与刘徽》的前言中，他写到： “《九章算术》是我国数学方面流传至今最早也是最重要的一部经典著作。它承前启后，一方面 总结了秦汉以前的数学成就，另一方面又成为汉代以来达两千年之久数学研究与创造的源泉。特 别是三国时期刘徽的《九章算术注》，对数学理论多所阐发，影响深远。总之，《九章算术》与刘 徽《九章算术注》，对数学发展在历史上的崇高地位，足以与古希腊的欧几里得《几何原本》东 西辉映，各具特色”。他进一步指出：“作为一名中国的数学工作者，首先应该对自己的数学历史 有深刻的认识，为此必须首先对《九章算术》与刘徽《九章算术注》有确切的了解。”“要预见数 学的将来，不能不研究《九章算术》与《九章算术注》所蕴含的深邃的思想在数学发展过程中的 历史功绩，也不能不正视正在展露头角的这种思想对数学现状的影响”。 吴文俊以一位数学家的素养敏锐地感受到中国传统数学“寓理于算”鲜明特点表现在它的机械 化和构造性，他在论文《从〈数书九章〉看中国传统数学构造性与机械化的特色》中着力阐明了 这一点。后来在为数学史家李继闵先生的著作《〈九章算术〉及其刘徽注研究》 作序时，他把自 己多年研究数学史的体会系统完整地表述出来，他 指出： 我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特 色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相 对。《九章》与《刘注》是这一机械化体系的代表作，与公理化的代表作欧几里得《几何原本》 可谓东西辉映，在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反 复互为消长，交替成为数学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来近几 百年的相对消沉后，势必重新登上历史舞台。《九章》与《刘注》所贯穿的机械化思想，不仅曾 深刻影响了数学的历史进程，而且对数学的现状也正在发扬它日益显著的影响。它在进入 21 世 纪后在数学中的地位，几乎可以预卜。 也就是在这个时期，吴文俊到计算机工厂劳动，通过接触计算机，切身体会到了计算机的巨 大威力，敏锐地觉察到计算机有极大的发展潜能。他一头扎进机房，从 HP-1000 机型开始，学 习算法语言，编制算法程序。就这样，中国数学史的启发，“玩”计算机的感受，更是几十年在数 学研究道路上的探索与实践，终于在吴文俊的脑海里升华为数学机械化的思想。 1977 年，吴文 俊的论文《初等几何判定问题与机械化证明》发表于《中国科学》，吴文俊特地为此文写了一个 附注，阐明机械化思想起源： 我们关于初等几何定理机械化证明所用的算法，主要牵涉到一些多项式的运用技术，例如算 术运算与简单消元法之类。应该指出，这些都是 12 至 14 世纪宋元时期中国数学家的创造，在 那时已由相当高度的发展。 … 事实上 , 几何问题的代数化与用代数方法系统求解 , 乃是当时 中国数学家主要成就之一 , 其时间远在 17 世纪出现解析几何之前。 吴文俊汲取中华民族灿烂文化之精华，发扬中国古代数学的优良传统，创造了世所公 认的机 器证明的“吴方法”，彻底改变了数学机械化领域的面貌。吴文俊的卓越建树，生动的证明了这样 一个真理：正确认识和研究数学的历史，不仅是数学发展的必然要求，也是一个数学家永葆学术 青春的重要源泉之一。 四、数学机械化：无尽的前沿 Fourier 曾有过这样的名言“对自然的深入研究，是数学发现最丰富的源泉”。然而，这还是不 够的，还应该加上这样的续言：数学内容的不断丰富和在更深层次的成熟发展，必然对自然界的 认识、理解和改造产生更大的作用
吴文仪所售导的数学机械化研究，一方面篷承了古代中国数学思想的精华，一方面话应了现 代科学技术的发展，数学机械化的研究最先在几何定理机器证明取得了突硫性的成限。随着时间 的推移，工作的积累和方向的括展，数学机板化必将为中国乃至世界数学的发展做出积极的页献， 也必将使数学更好地为科学技术服务，见其是为高科技提供理论武器和有效的工具。从几何的肌 器证明到内容更为卡富的数学机板化是一种必然的趋势，这里采鞭几朵均国的奇使，以展示数学 机板化的成用和它对当代高科技的影响： 物理规律的发现数学在解师物理现象，解决物理何愿方面所处的重要地位是舜横置疑的。令 天，科学家们对于倍助计算机和数学理论来发现物理规律的热情依旧不诚。 在科学史上，wton通过观测和试险从K©pl定律导出万有引力定律是一个重要的历史 事件。但是如何通过理论雕导案重现Nm的伟大发现，这一点在现行的教科书里几乎没有 触及。相反地，教科书中大量介绍了如何从ewton定律推导Kepler定律。 I986年吴文俊访问美国AMe国家试验室，Ga校授正为如何皆助计算机和数学工 具，从Kpkr定律推导出wtom定律而较尽脑计。回国后，吴文使用白己的方法，通过计算 机，克成了这一推导工作，并因此博得了诈多科学家的称赞。国际白动推理研究领城的著名科学 家，A实验室的6。教授认为，吴的这一页献对白动定理证明领城是一次极为重要的 拓广，表我了吴的非凡的制察力和卓越的智性。进一安的工作围示，程设对0定律一无 所知，假仅从K印kr定律的微分代数方程操述出发，经过整序运算，计算机自动产生了新的微 分代数表达式，再加上一些技术性的分析，可以得到表达kwm定律的微分代数表达式值含 在其中P也就是说。在假设Kepker定律的前提下，用计算机白功地发现了NeMo附定律， Non多年的心血，璞在只需一刻件的功夫，就重现于影前，这真是一个藏动人心的结果： 机卷人与机构学机器人的制适是多学科其同发挥作用的复象的系统工程，工业机器人的主体 基本上是一只类似于人的上收功能的机械平臂，或是无关节结构，或是关节式结构。如果要在三 雅空间对物体进行作业。一般则需要具有六个白由度，即沿三个坐标输的直线移动和烧这三轴的 转动：例如，刊UMA560机器人，就是六自由度关节型电动机械手霄，对千这个具体的机器人 解运动学方程。健是要决定各关节应转动的角度q1,q2…,96,分则是多少？这置要解一 粗非线性方程组如果采用数值选代方法，求解过程很慢，同时也不使保证求出所有的解。一个白 然的问避线是能否找出q的封闭解。里然就氏MA560案说。封闲解已技决定。但是对于一 般的风MA型机露人时，用吴文俊方法，依然可以求出特征列意义下的封周解，而这是以往的 方法很难达到的。 肌构学是现代各种机城设计的基暗，平面机构运动学分新与擦合又是机构学的基础。此类问 避研究主要是依据德国学着LBumes过r所建立的超动几何学方法，按到这个理论，平前机构 惊合问题有图解法和解析法两类，图解法过程繁复，工作量很大且不精确：解析法建慎复索，求 解也复杂：若用数植法求解，又不易得列全部解。现在，。倍助于吴文皮整序方法，这类问题己获 得了特狂列形式的封闭解。 计算机科学中的应用数学机板化在中国得以退迪发展，一个很重要的因素是计算机的介入： 观在，一个可喜的良性循环已经形成，即数学机被化对于促建计算帆科学白身的发展，对于计算 机科学中的一些应用领域都产生了积极的影响，形成了授摘报李的同面。计算机视凳是一个重 要的应用研究领域，这一方面，任何有意义的新结果，必然会促进机唇人的发展。198等年和1991 年，组钓大学的Kapu教授和通用电气会可的Mundy博士，敏锐面快速的起中国人创立和发 展的特征列方法引入高科技的应用当中。用Mu心博士自己的话最近我们发觉把吴文俊三角 化方法和求根技术结合起来，可以形成解非线性约束何题的有效方法。我门在把这一方法用于机 琴视凭和过程控制”， 数学机械化与数学机械化数学是数学的一部分，随着计草机大规模的渗透人们的生活，自然 他政变了人们的学习，工作和从事研究的方式，一张低、一支笔的情景基本上已成为历史。机械
吴文俊所倡导的数学机械化研究，一方面继承了古代中国数学思想的精华，一方面适应了现 代科学技术的发展。数学机械化的研究最先在几何定理机器证明取得了突破性的成果，随着时间 的推移、工作的积累和方向的拓展，数学机械化必将为中国乃至世界数学的发展做出积极的贡献， 也必将使数学更好地为科学技术服务，尤其是为高科技提供理论武器和有效的工具。从几何的机 器证明到内容更为丰富的数学机械化是一种必然的趋势。这里采撷几朵绚丽的奇葩，以展示数学 机械化的应用和它对当代高科技的影响。 物理规律的发现 数学在解释物理现象、解决物理问题方面所处的重要地位是毋庸置疑的。今 天，科学家们对于借助计算机和数学理论来发现物理规律的热情依旧不减。 在科学史上， Newton 通过观测和试验从 Kepler 定律导出万有引力定律是一个重要的历史 事件。但是如何通过理论推导来重现 Newton 的伟大发现，这一点在现行的教科书里几乎没有 触及。相反地，教科书中大量介绍了如何从 Newton 定律推导 Kepler 定律。 1986 年吴文俊访问美国 Argonne 国家试验室， Gabriel 教授正为如何借助计算机和数学工 具，从 Kepler 定律推导出 Newton 定律而绞尽脑汁。回国后，吴文俊用自己的方法，通过计算 机，完成了这一推导工作，并因此博得了许多科学家的称赞。国际自动推理研究领域的著名科学 家， Argonne 实验室的 Wos 教授认为，吴的这一贡献对自动定理证明领域是一次极为重要的 拓广，表现了吴的非凡的洞察力和卓越的智慧。进一步的工作揭示，假设对 Newton 定律一无 所知，仅仅从 Kepler 定律的微分代数方程描述出发，经过整序运算，计算机自动产生了新的微 分代数表达式，再加上一些技术性的分析，可以得到表达 Newton 定律的微分代数表达式蕴含 在其中??也就是说，在假设 Kepler 定律的前提下，用计算机自动地发现了 Newton 定律， Newton 多年的心血，现在只需一刻钟的功夫，就重现于眼前，这真是一个激动人心的结果！ 机器人与机构学 机器人的制造是多学科共同发挥作用的复杂的系统工程。工业机器人的主体 基本上是一只类似于人的上肢功能的机械手臂，或是无关节结构，或是关节式结构。如果要在三 维空间对物体进行作业，一般则需要具有六个自由度，即沿三个坐标轴的直线移动和绕这三轴的 转动。例如， PUMA560 机器人，就是六自由度关节型电动机械手臂。对于这个具体的机器人， 求解运动学方程，就是要决定各关节应转动的角度 q 1 , q 2 ,…, q 6 , 分别是多少 ? 这需要解一 组非线性方程组如果采用数值迭代方法，求解过程很慢，同时也不能保证求出所有的解。一个自 然的问题就是能否找出 q i 的封闭解。虽然就 PUMA560 来说，封闭解已被决定，但是对于一 般的 PUMA 型机器人时，用吴文俊方法，依然可以求出特征列意义下的封闭解。而这是以往的 方法很难达到的。 机构学是现代各种机械设计的基础，平面机构运动学分析与综合又是机构学的基础。此类问 题研究主要是依据德国学者 L.Burmester 所建立的运动几何学方法 , 按照这个理论，平面机构 综合问题有图解法和解析法两类。图解法过程繁复，工作量很大且不精确；解析法建模复杂，求 解也复杂；若用数值法求解，又不易得到全部解。现在，借助于吴文俊整序方法，这类问题已获 得了特征列形式的封闭解。 计算机科学中的应用 数学机械化在中国得以迅速发展，一个很重要的因素是计算机的介入。 现在，一个可喜的良性循环已经形成，即数学机械化对于促进计算机科学自身的发展，对于计算 机科学中的一些应用领域都产生了积极的影响 , 形成了投桃报李的局面。计算机视觉是一个重 要的应用研究领域。这一方面，任何有意义的新结果，必然会促进机器人的发展。1988 年和 1991 年，纽约大学的 Kapur 教授和通用电气公司的 Mundy 博士，敏锐而快速的把中国人创立和发 展的特征列方法引入高科技的应用当中。用 Mundy 博士自己的话“最近我们发觉把吴文俊三角 化方法和求根技术结合起来，可以形成解非线性约束问题的有效方法。我们在把这一方法用于机 器视觉和过程控制”。 数学机械化与数学 机械化数学是数学的一部分，随着计算机大规模的渗透人们的生活，自然 也改变了人们的学习、工作和从事研究的方式，一张纸、一支笔的情景基本上已成为历史。机械
化数学的易力瓷是要将数学的各个领域一部分一解分的机械化，从而传传筑数学的许多方面，由 于有了数学机械化而面舰一新，这里仅判举一二， 微分几何、代数几何是明人入胜的数学分支，它们不但在理论的发展长河中考险了一大批杰 出的数学家，在许多工程应用中也起到了不可替代的作用。C直od代数与重要的E.Caran外 微分运算向结合，彩成了局密微分儿何定理的机器证明的新算法，利用这一结果可以给出陈省身 关于盐面论中一个十分深刻的定理的非常简单的证明。代数儿何中，在等价的意义下做分类，是 套常重要且基本的问题。在一推情形下，用机械化数学的方法。做出了同构意义下的分类处理， 是值得胜续扩展成果的方向。 丰线性发展方程的解，不仅仅是偏微分方程立论中关心的重要问愿，同时它还具有十分明是 的物理应用背景，年著名方程，知力学，固志物理、等离子体物理和化学物里等领城中出观的 一类非线性波方程。需要求物理上有兴极的钟状、组结状的弧立波解。现在已经应用特征列方法 解过几十个非线性被方程。非线性发展方程。所得结果摩涵盖已知解外，还发观了许多新解： 相辅相成，互惠互利，是帆板化数学与一般数学关系的绝妙写， 1981年吴文俊在《数学的机板化与机板化的数学》一文中指出：一我们的研究工作还只是个开 瑞。如阿继续发扬中国古代传统数学的机城特色，对数学各个不同领域探素实现机械化的数学， 则是本数纪以致可能绵互整个2引世纪才能大体趋于完善的事。”近20年来，在吴文俊的积极 氧导下，中国的数学机械化研究已初现丰富多老之势。展望21世纪，我们有理由相信，机械化 数学和数学机城化必育为数学以致整个科学在入斯的话力
化数学的努力就是要将数学的各个领域一部分一部分的机械化，从而使传统数学的许多方面，由 于有了数学机械化而面貌一新。这里仅列举一二。 微分几何、代数几何是引人入胜的数学分支，它们不但在理论的发展长河中考验了一大批杰 出的数学家，在许多工程应用中也起到了不可替代的作用。 Clifford 代数与重要的 E.Cartan 外 微分运算向结合，形成了局部微分几何定理的机器证明的新算法，利用这一结果可以给出陈省身 关于曲面论中一个十分深刻的定理的非常简单的证明。代数几何中，在等价的意义下做分类，是 非常重要且基本的问题。在一维情形下，用机械化数学的方法，做出了同构意义下的分类处理， 是值得继续扩展成果的方向。 非线性发展方程的解，不仅仅是偏微分方程立论中关心的重要问题，同时它还具有十分明显 的物理应用背景，一些著名方程，如力学，固态物理、等离子体物理和化学物理等领域中出现的 一类非线性波方程，需要求物理上有兴趣的钟状、纽结状的孤立波解。现在已经应用特征列方法 解过几十个非线性波方程，非线性发展方程。所得结果除涵盖已知解外，还发现了许多新解。 相辅相成、互惠互利，是机械化数学与一般数学关系的绝妙写照。 1981 年吴文俊在《数学的机械化与机械化的数学》一文中指出：“我们的研究工作还只是一个开 端。如何继续发扬中国古代传统数学的机械特色，对数学各个不同领域探索实现机械化的数学， 则是本世纪以致可能绵亘整个 21 世纪才能大体趋于完善的事。”近 20 年来 , 在吴文俊的积极 倡导下，中国的数学机械化研究已初现丰富多彩之势。展望 21 世纪，我们有理由相信，机械化 数学和数学机械化必将为数学以致整个科学注入新的活力