免费下载网址htp:/ jiaoxue5u. ysl68c0m 8.4因式分解 新课指南 1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式,及形如x2+(p+q)x+pq的多项式 因式分解,培养学生应用因式分解解决问题的能力 2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、 归纳等步骤,得出因式分解的方法 3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神, 并体会整体数学思想和转化的数学思想 4.重点与难点:重点是用提公因式法和公式法分解因式难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多 项式的因式分解 教材解读精华要义 数学与生活 630能被哪些数整除?说说你是怎么想的 思考讨论在小学我们知道,要想解决这个问题,需要把630分解成质数的乘积的形式,即630=2× 32×5×7 类似地,在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分 解.那么如何进行因式分解呢? 知识详解 知识点1因式分解的定义 把一个多顶式代成几个整式的积的形式这秒变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式 【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算 +1)(x-1) (2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验 知识点2提公因式法 多项式 matmb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因 式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把mamb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另 个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法 例如:x2-x=x(x-1),8ab-4ab+2a2a(4ab-2b+1) 探究交流 下列变形是否是因式分解?为什么, (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x): (2)x2-2x+3=(x-1)2+2 (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1) (4)x"(x2-x+1)=x"2-x"+x 点拨(1)不是因式分解,提公因式错误,可以用整式乘法检验其真伪 (2)不是因式分解,不满足因式分解的含义 (3)不是因式分解,因为因式分解是恒等变形而本题不恒等 (4)不是因式分解,是整式乘法 知识点3公式法 (1)平方差公式:a-b2=(a+b)(ab) 即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积 例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) (2)完全平方公式:a±2b+b2=(a±b)2. 其中,a±2ab+b2叫做完全平方式 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方 例如:4x2-12xy+9y=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y) 探究交流 下列变形是否正确?为什么? (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 8.4 因式分解 新课指南 1.知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如 x 2 +(p+q)x+pq 的多项式 因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力. 2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、 归纳等步骤，得出因式分解的方法. 3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神， 并体会整体数学思想和转化的数学思想. 4.重点与难点：重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如 x 2 +(p+q)x+pq 的多 项式的因式分解. 教材解读 精华要义 数学与生活 630 能被哪些数整除？说说你是怎么想的. 思考讨论 在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把 630 分解成质数的乘积的形式，即 630=2× 3 2×5×7. 类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分 解.那么如何进行因式分解呢？ 知识详解 知识点 1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 分解因式. 【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算. 例如： (2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验. 知识点 2 提公因式法 多项式 ma+mb+mc 中的各项都有一个公共的因式 m，我们把因式 m 叫做这个多项式的公因 式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把 ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 m，另 一个因式(a+b+c)是 ma+mb+mc 除以 m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例如：x 2 -x=x(x-1)，8a 2 b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1). 探究交流 下列变形是否是因式分解？为什么， (1)3x 2 y-xy+y=y(3x2 -x)； (2)x 2 -2x+3=(x-1) 2 +2； (3)x2 y 2 +2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n (x2 -x+1)=xn+2 -x n+1+xn . 点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. (2)不是因式分解，不满足因式分解的含义 (3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等. (4)不是因式分解，是整式乘法. 知识点 3 公式法 (1)平方差公式：a 2 -b 2 =(a+b)(a-b). 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. 例如：4x 2 -9=(2x) 2 -3 2 =(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a 2±2ab+b2 =(a±b)2 . 其中，a 2±2ab+b2 叫做完全平方式. 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 例如：4x 2 -12xy+9y2 =(2x)2 -2·2x·3y+(3y)2 =(2x-3y)2 . 探究交流 下列变形是否正确？为什么？ (1)x 2 -3y2 =(x+3y)(x-3y)；
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2 点拨(1)不正确,目前在有理数范围内不能再分解 (2)不正确,4x2-6xy+9y2不是完全平方式,不能进行分解 (3)不正确,x2-2x-1不是完全平方式,不能用完全平方公式进行分解,而且在有理数范围内也不能分 解. 知识点4分组分解法 (1)形如:m+amn+bm+bn=(am+amn)+(bmt+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b) (2)形如:x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2 (x+y+1)(x-y+1) 把多顶式进行适岂的分组,分组后能够有因式或运用父式,这样的因式分艇方法叫做分组分艇法、 知识规律小績(1)分组分解法一般分组方式不惟一 例如:将am+mn+bm+bn因式分解,方法有两种: Tit 1: am+ an+bm+bn=(amtan)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(atb) Bit 2: am+ an+bmtbn=(am+bm)+(an+bn)=m(atb)+n(atb)=(m+n)(atb) (2)分组除具有尝试性外,还要具有目的性,或者分组后能出现公因式,或者分组后能运用公式 例如:am+mn+bm+bn分组后有公因式:x2-y2+2x+1分组后能运用公式 分组分解法是因式分解的基本方法,体现了化整体为局部,又统揽全局的思想,如何恰当分组是解题 的关键,常见的分组方法有: (1)按字母分组 (2)按次数分组 (3)按系数分组 例如:把下列各式因式分解 (1)am+bm++bn (2)x2 (3)2 知识点5关于x2+(p+q)xtpq型二次三项式的因式分解 g+pg=(x+p)(xtg) 事实上:x2+(p+q)x+pq (x+px)+(qxtpq x(x+p)+q(x+p) (x+p)(x+q) .x+(p+g) x+pg=(xtp)(x+g) 利用这个公式,可以把二次三项式因式分解,当p=q时,这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2,是完 全平方式,可以运用公式分解因式 例如:把x2+3x+2分解因式 (分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,这是一个 x2+(p+q)x+pq型式子 解:x2+3x+2=(x+1)(x+2) 典例剖析师生互动 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括:(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式:(2)会分解关 于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式 例1用提公因式法将下列各式因式分解 (1)ax-ay:(2)6xyz-3xz2;(3)-x2z+x'y (4)36by-12abx+6ab;(5)3x(ab)+2y(b-a) (6)x(m-x)(my)-m(x-m)(y-m) 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com (2)4x2 -6xy+9y2 =(2x-3y)2； (3)x 2 -2x-1=(x-1)2 . 点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解. (2)不正确，4x 2 -6xy+9y 2 不是完全平方式，不能进行分解. (3)不正确，x 2 -2x-1 不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分 解. 知识点 4 分组分解法 (1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b) (2)形如：x 2 -y 2 +2x+1=(x2 +2x+1)-y 2 =(x+1)2 -y 2 =(x+y+1)(x-y+1). 把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. 知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一. 例如：将 am+an+bm+bn 因式分解，方法有两种： 方法 1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b). 方法 2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b). (2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式. 例如：am+an+bm+bn 分组后有公因式；x 2 -y 2 +2x+1 分组后能运用公式. 分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题 的关键，常见的分组方法有： (1)按字母分组； (2)按次数分组； (3)按系数分组. 例如：把下列各式因式分解. (1) am+bm+an+bn； (2)x2 -y 2 +x+y； (3)2ax-5by+2ay-5bx. 知识点 5 关于 x 2 +(p+q)x+pq 型二次三项式的因式分解 x 2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 事实上：x 2 +(p+q)x+pq =x 2 +px+qx+pq =(x2 +px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q). ∴x 2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当 p=q 时，这个式子化成 x 2 +2px+p 2 或 x 2 +2qx+q2，是完 全平方式，可以运用公式分解因式. 例如：把 x 2 +3x+2 分解因式. (分析)因为二次三项式 x 2 +3x+2 的二次项系数是 1，常数项 2=1×2，一次项系数 3=1+2，这是一个 x 2 + (p+q) x+pq 型式子. 解：x 2 +3x+2=(x+1)(x+2) 典例剖析 师生互动 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；(2)会分解关 于 x 2 +(p+q)x+pq 型的二次三项式. 例 1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)ax-ay； (2)6xyz-3xz 2； (3)-x 3 z+x4 y； (4)36aby-12abx+6ab； (5)3x(a-b)+2y(b-a)； (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com (分析)(1)~(4)题直接提取公因式分解即可,(5)题和(6)题首先要适当的变形,其中(5)题把b-a化 成-(ab)的,(6)题把(x-m)(y-m化成(m-x)(my),然后再提取公因式 解:(1)ax-ay=a(xy) (2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z) (3)-x2+x'y=x2(-z+xy) (4)36aby-12abx+6b=6ab(6y-2x+1) (5)3x(ab)+2y(b-a)=3x(ab)-2y(ab)=(ab)(3x-2y) (6)x(m-x)(my)-m(x-m)(y-m) =x(m-x)(m-y)-m(mx)(m (m-x)2(m-y) 小结运用提公团式法分解因式时,要注意下列问题: (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号不能再分解 如:(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y) (x+y)[(7m8n)-(3m2n)] =(x+y)(4m-6n) =2(x+y)(2m-3n) (2)如果出现像(5)(6)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少,减少统一计算出现误差的 机率,这时注意到(ab)=(b-a)"(n为偶数) 例如:分解因式a(x-y)2+b(y-x)2+c(y-x) 本题既可以把(x-y)统一成(y-x),也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简 便,因为(x-y)2=(y-x)2 a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2 a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2 (y-x)[atb(y-x)+c] (y-x)2(atby-bx+c) (3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成积的形式 例如:(7a8b)(a2b)+(a8b)(a2b) (a2b)[(7a8b)+(a8b)] (a2b)(8a-16b) =8(a2b)(a2b) =8(a2b) 学生做一做把下列各式分解因式 1)amtan (2)(xy+ ay-by) (3)(2a+b)(2a3b)+(2a+5b)(2a+b) (4)3x(ab)-2y(b-a) (5)4p(1-q)2+2(q-1)2 (6)ab2(x-y)"+ab(x-y)”. 老师评一评(1)原式=a(m+n) (2)原式=y(x+ab); (3)原式=2(2a+b)2; (4)原式=(ab)(3x+2y) (5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2) (6)原式=ab(x-y)"(b+ax-ay) 例2把下列各式分解因式 (1)m2+2m+1 x2-12x+4 (3)1-10x+25x2; (4)(m+n)2-6(m+n)+9 (分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式 解:(1)m2+2m+1=(m+1) (2)9x2-12x+4=(3x-2 (3)1-10x+25x2=(1-5x)2 (4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2 学生做一做把下列各式分解因式 (1)(x2+4)2-2(x2+4)+1 (2)(x+y)2-4(x+y-1) 老师评一评(1)原式=(x2+3) (2)原式=(x+y-2)2 例3把下列各式分解因式 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com (分析) (1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把 b-a 化 成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式. 解：(1)ax-ay=a(x-y ) (2)6xyz-3xz 2 =3xz(2y-z). (3)-x 3 z+x4 y=x 3 (-z+xy). (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1). (5)3x (a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y). (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m) =x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y) =(m-x)(m-y)(x-m) =-(m-x)2 (m-y). 小结 运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题： (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解. 如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y) =(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)] =(x+y)(4m-6n). =2(x+y)(2m-3n). (2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的 机率，这时注意到(a-b) n =(b-a) n (n 为偶数). 例如：分解因式 a(x-y)2 +b(y-x)3 +c(y-x)2 . 本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简 便，因为(x-y) 2 =(y-x)2 . a(x-y)2 +b(y-x)3 +c(y-x)2 =a(y-x)2 +b(y-x)3 +c(y-x)2 =(y-x)2 [a+b(y-x)+c] =(y-x)2 (a+by-bx+c). (3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式. 例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b) =(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)] =(a-2b)(8a-16b) =8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2 . 学生做一做 把下列各式分解因式. (1)am+an； (2)(xy+ay-by)； (3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)； (4)3x(a-b)-2y(b-a)； (5)4p(1-q)3 +2(q-1) 2； (6)ab 2 (x-y)m +a 2 b(x-y)m+1 . 老师评一评 (1)原式=a(m+n) (2)原式=y(x+a-b)； (3)原式=2(2a+b)2； (4)原式=(a-b)(3x+2y)； (5)原式=(1-q)2 (4p-4pq+2)； (6)原式=ab(x-y)m (b+ax-ay). 例 2 把下列各式分解因式. (1)m2 +2m+1； (2)9x 2 -12x+4； (3)1-10x+25x 2； (4)(m+n)2 -6(m+n)+9. (分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式. 解：(1)m2 +2m+1=(m+1)2 . (2)9x2 -12x+4=(3x-2)2 . (3)1-10x+25x 2 =(1-5x) 2 . (4)(m+n)2 -6(m+n)+9=(m+n-3)2 . 学生做一做 把下列各式分解因式. (1)(x2 +4)2 -2(x2 +4)+1； (2)(x+y)2 -4(x+y-1). 老师评一评 (1)原式=(x 2 +3)2； (2)原式=(x+y-2)2 . 例 3 把下列各式分解因式
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com (1)x2+7x+10 2)x2-2x-8; (3)y2-7y+10 (4)x2+7x-18 (分析)二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1,常数项10=2×5,一次项系数7=2+5,所以这是一个 x2+(p+q)x+pq型的式子,可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解 解:(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5) (2)x2-2x-8=(x-4)(x+2) (3)y2-7y+10=(y-2)(y-5) (4)x2+7x-18=(x+9)(x-2) 小结对于x2+(p+q)xp型二次三项式的因式分解,①p>0,则p,q同号,若p+q>0,则p>0,q >0;若qp0,则绝对值大的为正数,若p+q< 0,则绝对值大的为负数 学生做一做把下列各式分解因式 (1)m2-7m+12 (2)x2y2-3xy-10 (3)(m-n)2-(m-n)-12 (4)x2-xy-2y 老师评一评(1)原式=(m3)(m-4) (2)原式=(xy-5)(xy+2) (3)原式=(mn-4)(m-n+3); (4)原式=(x-2y)(x+y) 综合应用题 本节知识的综合应用主要包括:(1)用分组分解法分解因式:;(2)与方程组的综合应用:(3)与几何知 识的综合应用;(4)几种因式分解方法的综合应用. 例4分解因式 (1)x3-2x2+x (2)(a+b)2-4a (3)x-81x2y2; (4)x2(x-y)+y2(y-x):(5)(a+b+c)2-(ab-c)2 (分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式 解:(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2 (2)(a+b)2-4a=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a) (3)x-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y) (4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y) (x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y) (x+y)(x-y)2 (5)(a+b+c)2-(ab-c) =[(a+b+c)(ab-c)][(a+b+c)-(ab-c)] 2a·(2b+2c) =4a(b+c). 例5利用分组分解法把下列各式分解因式 (1)a-b2+ab (2)a2+b2-2ab-1 (3)(ax+by)2+(ay-bx)2 (4)a2-2ab+b2-c2-2c-1 (分析)分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解,分组有两个目的,一是分组后能 出现公因式,二是分组后能应用公式,其中(1)题分组后存在公因式,(3)题需去括号后重新分组,(2)和 (4)题分组后能运用公式 解:(1)a-b2+ab=(a2-b2)+(ab) =(a+b)(ab)+(ab)=(ab)(a+b+1) (2)a+b2-2ab-1=(a-2ab+b2)-1 (a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1) (3)(ax+by )+(ay-bx =ax+2abxy+by2+ay2-2abxy+bx dx+by+ady+bx (ax2+ay)+(b2y2+b2x2) =a2(x2+y2)+b2(x2+y2) (a+b2)(x2+y2) (4)a2-2ab+b2-c2-2c-1 (a2-2ab+b2)-(c2+2c+1) 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com (1)x2 +7x+10； (2)x 2 -2x-8； (3)y2 -7y+10； (4)x2 +7x-18. (分析) 二次三项式 x 2 +7x+10 的二次项系数为 1，常数项 10=2×5，一次项系数 7=2+5，所以这是一个 x 2 +(p+q)x+pq 型的式子，可以用 x 2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解. 解：(1)x 2 +7x+10=(x+2)(x+5). (2)x 2 -2x-8=(x-4)(x+2). (3)y2 -7y+10=(y-2)(y-5). (4)x2 +7x-18=(x+9)(x-2). 小结 对于 x 2 +(p+q)x+pq 型二次三项式的因式分解，①pq＞0，则 p,q 同号，若 p+q＞0，则 p＞0，q ＞0；若 q+p＜0，则 p＜0，q＜0；②若 pq＜0，则 p,q 异号，若 p+q＞0，则绝对值大的为正数，若 p+q＜ 0,则绝对值大的为负数. 学生做一做 把下列各式分解因式. (1)m2 -7m+12； (2)x 2 y 2 -3xy-10； (3)(m-n)2 -(m-n)-12； (4)x 2 -xy-2y 2 . 老师评一评 (1)原式 =(m-3)(m-4)； (2)原式=(xy-5)(xy+2)； (3)原式=(m-n-4)(m-n+3)； (4)原式=(x-2y)(x+y). 综合应用题 本节知识的综合应用主要包括：(1)用分组分解法分解因式；(2)与方程组的综合应用；(3)与几何知 识的综合应用；(4)几种因式分解方法的综合应用. 例 4 分解因式. (1)x 3 -2x2 +x； (2)(a+b)2 -4a 2； (3)x 4 -81x2 y 2； (4)x 2 (x-y)+y 2 (y-x)； (5)(a+b+c)2 -(a-b-c)2 . (分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式. 解：(1)x 3 -2x2 +x=x(x2 -2x+1)=x(x-1)2 . (2)(a+b)2 -4a 2 =(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a). (3)x 4 -81x2 y 2 =x 2 (x2 -81y2 )=x2 (x+9y)(x-9y). (4)x 2 (x-y)+y2 (y-x)=x2 (x-y)-y 2 (x-y) =(x-y)(x 2 -y 2 )=(x-y)(x+y)(x-y) =(x+y)(x-y)2 . (5)( a+b+c) 2 -(a-b-c)2 =[(a+b+c)(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)] =2a·(2b+2c) =4a(b+c). 例 5 利用分组分解法把下列各式分解因式. (1)a 2 -b 2 +a-b； (2)a 2 +b 2 -2ab-1； (3)(ax+by)2 +(a y-bx) 2； (4)a 2 -2ab+b2 -c 2 -2c-1. (分析) 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能 出现公因式，二是分组后能应用公式，其中(1)题分组后存在公因式，(3)题需去括号后重新分组，(2)和 (4)题分组后能运用公式. 解：(1)a 2 -b 2 +a-b=(a 2 -b 2 )+(a-b) =(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1). (2)a 2 +b 2 -2ab-1=(a 2 -2ab+b 2 )-1 =(a-b)2 -1=(a-b+1)(a-b-1). (3)(ax+by)2 +(ay-bx) 2 =a 2 x 2 +2abxy+b2 y 2 +a 2 y 2 -2abxy+b2 x 2 =a 2 x 2 +b2 y 2 +a 2 y 2 +b2 x 2 =(a 2 x 2 +a 2 y 2 )+(b2 y 2 +b2 x 2 ) =a 2 (x2 +y2 )+b2 (x2 +y2 ) =(a 2 +b2 )(x2 +y2 ). (4)a 2 -2ab+b2 -c 2 -2c-1 =(a 2 -2ab+b2 )-(c2 +2c+1)
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com =(ab)2-(c+1)2 =[(ab)+(c+1)][(ab)-(c+1)] =(a-btc+1)(ab-c-1) 小结解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式:如果没有公因式或提取公因 式后,通常分下列几种情况考虑: (1)如果是四项或四项以上,考虑用分组分解法 (2)如果是二次三项式或完全平方式,则考虑用x2+(p+q)xpq型式子或完全平方公式分解因式 (3)如果是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式 最后,直到每一个因式都不能再分解为止 例6解方程组 2y=1 (分析)本题是一个二元二次方程组,就目前的知识水平来说,用代入消元法或加减消元法来解是困难 的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5,再把 2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中,即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解 解:由①得(x+2y)(x-2y)=5,③ 把②代入③中得x+2y=5,④ ∴原方程组化为 x+2y=5,④ ②+④得2x=6,∴x=3 ②-④得 ∴原方程组的解为/=3 Iv=l 学生做一做解方程组 老师评一评 例7若a,b,c是三角形的三边,且满足关系式a+b2+c-bb-ac-bc=0,试判断这个三角形的形状 解:∵a+b2+c2-ab-ac-bc=0, ∴2a+2b2+2c2-2db-2ac-2bc=0 即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2a+a)=0 (ab)2+(b-c)2+(c-a)2=0 由平方的非负性可知 ab=0, c-a=0, ∴ab=C. ∴.这个三角形是等边三角形 例8利用因式分解计算下列各题 (1)234×265-234×65;(2)992+198+1 (分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算 解:(1)234×265-234×65=234×(265-65 =234×200=46800 (2)992+198+1=992+2×99×1+1 =(99+1)2=100 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com =(a-b)2 -(c+1)2 =[(a-b)+(c+1)][(a-b)-(c+1)] =(a-b+c+1)(a-b-c-1). 小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因 式后，通常分下列几种情况考虑： (1)如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法； (2)如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用 x 2 +(p+q)x+pq 型式子或完全平方公式分解因式； (3)如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式. 最后，直到每一个因式都不能再分解为止. 例 6 解方程组 − = − = ② ① 2 1. 4 5, 2 2 x y x y (分析)本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难 的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程 x 2 -4y 2 =5 可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把 x-2y=1 代入方程(x+2y)(x-2y)=5 中，即可得到 x+2y=5 由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解 出. 解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③ 把②代入③中得 x+2y=5，④ ∴原方程组化为 − = + = ② ④ 2 1, 2 5, x y x y ②+④得 2x=6，∴x=3. ②-④得 4y=4，∴y=1. ∴原方程组的解为 = = 1. 3, y x 学生做一做 解方程组 − = − + = 9 35. 3 7, 2 2 x y x y 老师评一评 = = 2. 1, y x 例 7 若 a，b，c 是三角形的三边，且满足关系式 a 2 +b2 +c-ab-ac-bc=0，试判断这个三角形的形状. 解：∵a 2 +b2 +c2 -ab-ac-bc=0， ∴2a 2 +2b2 +2c2 -2ab-2ac-2bc=0. 即(a 2 -2ab+b2 )+(b 2 -2bc+c 2 )+(c2 -2ac+a 2 )=0， (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a) 2 =0. 由平方的非负性可知， ∴a=b=c. ∴这个三角形是等边三角形. 例 8 利用因式分解计算下列各题. (1)234×265-234×65； (2)992 +198+1. (分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算. 解：(1)234×265-234×65=234×(265-65) =234×200=46800. (2)992 +198+1=992 +2×99×1+1 =(99+1)2 =1002
免费下载网址htp:Jiaoxie5uys168.com/ =10000. 学生做一做利用因式分解计算下列各题 (1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9; (2)2002-4006×2002+20032; (3)5652×11-435×11 (4)(5-)2-(2 老师评一评(1)原式=1999:(2原式=1 (3)原式=1430000 (4)原式=28 例9若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k (分析)完全平方式是形如:a2±2db+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差) ∴9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2, ∴±kxy=2·3x·6y=36xy. ∴k=±36. 学生做一做若x2+(k+3)x+9是完全平方式,则k= 老师评一评k=3或k=-9 探索与创新题 12-2232 20032-2004 例10计算 1+23+45+6 2003+2004 (分析)本题旨在考查因式分解的灵活运用,即 (a+ba-D=ab(a+b≠0) atb a+b 解:原式= (1+21-2)(3+43-4)+5+6X5-6+ 1+2 5+6 (2003+2004)(2003-2004) 2003+2004 (1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-200 (-1)×,(2004÷2) 1002. 例11若x2+kx+20能在整数范围内因式分解,则k可取的整数值有() A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 (分析)若把x2+kx+20在整数范围内因式分解,由式子x2+(p+q)x+q考虑把20分解因数,20可分解 为:20×1,(-20)×(-1),10×2,(-10)×(-2),5×4,(-5)×(-4),所以k可能取的值有:20+1, (-20)+(-1),10+2,(-10)+(-2),5+4,(-5)+(-4),故k可能取的值有6个,所以正确答案为D项 例12分解因式(x4+x2-4)(x2+x2+3)+10 (分析)把x+x2作为一个整体,用一个新字母代替,从而简化式子的结构 解:令x+x2=m,则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 =m2-m-12+10 =m2-m2 =(m-2)(m+1) =(x4+x2-2)(x2+x2+1) (x2+2)(x2-1)(x2+x2+1) (x2+2)(x+1)(x-1)(x2+x2+1) 学生做一做求证:四个连续自然数的积再加上1,一定是一个完全平方数 老师评一评设这四个连续自然数依次为n,n+1,n+2,n+3,则 (n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 (n2+3n+1)2 ∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com =10000. 学生做一做 利用因式分解计算下列各题. (1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9； (2)20022 -4006×2002+20032； (3)5652×11-4352×11； (4)(5 4 3 ) 2 -(2 4 1 ) 2 . 老师评一评 (1)原式=1999； (2)原式=1； (3)原式=143000O； (4)原式=28. 例 9 若 9x 2 +kxy+36y2 是完全平方式，则 k= . (分析) 完全平方式是形如：a 2±2ab+b 2 即两数的平方和与这两个数乘积的 2 倍的和(或差). ∵9x2 +kxy+36y2 =(3x) 2 +kxy+(6y)2， ∴±kxy=2·3x·6y=36xy. ∴k=±36. 学生做一做 若 x 2 +(k+3)x+9 是完全平方式，则 k= . 老师评一评 k=3 或 k=-9. 探索与创新题 例 10 计算 2003 2004 2003 2004 5 6 5 6 3 4 3 4 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + + + − + + − + + − . (分析) 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即 a b a b a b a b a b + + − = + − ( )( ) 2 2 =a-b(a+b≠0). 解:原式= 5 6 (5 6)(5 6) 3 4 (3 4)(3 4) 1 2 (1 2)(1 2) + + − + + + − + + + − +… + 2003 2004 (2003 2004)(2003 2004) + + − =(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004) =(-1)×(2004÷2) =-1002. 例 11 若 x 2 +kx+20 能在整数范围内因式分解，则 k 可取的整数值有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.6 个 (分析) 若把 x 2 +kx+20 在整数范围内因式分解，由式子 x 2 +(p+q)x+qq 考虑把 20 分解因数，20 可分解 为：20×1，(-20)×(-1)，10×2，(-10)×(-2)，5×4，(-5)×(-4)，所以 k 可能取的值有：20+1， (-20)+(-1),10+2，(-10)+(-2),5+4，(-5)+(-4),故 k 可能取的值有 6 个，所以正确答案为 D 项. 例 12 分解因式(x4 +x2 -4)(x4 +x 2 +3)+10. (分析)把 x 4 +x2 作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构. 解：令 x 4 +x2 =m，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 =m 2 -m-12+10 =m 2 -m-2 =(m-2)(m+1) =(x4 +x2 -2)(x4 +x2 +1) =(x2 +2)(x2 -1)(x4 +x2 +1) =(x2 +2)(x+1)(x-1)(x4 +x2 +1). 学生做一做 求证：四个连续自然数的积再加上 1，一定是一个完全平方数. 老师评一评 设这四个连续自然数依次为 n，n+1，n+2，n+3，则 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n2 +3n)(n2 +3n+2)+1 =(n2 +3n)2 +2(n2 +3n)+1 =(n2 +3n+1)2 ∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1 一定是一个完全平方数
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com 例13若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积,试确定m的值. (分析)用待定系数法,令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+y+d),再对比系数求得m 解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+ay2+(b+d)x+(ad+bo)y+bd. 对比多项式的系数得 ac-Ii b+d=-5,③ ad+be=43,④ bd=-24 由③,⑤两式可得b=8,d=3,或b=3,d=-8. (1)当b=-8,d=3时,得a9,c=2 2)当b=3,d=-8时,得a-2,c=9 学生做一做已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值 老师评一评由已知条件可以设2x2-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),则2x2-x2+m=2x+(2a+1)x2+ 对比多项式系数可得 2a+1=-1 a=-1 c+2b=0,∴b 中考展望点击中考 中考命题总结与展望 本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现,直接以分解因式单独命题的并不多,但它与方程组、 二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的,应在学习中引起充分的重视 中考试题预测 例1(1)分解因式:a-25= (2)分解因式:xy2-x2y= (3)分解因式:x2-1 (4)分解因式:3x2-3= (5)分解因式:x2+2xy+y2-4= (6)分解因式:x2y2-4x= (7)分解因式:2x2-2= (8)分解因式:a+2a+aF (9)分解因式:xy-4xy+4y= (10)分解因式:a2-2ab+b2-c2= (分析)(1)直接运用平方差公式分解即可。.(2)直接运用提取公因式法分解即 可.(4)3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).(5)解决本题采用分组分解法,x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4 =(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2).(6)先提取公因式,再运用公式法分解因式.xy2-4x=x(x2y2-4) x(xy+2)(xy-2) 答案:(1)(a+5)(a-5)(2)xy(y-x)(3)(x+1)(x-1)(4)3(x+1)(x-1)(5)(x+y+2)(x+y-2 (6)x(xy+2)(xy-2)(7)2(x+1)(x-1)(8)a(a+1)2(9)y(x-2)2(10)(ab+c)(ab-c) 例2下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是() Ax2 B.x2+2 CX+y Dx -xnty 答案:B 例3将多项式a-b+aC-bc分解因式,分组的方法共有种 (分析)一种是:a-h+a-bc=(a-h)+(ac-bc); 另一种是:a2-ab-ac-bc=(a+ac)-(ab+bc), 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 例 13 若 x 2 +7xy+my2 -5x+43y-24 可以分解成 x,y 的两个一次因式的积，试确定 m 的值. (分析)用待定系数法，令 x 2 +7xy+my 2 -5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d),再对比系数求得 m. 解:设 x 2 +7xy+my2 -5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)=x 2 +(a+c)xy+acy 2 +(b+d)x+(ad+bc)y+bd. 对比多项式的系数得 由③，⑤两式可得 b=-8，d=3，或 b=3，d=-8. (1)当 b=-8，d=3 时，得 a=9，c=-2，⑥ (2)当 b=3，d=-8 时，得 a=-2，c=9.⑦ ∴m=-18. 学生做一做 已知多项式 2x 3 -x 2 +m 有一个因式(2x+1),求 m 的值. 老师评一评 由已知条件可以设 2x 3 -x 2 +m=(2x+1)(x2 +ax+b),则 2x3 -x 2 +m=2x 3 +(2a+1)x 2 + (a+2b)x+b. 对比多项式系数可得 中考展望 点击中考 中考命题总结与展望 本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现，直接以分解因式单独命题的并不多，但它与方程组、 二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的，应在学习中引起充分的重视. 中考试题预测 例 1 (1)分解因式：a 2 -25= ； (2)分解因式：xy 2 -x 2 y= ； (3)分解因式：x 2 -1= ； (4)分解因式：3x 2 -3= ； (5)分解因式：x 2 +2xy+y 2 -4= ； (6)分解因式：x 3 y 2 -4x= ； (7)分解因式：2x 2 -2= ； (8)分解因式：a 3 +2a 2 +a= ； (9)分解因式：x 3 y-4xy+4y= ； (10)分解因式：a 2 -2ab+b2 -c 2 = . ( 分 析 ) (1) 直 接 运 用 平 方 差 公 式 分 解 即 可 .(2) 直 接 运 用 提 取 公 因 式 法 分 解 即 可.(4)3x2 -3=3(x2 -1)=3(x+1)(x-1).(5)解决本题采用分组分解法，x 2 +2xy+y2 -4=(x 2 +2xy+y 2 )-4 =(x+y)2 -4=(x+y+2)(x+y-2).(6)先提取公因式，再运用公式法分解因式.x 3 y 2 -4x=x(x2 y 2 -4)= x(xy+2)(xy-2). 答案：(1)(a+5)(a -5) (2)xy(y-x) (3)(x+1)(x-1) (4)3(x+1)(x-1) (5)(x+y+2)(x+y-2) (6)x(xy+2)(xy-2) (7)2(x+1)(x-1) (8)a(a+1)2 (9)y(x-2)2 (10)(a-b+c)(a-b-c) 例 2 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A.x2 -y B.x2 +2y C.x2 +y2 D.x2 -xy+y2 答案:B 例 3 将多项式 a 2 -ab+ac-bc 分解因式，分组的方法共有 种. (分析) 一种是：a 2 -ab+ac-bc=(a 2 -ab)+(ac-bc)； 另一种是：a 2 -ab-ac-bc=(a 2 +ac)-(ab+bc)
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com 分组方法共有2种 例4x2-y2-x-y分解因式的结果是 答案:(x+y)(x-y-1 例5将下列式子因式分解:x-x2-y+y 答案:(x-y)(1-xy) 例6解方程组 x2-xy-2y2=0,① x+y=2② (分析)运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组 解:由①得(x-2y)(x+y)=0,③ 把②代入③中,得x-2y=0,④ 原方程组化为 x+y=2,② x-2y=0,④ ②④得3y=2,:y=2 把y=代入④中,得x= 原方程组的解为 例7为使x2-7x+b在整数范围内可以分解因式,则b可能取的值为 (任写一个) (分析)这是一个开放性试题,答案不惟一,依据的是式子x2+(p+q)x+pq 答案 例8把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是() A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y) C.(1-x-y)(1-x+y) (分析)解决本题采用分组分解法 1-x2+2xy-y2=1-(x2-2xy+y2) 1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y) 故此,正确答案为B项 课堂小结本节归纳 1.本节主要学习了:用提公因式法分解因式;用公式法分解因式;用分组分解法分解因式:形如 x2+(p+q)x+pq的二次三项式的因式分解 2.会运用因式分解解决计算问题 自我评价知识巩固 1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于() B.-5 D.7或-1 2.若(2x)-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是() A.2 B.4 C.6 3.把(a+b)-4(a-b2)+4(ab)2分解因式的结果是() B.(3b+a) C.(3b-a)2 D.(3a+b)2 4把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为() A.2(5x-2y)2 B.-2(5x-2y) C.29(x2+y2) D.以上都不对 5.若多项式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y),则p,q的值依次为( 6.分解因式:4x939 A.-12,-9 B.-6, C.-9,-9 D.0, 7.利用因式分解计算: 10000 2522-2482 若x=3.2,y=6.8,则x2+2xy+y2 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com ∴分组方法共有 2 种. 例 4 x 2 -y 2 -x-y 分解因式的结果是 . 答案：(x+y)(x-y-1) 例 5 将下列式子因式分解：x-x 2 -y+y2 = . 答案：(x-y)(1-x-y) 例 6 解方程组 + = − − = ② ① 2. 2 0, 2 2 x y x xy y (分析)运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组. 解：由①得(x-2y)(x+y)=0，③ 把②代入③中，得 x-2y=0，④ 原方程组化为 − = + = ④ ② 2 0, 2, x y x y ②-④得 3y=2，∴y= 3 2 . 把 y= 3 2 代入④中，得 x= 3 4 . ∴原方程组的解为 = = . 3 2 , 3 4 y x 例 7 为使 x 2 -7x+b 在整数范围内可以分解因式，则 b 可能取的值为 .(任写一个) (分析) 这是一个开放性试题，答案不惟一，依据的是式子 x 2 +(p+q)x+pq. 答案：-8 例 8 把多项式 1-x 2 +2xy-y 2 分解因式的结果是( ) A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y) C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y) (分析)解决本题采用分组分解法. 1-x 2 +2xy-y 2 =1-(x2 -2xy+y2 ) =1-(x-y)2 =(1+x-y)(1-x+y). 故此，正确答案为 B 项. 课堂小结 本节归纳 1.本节主要学习了：用提公因式法分解因式；用公式法分解因式；用分组分解法分解因式；形如 x 2 +(p+q)x+pq 的二次三项式的因式分解. 2.会运用因式分解解决计算问题. 自我评价 知识巩固 1.若 x 2 +2(m-3)x+16 是完全平方式，则 m 的值等于( ) A.3 B.-5 C.7. D.7 或-1 2.若(2x) n -81=(4x 2 +9)(2x+3)(2x-3)，则 n 的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.把(a+b)-4(a 2 -b 2 )+4(a-b) 2 分解因式的结果是( ) A.(3a-b)2 B.(3b+a) 2 C.(3b-a) 2 D.(3a+b)2 4.把(5x-2y) 2 +(2x+5y)2 分解因式为( ) A.2(5x-2y)2 B.-2(5x-2y)2 C.29(x2 +y 2 ) D.以上都不对 5.若多项式 x 2 +pxy+qy2 =(x-3y)(x+3y)，则 p,q 的值依次为( ) A.-12,-9 B.-6,9 C.-9,-9 D.0,-9 6.分解因式：4x 2 -9y 2 = . 7.利用因式分解计算： 2 2 252 248 10000 − = . 8.若 x=3.2，y=6.8，则 x 2 +2xy+y2 =
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com 9.把多项式4-4(ab)+(ab)2分解因式的结果是 10.计算:12-2+32-42+52-62+72-82+92-10= 11.分解因式 (1)(x+y)2-9y2 (3)10b(x-y)2-5a(y-x)2; (4)(b+b)2-(a+1)2 (5)(a2-x2)2-4ax(x-a)2 (6)(x+y+z)2-(x-y+z) 12.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值 13.已知x-y=2,x2-y2=6,求x与y的值 14.利用因式分解计算1999+1999-20002 15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260 16.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足关系式a+c2=2ab+2bc-2b2,试说明△ABC是等边三角形 17.当a,b为何值时,多项式a2+b2-4a6b+18有最小值?并求出这个最小值 参考谷案 1.D2.B3.C4.C5.D6.(2x+3y)(2x-3y)7.58.1009.(2-a+b)2 10.-55[提示:运用平方差公式分解因式 原式=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10) (1+2)-(3+4)-(5+6)-(7+8)-(9+10)=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) 10×(10+1) 2 11.(1)原式=(x+4y)(x-2y); (2)原式=(a+b)(ab+1) (3)原式=5(x-y)2(2b-a) (4)原式=(a+1)2(b+1)(b-1) (5)原式=(ax)2 (6)原式=4y(x+z) 当x-y=1,xy=2时,原式=2×12=2)=xy(x-y)2 12.提 xy =xy 13.解:∵x2-y2=6,…(x+y)(x-y)=6. 又∵x-y=2,① 3.② 由①②组成方程组 解得 x+y=3, 14.解:1999+1999-20002 =19992-2000+1999 (1999+2000)(1999-2000)+1999 =-(199+2000)+1999 1999-2000+1999 15.解:(65x+63)2-(65x-63)2=260, (65x+63+65x-63)(65x+63-65x+63)=260, 130x×126=260, 126x=2. =-.(运用平方差公式) 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 9.把多项式 4-4(a-b)+(a-b) 2 分解因式的结果是 . 10.计算：1 2 -2 2 +3 2 -4 2 +5 2 -6 2 +7 2 -8 2 +9 2 -10 2 = . 11.分解因式. (1)(x+y)2 -9y 2； (2)a 2 -b 2 +a+b； (3)10b(x-y)2 -5a(y-x) 2； (4)(ab+b)2 -(a+1) 2； (5)(a 2 -x 2 ) 2 -4ax(x-a) 2； (6)(x+y+z)2 -(x-y+z)2 . 12.已知 x-y=1,xy=2，求 x 3 y-2x 2 y 2 +xy 3 的值. 13.已知 x-y=2，x 2 -y 2 =6，求 x 与 y 的值. 14.利用因式分解计算 19992 +1999-20002 . 15.解方程(65x+63)2 -(65x-63)2 =260. 16.已知 a,b,c 是△ABC 的三边，且满足关系式 a 2 +c2 =2ab+2bc-2b 2，试说明△ABC 是等边三角形. 17.当 a，b 为何值时，多项式 a 2 +b2 -4a+6b+18 有最小值？并求出这个最小值. 参考答案 1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.(2x+3y)(2x-3y) 7.5 8.100 9.(2-a+b)2 10.-55[提示：运用平方差公式分解因式. 原式=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10) =-(1+2)-(3+4)-(5+6)-(7+8)-(9+10)=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) = 2 10 (10 +1) =-55.] 11.(1)原式=(x+4y)(x-2y)； (2)原式=(a+b)(a-b+1)； (3)原式=5(x-y) 2 (2b-a)； (4)原式=(a+1)2 (b+1)(b-1)； (5)原式=(a-x) 2； (6)原式=4y(x+z). 12.提示：x 3 y-2x2 y 2 +xy 3 =xy(x 2 -2xy+y 2 )=xy(x-y) 2 . 当 x-y=1，xy=2 时，原式=2×1 2 =2. 13.解：∵x 2 -y 2 =6,∴(x+y)(x-y)=6. 又∵x-y=2，① ∴x+y=3.②. 由①②组成方程组 + = − = 3, 2, x y x y 解得 = = . 2 1 , 2 5 y x 14.解：19992 +1999-20002 =19992 -2 0002 +1999 =(1999+2000)(1999-2000)+1999 =-(1999+2000)+1999 =-1999-2000+1999 =-2000. 15.解：(65x+63)2 -(65x-63)2 =260， (65x+63+65x-63)(65x+63-65x+63)=260， 130x×126=260， 126x=2. ∴x= 63 1 .(运用平方差公式)
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com 16.解:∵a+c2=2ab+2bc-2b ∵(a2+b2-2ab)+(c2+b2-2bc)=0 ∴(ab)2+(b-c)2=0. 由平方的非负性可知, a-b=0 b, b-c=0, ∵.△ABC是等边三角形 17.提示:∵a+b2-4a+6b+18 =(a2-4a+4)+(b2+6b+9)+5 (a-2)2+(b+3)2+5, 又∵(a2)2≥0,(b+3)2≥0, 当a2,b=-3时,a+b2-4a+6b+18有最小值5. 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 16.解：∵a 2 +c 2 =2ab+2bc-2b2， ∴a 2 +c 2 +2b 2 -2ab-2bc=0. ∴(a 2 +b2 -2ab)+(c2 +b2 -2bc)=0. ∴(a-b) 2 +(b-c)2 =0. 由平方的非负性可知， − = − = 0, 0, b c a b ∴ = = . , b c a b ∴a=b=c. ∴△ABC 是等边三角形. 17.提示：∵a 2 +b2 -4a+6b+18 =(a 2 -4a+4)+(b 2 +6b+9)+5 =(a-2)2 +(b+3)2 +5， 又∵(a-2)2≥0，(b+3)2≥0， ∴当 a=2,b=-3 时, a 2 +b 2 -4a+6b+18 有最小值 5