北京化工大学：《理论力学》课程教学资源（教案讲义）第十四章 虚位移原理 §14-1 约束、虚位移、虚功 §14-2 虚位移原理（虚功原理）

(24) 第十四章虚位移原理 要点：应用功和位移的概念分析系统的平衡问题 (分析力学（分析静力学）基础一（相对“几何静力学”） 例：A 求：图示机构平衡时M与P间关系 、B 若用几阿静力学方法【D紧分新充不同对家 ②需求不需要的中间参量 应用虚位移？理；厂①从功和位移的概念出发，建立非自由系点系的平衡条件 ②虚位移原理与达朗伯原理结合可组成动力学普遍方程， §14-1约束、虚位移、虚功 1、约束及其分类：定义：约束：限制质点或质点系运动的各种条件。 ①厂几何约束：限制质点或质点系在空间几何位置的条件。 气运动约束：限制质点或质点系运动情况的运动学条件， 约束方程 几何约束O :2+2=A A:x+y房=r2 AB:(x8-x)+(Va-yA)2=12 y “约束方程”0 B:y8=0 例：运动约束 A 又：：0='外÷p4-r0=0→立4-r0=0运动约束方程， 777纯滚动→ (几何约束方程，有：y4=r(或y42r) ②厂定常约束（稳定约束）。约束条件不随时间变化（约束方程中不显含时间） 非定常约束（不稳定约束）：约束条件随时间变化（约束方程显含时间1） 例：定常约束 例：非定常约束 x2+y2=12 0 →x x2+y2=0。-v02 M v(常量)ty

1 若用几何静力学方法： 应用虚位移原理： ① ② 第十四章 虚位移原理 要点：应用功和位移的概念分析系统的平衡问题、 （分析力学（分析静力学）基础  （相对“几何静力学”）） 求：图示机构平衡时Ｍ与Ｆ间关系 ①繁：分别研究不同对象 ②需求不需要的中间参量 ①从功和位移的概念出发，建立非自由系点系的平衡条件 ②虚位移原理与达朗伯原理结合可组成动力学普遍方程， §14-1 约束、虚位移、虚功 1、约束及其分类：定义：约束：限制质点或质点系运动的各种条件。 几何约束：限制质点或质点系在空间几何位置的条件。 运动约束：限制质点或质点系运动情况的运动学条件。 又：∵ r v   A ∴ vA  r  0  x  A  r   0 运动约束方程， （几何约束方程，有： y r A  （或 y r A  ）） 定常约束（稳定约束）：约束条件不随时间变化（约束方程中不显含时间 t ） 非定常约束（不稳定约束）：约束条件随时间变化（约束方程显含时间 t ） 例： 例：运动约束 纯滚动 ω （24） 例：几何约束 M： 2 2 2 x  y  l “约束方程” 约束方程               B y o AB x x y y l A x y r B B A B A A A : :( ) ( ) : 2 2 2 2 2 2 例：定常约束 2 2 2 x  y  l （常量） 例：非定常约束 2 2 2 x y (l vt)   o 

国厂双侧的束（双面约束、国执约束，不可解约束） 单侧约束（单面约束、非固执约束，可解约束） 边x2y2⊙2 g0四2y22 ”双 单 ④完整约束：约束方程中不显含坐标对时间的导数，或其微分项可积分为有限形式。 非完整约束：约束方程中显含坐标对时间的导数，且其微分项不能积分有限形式。 要求掌握：“定常的双侧几何约束”的概念→ 0 约束方程：x2+y2=12 y M) 2、虚位移：某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的无限小的位移 “可能位移”（包括：线位移、角位移） 0 注厂虚位移：仅与约束条件有关→符号“6”表示（变分符号：表示无限小“变理”之义》 (实位移：一定时间内真正实现的位移，与约束、时间、力及初始条件有关→符号“d”表示) 又：在定常约束条件下，实位移为虚位移中的一个（举例说明） 3、虚功：力在虚位移上作的功 牙口 虚功：dr=F.d m0人⑨δT(虚位移) 4、理想约束：约束反力在系统的任何虚位移中所作虚功之和为零， 即：∑Ww=∑FM·所=0 常见的理想约束：光滑固定面，光滑铰链，纯滚动的约束面，不可伸长的柔素等。 2

2 ③ ④ 注 双侧约束（双面约束、固执约束，不可解约束） 单侧约束（单面约束、非固执约束，可解约束） 完整约束：约束方程中不显含坐标对时间的导数，或其微分项可积分为有限形式。 非完整约束：约束方程中显含坐标对时间的导数，且其微分项不能积分有限形式。 要求掌握：“定常的双侧几何约束”的概念  2、虚位移：某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的无限小的位移 “可能位移”（包括：线位移、角位移） 虚位移：仅与约束条件有关  符号“  ”表示（变分符号：表示无限小“变更”之义）） 实位移：一定时间内真正实现的位移，与约束、时间、力及初始条件有关  符号“ d ”表示） 又：在定常约束条件下，实位移为虚位移中的一个（举例说明） 3、虚功：力在虚位移上作的功 虚功： w  F r 4、理想约束：约束反力在系统的任何虚位移中所作虚功之和为零， 即： WNi   FNi ri  0 常见的理想约束：光滑固定面，光滑铰链，纯滚动的约束面，不可伸长的柔索等。 + = 绳 + ≤ 双" 单" δφ δ δ φ δ (虚位移) 约束方程： 2 2 2 x  y  l

§14-2虚位移原理：（虚功原理) 具有理想约束的质点系，其平衡的充、要条件是： 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功之和为零 即：∑W-ΣF·=0“虚功方程” 解析表达式：∑(F,成，+Fn%+F正，)=0 ↑y 例： F 求：机构在图示位置平衡时，主动力F4与Fa间关系 6Ta 6 Ta) (先讨论传统的静力学方法如何求解。) 解：整体（质点系）→理想约束→应用虚位移原理 。①设一虚位移 设：系统一虚位移，由虚功方程：∑W=0 解题步彈 ②写出虚功方程 即：F4A-Fgmg=0（A、a均取绝对值) (③求虚位移关系 解题关健：求出各虚位移间关系： 法1、利用投影关系：(g)B=(A)B即：COS=asin→4=Bcgp 即：FAdA-FBB=0→FAacgp-FadB=0→FA=FBgp 法2、由：解析表达式：(F成，+F,+F,正，)=0→-Fa成B-FA·4=0 再利用约束方程：x后+房=卫→房=2-x后 变分运算（规测同微分运第：2y=0-2xB→即：4成B=-8 “一”表示，与成B正负号相反 代入虚功方程：F4cgg-Fa成B=0→即：F4=FBgP 法3、利用虚速度法 设想：虚位移在时间内发生则→相应的速度：“虚速度 =% - 可得虚位移间关系：产4=→“虚速度法” &B VB V4=AC:®4B今E=元=80→即：B=B=g0 lyg=BcOAB φ 3

3 φ ω §14-2 虚位移原理：（虚功原理） 具有理想约束的质点系，其平衡的充、要条件是： 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功之和为零， 即： WFi   Fi ri  0 “虚功方程” 解析表达式： (Fxixi  Fyiyi  Fzizi )  0 求：机构在图示位置平衡时，主动力 FA 与 FB 间关系 （先讨论传统的静力学方法如何求解。） 解：整体（质点系）  理想约束  应用虚位移原理 设：系统一虚位移，由虚功方程： WFi  0 即： FA rA  FBrB  0 （ A r 、 B r 均取绝对值） 解题关键：求出各虚位移间关系： 法 1、利用投影关系： B AB A AB (r )  (r ) 即： rB cos  rA sin  rA rB ctg 即： FA rA  FBrB  0  FA rB ctg  FBrB  0  FA  FB tg 法 2、由：解析表达式： (Fxixi  Fyiyi  Fzizi )  0   FBxB  FA yA  0 再利用约束方程： 2 2 2 x y l B  A   2 2 2 A B y  l  x 变分运算（规则同微分运算）： A A B B 2y y  0  2x x  即： B B A B A x ctg x y x y       “—”表示 A y 与 B x 正负号相反 代入虚功方程： FA ctgxB  FBxB  0  即： FA  FB tg 法 3、利用虚速度法、 设想：虚位移    B A r r   在时间 t 内发生 则  相应的速度：“虚速度”        t r v t r v B B A A     可得虚位移间关系： B A B A v v r r     “虚速度法” 有：               tg Ac Bc v v v Bc v Ac A B B AB A AB 即：    tg v v r r A B A B   代入虚功方程：      v tg v r r F F F r F r A B A B B A A A B B    0    φ 例： δ ( ) δ δ ( ) δ ①设一虚位移 ②写出虚功方程 ③求虚位移关系 解题步骤

例： //A0 求：图示位置平衡时M与F间关系， Da← 解：系统→给一虚位移→虚功方程：M-F·=0 由虚速度法。%-名- 。=+可有：。=，sn0→即：oB0=,sn0→生=OB sino sin0 即：M=F/ /sin2日 F2 %:646B￥m当 A 第6sn5s 分c ”人处反力 F 8 (先讨论传统的静力学方法如何求解。 解：解除A处约束，代之以反力F4,并视为主动力 给系统一虚位移：由虚功方程： FdA-Fi+Mp+F22=0 虚位移关系 ☐代入，得：F4= 78 关键点：如何求出各虚位移间关系。 作业：14-5、14-16（仅求A处反力） 4

4 选 a e r v  v  v 有： ve  va sin  即： oB   vc sin     2 sin sin vc OB h   求：图示位置平衡时 M 与 F 间关系， 解：系统  给一虚位移  虚功方程： M  F rc  0 由虚速度法：    c c r v F M   动点：BC 上 B 点 动系：OA 即：  2 sin M  Fh 求：Ａ处反力 （先讨论传统的静力学方法如何求解。） 解：解除Ａ处约束，代之以反力 FA ，并视为主动力。 给系统一虚位移：由虚功方程： FAsA  F1s1  M  F2s2  0 虚位移关系                m A A A A s s s s s s s         14 11 8 11 7 4 7 4 8 1 8 3 2 1 代入，得： FA  关键点：如何求出各虚位移间关系。 作业：14-5、14-16（仅求Ａ处反力） δθ δ θ 例： 8 11 7 δ δ δ 3 δ 4 11 8 例： 4 δΦ