联系 (19) 第十一章动量矩定理（动量矩。一力矩） →F d(c)wa 2 o(c)wa c. A 质心一样快，但运动形式不同 动量下=。=0,动量定理无法描述与转动有关的规律。 §11-1质点和质点系的动量矩 1、质点的动量矩：对定点O:Mo(T)=F×m(动量对点0之矩) m 矢量厂大：小mrsing 、方向：按右手定则 对定轴z: M,()=M,I(nm)】→代数量 y 有关系式：M.()=[M。(n 〔对定点O:L。=∑M(m,可) 2、质点系的动量矩 >有关系式：[亿=L 对定轴zL.-∑M(m,,) (思考：实际如何求工。) 例：定轴转动刚体对转轴的动量矩： Z L.=∑M(m,,)=∑m,y,5=∑m,5·0万=o∑m,52=J0 ☆与质量大小有关 即：L.=J0有：J.=∑m,52“转动惯量”☆与质量分布有关 (工程中有时希望J大，有时希望J小) (☆与转轴位置有关 (转动时惯性的度量（越大越难转动）， (例如：人对自身三个轴的转动) §11-2动量矩定理 1、质点的动量矩定理 动混超Mm酒色网 对定点，有： d山 dt 力矩：M(F)=F×F 下×m=0F×F M,(m)=M,D d 结论：质点对某定点（定轴）的动量矩对时 y 间的导数等于作用力对同一点（轴）之矩。 2
1 联系 ＞ 有关系式： Lo z Lz 对定点 O： ( ) o o i i L M m v 对定轴 z： ( ) z z i i L M m v 即： M (mv) M (F) dt d o o 投影式 z y M mv M F dt d x x ( ) ( ) 动量矩： ( ) [ ( )] (mv) dt d mv r dt dr M mv dt d M mv r mv o o 第十一章 动量矩定理（动量矩 力矩） 动量 p mvc o ，动量定理无法描述与转动有关的规律。 §11-1 质点和质点系的动量矩 1、质点的动量矩：对定点 O： M mv r mv O ( ) (动量对点 O 之矩) 大小： mvrsin 方向：按右手定则 有关系式： z o z M (mv) M (mv) 2、质点系的动量矩： （思考：实际如何求 Lo ） 例：定轴转动刚体对转轴的动量矩： Lz M z mi vi mi vi ri mi ri ri mi ri J z 2 ( ) ☆与质量大小有关 即： Lz J z 有： 2 z i i J m r “转动惯量” ☆与质量分布有关 （工程中有时希望 z J 大，有时希望 z J 小） ☆与转轴位置有关 （转动时惯性的度量（越大越难转动）， （例如：人对自身三个轴的转动） §11-2 动量矩定理 1、质点的动量矩定理 力 矩： Mo (F) r F 结论：质点对某定点(定轴)的动量矩对时 间的导数等于作用力对同一点(轴)之矩。 对定轴 z： ( ) [( ) ] z o xy M mv M mv 代数量 (c)ωα ωα (c) 质心一样快，但运动形式不同 ( ) Φ ( ) ω （19） 矢量 对定点，有： v mv 0 r F
2、质点系的动量矩定理： 外力矩内力矩 对系统内某1个质点：有4M(m,可，)=M。(E)=M。(厅)+M。(F dt 对整个质点系： 有Σ4M,(m可)=ΣM()+Σ石，E型 d 非可，（元小正 dL =ΣM() 结论：质点系对某定点（轴）的动量矩对时 d 即：正=Σ，（厅9）投影式 间的导数等于作用于质点系的外力对同 y d 点（轴）之矩的矢量和（外力主矩） 例： P 已知：轮半径R,重量P,对O轴转动惯量为J 小车重D,不计摩擦 求：小车加速度a 解：①取整体为研究的质点系，②受力及运动分析，③选择相应定理求解 质点系对0(c)抽的动量矩为：L。=J+2R g (设：顺时针为“+”) 外力0轴的力矩为：∑M,(E)=M-sin0.R+(N-,cos0·l 由动量矩定理：业=∑M,()U+2v网=M-Bs血0R →得：a=… 3、动量矩守恒定律 若：Mo(F)=0,则：Mo(m)=常矢量 0质点：由：品双，(m-.(何得{若：M=0,则：M.m=常量 一简：“（外）力矩为零，动量矩不变 ②质点系： 由： =2可，列有{有三亚.)=0，则：乙=常灰量 dt 1若：∑M,(“)=0,则：L.=常量 2
2 对整个质点系： 有 0 ( ) ( ) ( ) ( ) i o i e o i dt dL M m v dt d M o mi vi M F M F dt d o o i i 对系统内某 i 个质点：有 内力矩 i o i 外力矩 e Mo mi vi Mo Fi Mo Fi M F dt d ( ) ( ) ( ) ( ) 由： ( ) e o i o M F dt dL 得 若： ( ) 0 e Mo Fi ，则： Lo 常矢量 若： ( ) 0 e M z Fi ，则： Lz 常量 简：“(外)力矩为零，动量矩不变” 2、质点系的动量矩定理： 结论：质点系对某定点（轴）的动量矩对时 间的导数等于作用于质点系的外力对同一 点（轴）之矩的矢量和（外力主矩） 已知：轮半径 R ，重量 P1 ，对 O 轴转动惯量为 J， 小车重 P2 ，不计摩擦。 求：小车加速度 a 解：①取整体为研究的质点系，②受力及运动分析，③选择相应定理求解 3、动量矩守恒定律 ①质点： ②质点系： θ ω 例： 即： o Mo (Fi e ) dt dL 投影式 z y M F dt dL e x i x ( ) 质点系对 O( oz )轴的动量矩为： v R g P L J o 2 （设：顺时针为“＋”） 外力 O 轴的力矩为： M F M P R N P l e o i 0 2 2 ( ) sin ( cos ) 由动量矩定理： v R M P R g P J dt d M F dt dL e o i o ( ) ( ) sin 2 2 ( ) 2 R g P R J a 得： a 由： M (mv) M (F) dt d o o 得 若： MO (F) 0 ，则： MO (mv) 常矢量 若： M z (F) 0 ，则： M z (mv) 常量
例：质点在有心力作用下的运动（有心刀：力作用线始终通过某定点（力心：例如：行星绕太阳的运动） :Mo(F)=0·.Mo(m)=常失量 、m A mo(mv) 「1、方向不变：即：矢径F与速度下位于一固定平面， miy dA Mo(m)=常矢量 也即：质点在有心力作用下运动轨迹为平面曲线。 2、大小不变：即：Mo()=常量 即：M(m=F×m=常量→Fx可=常量→F×常量 d 即：24=常量→即：4=常量 又有：F×=2d(三角形面积dA的两倍》 。质点矢径于所扫过的面积连度，什-常量：面款定遥（面积定律) d (开普勒著名的三大行星定律之一) 即：质点在有心力作用下，点的矢径在任何相等的时间内扫过的面积必然相等。 (例：卫星在近地时速度大，远地时速度小) 求：绳断后的w(不计摩擦，不计其它构件质量) 解：整体质点系) ∑M(F)=0L=常量 m La =2ma'0 a2 mg mg L,2=2ma+1sim8o）La1=La得：o (a+1sin82。 (例：花样滑冰运动员滑冰动作》 §11-4刚体对轴的转动惯量 J.=∑m,y2 1、最常见简单形状物体的转动惯量 ①均质细长杆长1、质量m:J=写m②均质簿圆环：人.=mR:③均质圆板：人=mR a>m 人
3 dt dA ：质点矢径 r 所扫过的面积速度， dt dA 常量：面积速度定律（面积定律） 例：质点在有心力作用下的运动（有心力：力作用线始终通过某定点(力心)；例如：行星绕太阳的运动） ∵ MO (F) 0 ∴ MO (mv) 常矢量 MO (mv) 常矢量 又有： r dr 2dA （三角形面积 dA 的两倍） （开普勒著名的三大行星定律之一） 即：质点在有心力作用下，点的矢径在任何相等的时间内扫过的面积必然相等。 （例：卫星在近地时速度大，远地时速度小） 求：绳断后的ω （不计摩擦，不计其它构件质量） 解：整体(质点系) ∵ ( ) 0 e M z Fi ∴ Lz 常量 （例：花样滑冰运动员滑冰动作） §11-4 刚体对轴的转动惯量 2 z i i J m r 1、最常见简单形状物体的转动惯量 ω 例： θ θ 绳 ( ) 1、方向不变：即：矢径 r 与速度 v 位于一固定平面， 也即：质点在有心力作用下运动轨迹为平面曲线。 2、大小不变：即： MO (mv) 常量 即： MO (mv) r mv 常量 r v 常量 dt dr r 常量 即： dt dA 2 常量 即： dt dA 常量 2 2 2 1 2 ( sin ) 2 L m a l L ma z z o Lz1 Lz2 得： o a l a 2 2 ( sin ) ①均质细长杆：长 l 、质量 m ： 2 3 1 J ml z ；②均质薄圆环： 2 J z mR ；③均质圆板： 2 2 1 J z mR
2、惯性半径（回转半径） 工程中，常使用J:=mpp:=册 (工程手册常提供) (物理意义：假想物体总质量m全部集中在距离转轴为P.处的一个质点上) 3、平行轴定理、 C:质心：JxJ)=∑m,异=∑m,(x后+y) T 取：oc∥o51,距离为d o ma J.=Σm2=Σm,(+y)=Σm,+0a+d] =∑m,(x后+y)+2d∑m,ya+d2∑m 0 xtd ∑m 即：J.=Jc+md2(平行轴定理) 结论：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴 间距离平方的乘积。（也即：通过质心的轴的J最小，举例：翻跟头） 例：之1 c 求：J有：上=m,又有：.=小s+m分2→s=2m ①C 例： 求 ∫①动量 1②对0轴动量矩 (③平行轴定理J.=J+md2 例： 求：J。 72 作业：思考题114、 习题11-4
4 0 0 1 1 i i i c m m y y 2、惯性半径（回转半径） 工程中，常使用 2 z m z J m J z z （工程手册常提供） （物理意义：假想物体总质量 m 全部集中在距离转轴为 z 处的一个质点上） 3、平行轴定理、 C：质心： ( ) ( ) 2 1 2 1 2 zc z1 i i1 i i i J J m r m x y 取： oz ∥ 1 oz ，距离为 d ( ) 2 2 2 z i i i i i J m r m x y 2 1 2 1 m x (y d) i i i 2 2 1 2 1 2 ( 1 ) 2 md i i i J mi xi yi d m y d m zc 即： 2 J z J zc md （平行轴定理） 结论：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴 间距离平方的乘积。（也即：通过质心的轴的 J 最小，举例：翻跟头） 求： o J 作业：思考题 11-4、 习题 11-4 + = 例： 2 2 2 2 2 ) 2 ) ( 2 ( 2 1 3 1 d m l d J o J杆 J盘 ml m 例： 求： zc J 有： 2 3 1 J ml z ，又有： 2 ) 2 ( l J z J zc m 2 12 1 J ml zc ① ② ③ 平行轴定理 2 12 1 J ml zc 2 2 1 J zc mR 2 J z J zc md 要求记住 ω α 例： ①动量 ②对 O 轴动量矩 求