北京化工大学：《理论力学》课程教学资源（教案讲义）第十二章 动能定理 §12-1 力的功 §12-2 质点和质点系的功能 §12-3 动能定理

(21) 第十二章动能定理动能慧功) 12-1力的功（功：力在位移（路程）上的累计效应：冲量：力对时间的累计效应) 1、常力在直线路程上的功： W=Fcoss(或：W=F.5〉 37 2、变力在曲线路程上的功： [元功：6W=Fcos0dk [元功：6W=F·而 dr/日M M 场贴-垢Fa0点用R面 F=Fi+Fj+Fk 由： dr=dxi+dyj+dk →形2=（下，在+F,小+F,正）功的“解析表达式” 3、几种常见力的功 ①重力的功：W2=mg(31-2) ②弹性力的功：所2-(-6) >与路径无关 ③定轴转动刚体上作用力的功 ow=F·ds=F.Rdo=M·do 仅切向分力F作功 Wa=fe M..do (若：M=常最则功：W2=M(p2-m):) (又注：力矩与角位移转向一致时功为正) ④平面运动刚体上力的功 [ow=FR·d而e+M。·dp 选质心C为简化中心： ∫F:主 M:主矩 →功： w2=∫FA·d而。+∫Mdo (刚体平动和转动时功的和) 求：物体从弹簧原长下滑S时各力的功 W=0 Wp=PS sine (思考：摩擦力能否作正功？举例) WE=-Fs=-Pcosof'.S 求：轮相对固定面作纯滚动时约束反力的功 WN=0 Wr=? 滑动摩擦力F的元功：We=F.市=F.(何。·d)=0即：WF=o ①纯滚动情况下，滑动摩擦力作功为零，但滑动摩擦力本身不为零。 注： (②滚动摩阻作功不为零，但一般情况可忽略滚动摩阻

1 θ 注： 由：           dr dxi dyj dzk F F i F j F k x y z  ( ) 2 1 12     M M W Fxdx Fydy Fzdz 功的“解析表达式” 选质心 C 为简化中心：     M 主矩 F 主矢 c R : :  功：                     W F dr M d W F dr M d R c c c c R c c 2 1 2 12 1 （刚体平动和转动时功的和）                      W Fs P f S S k k W W PS W o F R P N     cos 2 ( ) 2 sin 2 2 2 2 1 第十二章 动能定理（动能 功） §12-1 力的功 （功：力在位移（路程）上的累计效应；冲量：力对时间的累计效应） 1、常力在直线路程上的功： W  F cos s （或： W  F  S ） 2、变力在曲线路程上的功： 3、几种常见力的功 ③定轴转动刚体上作用力的功 （ ( ) 若： M z 常量， 则：功： W12  M z 2 1 ；） （又注：力矩与角位移转向一致时功为正） ④平面运动刚体上力的功 求：物体从弹簧原长下滑 S 时各力的功 求：轮相对固定面作纯滚动时约束反力的功 WN  o  ? WF 滑动摩擦力 F 的元功： WF  F  dr  F (vc  dt)  0 即： WF  o ①纯滚动情况下，滑动摩擦力作功为零，但滑动摩擦力本身不为零。 ②滚动摩阻作功不为零，但一般情况可忽略滚动摩阻。 联系 例： θ 例： （21）         功 W F ds 元功： Ｗ＝F ds S    : cos cos 1 2 0 或：         2 1 12 M M 功：W F dr 元功： Ｗ＝F dr ＞与路径无关 ①重力的功： ( ) 12 1 2 W  mg z  z ②弹性力的功： ( ) 2 2 2 2 12   1  k W 仅切向分力 Ft 作功                     W M d W F ds F R d M d z t t z 2 1 12 （思考：摩擦力能否作正功？举例）

§12-2质点和质点系的功能 1、质点的动能：m2(恒为正值的标量，与速度下方向无关) 2、质点系的动能：T=m, 国点举握“刚体”动能的计算 ②定轴转动：T=2m听=号mG=02Σm=.02 ③平面运动： Cd识ST=02（但因碳心位变化.此公式不方便) :p=J+m2即：T=)o2u.+m) m(d) 即：T=m2+,o2 均质圆盘： C26 T-m2+3.o R -m+m贤-m 7了7纯滚动 (度To2-号mR2x-m) 己知：均质细长杆AB质量M、长l, 均质圆盘B质量m、半径R 求：系统功能 T=T杆+T盘 「T-之，oe-产w2-名ra 4 2

2 ω §12-2 质点和质点系的功能 1、质点的动能： 2 2 1 mv （恒为正值的标量，与速度 v 方向无关） 2、质点系的动能： 2 2 1 i i T   m v 重点掌握“刚体”动能的计算 ①刚体平动： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 i i c mi mvc T   m v  v   ②定轴转动： 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 T   mi vi   mi ri   mi ri  J z ③平面运动：    P 瞬心 c 质心 : : 2 2 1 Ｔ  J P （但因瞬心位置变化，此公式不方便） 由： 2 J P  Jc  md 即： ( ) 2 1 2 2 T   Jc  md 2 2 ( ) 2 1 2 1  Jc  m   d 即： 2 2 2 1 2 1 T  mvc  Jc 均质圆盘： 2 2 2 1 2 1 T  mvc  Jc 2 2 2 2 4 3 ) ( ) 2 1 ( 2 1 2 1 c c c mv R v  mv  mR   （或： 2 2 2 2 4 3 )( ) 2 3 ( 2 1 2 1 c c P mv R v T  J   mR  ） 已知：均质细长杆 AB 质量 M 、长 l ， 均质圆盘 B 质量 m 、半径Ｒ 求：系统功能 T  T杆  T盘 例： 纯滚动 ω 例： Ｔ杆 2 2 2 2 2 6 ) 3 ( 2 1 2 1   l  M l M J  A A   Ｔ盘 2 2 2 2 2 2 2 4 3 )( ) 2 ( 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1     l m R mR l mv J m l  B  B B   

思考： ○2 (动能 求：系统动能（以vA表示）， 例： A T=Ta+TB+T。 77纯滚动 a RR =2m,+m+2m) 例： 若有，= 77777 回其它条件不变，则应有 T=2(…) 初始静止且中=0 §12-3动能定理 1质点的动能定强：由版=F→n奇=F→m产市=F击 即： F→：吃m)→-m听= “微分形式” “积分形式” 2、质点系的动能定理 对系统内某i个质点，有：d兮m)= 对整个质点系，有：工d(兮叫)=工6 即：厂r=父 “微分形式” T2-T=∑W,“积分形式” 3、理想约束及内力做功 9{的s说 >Σw,=Σw+Σw 了☆内力功之和一般不一定为零（例：引力》 【☆刚体内力功之和一定为零 电有：功工”{约束反力班：三m心 主动力功：∑w >∑w=∑w+ΣgN 理想约束：约束反力作功为零的约束（例：光滑接触面、光滑铰链、纯滚动等） 般公式：dT-∑6， T2-T=∑w,(常用)

3 思考： ωα ω ωα 思考： 求： 动量 对 O 轴动量矩 动能 例： 纯滚动     A B Tc c c T B B T A A A A T m v J J m v 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1       2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 1 ) 2 )( 2 ( 2 1 )( ) 2 ( 2 1 2 1 c A B B B A A A A A A A m v R m R v R m R v  m v    2 ) 4 3 ( 2 A mA mB mc  v   ＞ N i F wi  wi  w 分析：功  wi 也有：功  wi 求：系统动能（以 vＡ 表示）， Ｔ＝T A Ｔ Ｂ Ｔ c 若有 2 A A R r  其它条件不变， 则应有 ( ?) T  vA 2  §12-3 动能定理 1、质点的动能定理：由 ma  F  F dt dv m   dr F dr dt dv m    即： mdv  v  F  dr  得： 12 2 1 2 2 2 2 1 2 1 ) 2 1 d( mv  w  mv  mv  w 2、质点系的动能定理： 对系统内某 i 个质点，有： i i wi d m v )   2 1 ( 2 对整个质点系，有： i i wi  d m v )   2 1 ( 2 dT  wi “微分形式” T2 T1  wi “积分形式” 3、理想约束及内力做功 外力功： e  wi ： 内力功： i  wi ： 主动力功： F  wi 约束反力功： N Wi 理想约束：约束反力作功为零的约束（例：光滑接触面、光滑铰链、纯滚动等） 一般公式： dT  wi T2 T1  wi （常用） “微分形式” “积分形式” 即： ＞ i i e wi  wi  w ☆内力功之和一般不一定为零（例：引力） ☆刚体内力功之和一定为零 ① ω φ 例： 初始静止且Φ =0 φ ω ②

例： 已知：轮0质量m。,半径R。,质量分布在轮缘上， 轮c质量m。,半径R。,质量均布，初始系统静止。 求：轮c中心经过S路程时的速度和加速度 解：整体一受力及运动分析一应用相应定理求解： BN 应用：T72-T=Σw有：T=0 乃-++-2+号x爱+mx爱 =2匠m+m,） Mp-mgssin-Mmgssin(mgsin 由：T2-7=∑w,→得：2()=s)→得：V。= →求导：2。a.6=)→得：a=… (注：初始状态是否静止只会影响求v(或w),而不会影响求a(或a)一思考：？) 例： T 求：杆由静止直立位置开始滑动后至任意位置时的口 解：杆：由T2-I=∑wT=0 7B VB 均为光滑面 初始静止且中为零 T2-2g Σw=Psp) 即.P叩02=P20-cos)→02=0-cos)3得o= 求导：20a=0-(mp岛)]→得a=器m0 补充题 作业：12-10、及补充题 己知：A、B、C三个均质圆轮均重Q,半径均为R,D物重Q 4- 泉系统动雀（以表标闲）（器同 了纯动 D

4 α ω Φ ω 均为光滑面 初始静止且Φ 为零 例： 已知：轮ｏ质量 mo ，半径 Ro ，质量分布在轮缘上， 轮ｃ质量 mc ，半径 Rc ，质量均布，初始系统静止。 求：轮ｃ中心经过 S 路程时的速度和加速度 解：整体  受力及运动分析  应用相应定理求解： 应用： T2 T1  w 有： T1  0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 2 1 )( ) 2 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 o c o o c c c c c c c c o o c c R v m R R m R v T  m v  J   J   m v   ) 2 1 4 3 ( 2 c mc mo  v   sin sin ( m g sin) R M m g s s R s w M m g s M c o c o    c         由： T2 T1  wi  得： ( ) ( ) vc 2   s   得： vc   求导： 2 () () c c c v a  v  得： ac  （注：初始状态是否静止只会影响求ｖ（或ω ），而不会影响求ａ（或α ）  思考：？） 求：杆由静止直立位置开始滑动后至任意位置时的      解：杆：由 T2 T1  w T1  0 2 2 2 2 1 2 1 vc Jc g P T   2 2 2 2 * 2 6 ) 12 ( 2 1 ( ) 2 1    g Pl g Pl cc g P    （思考：该题也可应用： 2 2 2 2 2 2 2 * 6 ) 2 ( 2 12 1 2 1    g l Pl g P g pl T Jc           ） cos ) 2 2 (  l l w  P  即：  (1 cos )  6 2 2 2   l P g Pl (1 cos ) 2 3     l g  得    求导：          (sin  ) 3 2 dt d o l g      得  sin 2 3 l g  作业： 12-10、及补充题 已知：Ａ、Ｂ、Ｃ三个均质圆轮均重Ｑ，半径均为Ｒ，Ｄ物重Ｑ 求：系统动能（以 D v 表示） ) 4 21 ( 2 D v g Q θ ω 纯滚动 例： 纯滚动 补充题：