第3章复习课
定义:一个数的平方等于a,这个数叫a的平方根 平方根 个正数有正、负两个平方根,它们互为相 性质反数;0的平方根是0;负数没有平方根 实际 平方根等于它本身的数只有0 开平方 计算的 定义:正数的正平方根称为算术平方根, 算术平方根 0的算术平方根是0 实数的分类/有理数 无理数 需要 性质:算术平方根等于它本身的数有0和1 实数 定义:一个数的立方等于a,这个数叫a的立方根 实数的运算/运算法则 运算顺序 立方根性质任何数都有立方根 开立方 立方根等于它本身的数有0,1和-1
知识结构
1.平方根、算术平方根、立方根的概 念及性质 【典例1】下列各数有平方根、算术平方根、立方根吗?如 果有,求出它的平方根、算术平方根、立方根;如果没 有,请说明理由 (1)-64;(2)0;(3)(-8)2 【点拨】(1)只有非负数才有平方根、算术平方根,任何实数 都有立方根 (2)注意正、负号,防止平方根与立方根混淆
课内讲练 1．平方根、算术平方根、立方根的概 念及性质 【典例 1】 下列各数有平方根、算术平方根、立方根吗？如 果有，求出它的平方根、算术平方根、立方根；如果没 有，请说明理由． (1)－64； (2)0； (3)(－8)2 . 【点拨】 (1)只有非负数才有平方根、算术平方根，任何实数 都有立方根． (2)注意正、负号，防止平方根与立方根混淆．
【解析】(1)∵-640,∴(-8)2有平方根和算术平方根,它们分别是 士8和8,即±√(-8)2=士8,√(-8)2=8 4=(-8)2,∴(-8)2的立方根为4即(-8)2=4
【解析】 (1)∵－640，∴(－8)2有平方根和算术平方根，它们分别是 ±8 和 8，即± （－8）2＝±8， （－8）2＝8. ∵4 3＝(－8)2，∴(－8)2的立方根为 4.即 3 （－8）2＝4
【跟踪练习1】(1)计算、9的结果是; (2)计算-27的结果是 (3)计算一10的结果是 (4)计算25的平方根的结果是 【答案】(1)3(2)-3(3)-3(4
【跟踪练习 1】 (1)计算 9的结果是____； (2)计算3 －27的结果是____． (3)计算－ 1 7 9的结果是____； (4)计算 25的平方根的结果是____． 【答案】 (1) 3 (2)－3 (3)－ 4 3 (4) ± 5
2.无理数、实数的概念及其分类 【典例2】在314,2,2m,一8,0.2020020002…(两个 “2”之间依次多一1个“0”),—0.4中,无理数有() A.3个 B4个 C.5个 D.6个 【点拨】(1)注意掌握无理数的3种形式:一是有根号,但开 不尽方的;二是含有π的式子或数;三是无限不循环的小数 (2)本题中易把314与π混淆,认为314也是无理数 【解析】这6个数中只有2m,一8,0.2020020002.(两个 “2”之间依次多一个“0”)为无理数 【答案】A
2．无理数、实数的概念及其分类 【典例 2】 在 3.14， 1 3，2π，－ 8，0.2020020002…(两个 “2”之间依次多一 1 个“0”)，－0.4 ·中，无理数有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 【点拨】 (1)注意掌握无理数的 3 种形式：一是有根号，但开 不尽方的；二是含有 π 的式子或数；三是无限不循环的小数. (2)本题中易把 3.14 与 π 混淆，认为 3.14 也是无理数． 【解析】 这 6 个数中只有 2π，－ 8，0.2020020002…(两个 “2”之间依次多一个“0”)为无理数． 【答案】 A
【跟踪练习2】有一组实数:2,√2,0,m,V-8, 1010010001…(两个“1”之间依次多一个“0”) (1)将它们分类,填在相应的括号内: 有理数 无理数 (2)选出2个有理数和2个无理数,用+,一,×,÷中的三个 不同的运算符号列成一个算式(可添加括号),使得运算结果 为正整数 【解析】(1)有理数12,0,-8, 无理数{2,m,2,01010两01 之间依次多一个“0”)} (2)2个有理数:2,0;2个无理数:n,2 则πx-0+2=4(答案 不唯一)
【跟踪练习 2】 有一组实数：2， 2，0，π， 3 －8， 2 π， 1 3， 0.1010010001…(两个“1”之间依次多一个“0”)． (1)将它们分类，填在相应的括号内： 有理数﹛ ﹜； 无理数﹛ ﹜； (2)选出 2 个有理数和 2 个无理数，用＋，－，×，÷中的三个 不同的运算符号列成一个算式(可添加括号)，使得运算结果 为正整数． 【解析】 (1)有理数 2，0， 3 －8， 1 3 ； 无理数 2，π， 2 π，0.1010010001…（两个“1” 之间依次多一个 “0”） ； (2)2 个有理数：2，0；2 个无理数：π， 2 π，则 π× 2 π－0＋2＝4(答案 不唯一)．
3.实数的大小比较 典例3】比较32-1与1+22的大小 【点拨】实数进行大小比较的原则是:①数轴上右边的点表 示的数总比左边的点表示的数大;②正实数大于0,负实数小 于0;两个负实数,绝对值大的反而小;两个正实数比较大小 一般可用以下几种方法:作差法、作商法、平方法,取近似 值法 【解析】∵32-1)-(1+22)=2-2<0, 32-1<1+22 【答案】32-1<1+22
3．实数的大小比较 【典例 3】 比较 3 2－1 与 1＋2 2的大小． 【点拨】 实数进行大小比较的原则是：①数轴上右边的点表 示的数总比左边的点表示的数大；②正实数大于 0，负实数小 于 0；两个负实数，绝对值大的反而小；两个正实数比较大小 一般可用以下几种方法：作差法、作商法、平方法，取近似 值法． 【解析】 ∵(3 2－1)－(1＋2 2)＝ 2－2<0， ∴3 2－1<1＋2 2. 【答案】 3 2－1<1＋2 2
【跟踪练习3】比较大小:7231,.N3+14 2 3 (用“>”“<”或“=”填空) 【答案】<
【跟踪练习 3】 比较大小：7 2____3 11， 3＋1 2 ____ 4 3 (用“>
4.算术平方根的双重非负性 【典例4】已知y=x-3+、3-x+2,试求x+y的 值 【点拨】(1)当两个被开方数互为相反数时,它们必定同 时为0 (2)若几个非负数的和为0,则每一个非负数均为0 3>0, 【解析】由题意可知 3-x>0 x=3,此时y=2, ∴x+y=32+23=17 答案】17
4．算术平方根的双重非负性 【典例 4】 已知 y＝ x－3＋ 3－x＋2，试求 x y＋y x的 值． 【点拨】 (1)当两个被开方数互为相反数时，它们必定同 时为 0. (2)若几个非负数的和为 0，则每一个非负数均为 0. 【解析】 由题意可知 x－3≥0， 3－x≥0， ∴x＝3，此时 y＝2， ∴x y＋y x＝3 2＋2 3＝17. 【答案】 17