第3章实数 3.1平方根
.平方根 定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫 做a的平方根,也叫做a的二次方根. 记法:一个正数a的平方根用表示(读做“正、负根 号a”),其中a叫做被开方数 2.平方根的性质: (1)一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数;0 的平方根是0;负数没有平方根; (2)平方根等于它本身的数只有0
课前预练 1． 平方根： 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫 做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根． 记法：一个正数 a 的平方根用±_ a表示(读做“正、负根 号 a”)，其中 a 叫做被开方数． 2． 平方根的性质： (1)一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是__0__；负数没有平方根； (2)平方根等于它本身的数只有__0__．
3.开平方:求一个数的平方根的运算叫做开平方 算术平方根 定义:正数的正平方根称为算术平方根,0的算术平 方根是Q 记法:一个数a(a≥0)的算术平方根记做“√g
3． 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方． 4． 算术平方根： 定义：正数的正平方根称为算术平方根，0 的算术平 方根是 0． 记法：一个数 a(a≥0)的算术平方根记做“ a”．
1.平方根和算术平方根的概念及其表 示方法 【典例1】求下列各数的平方根与算术平方根: (1)64;(2)0.49;(3)0;(4)(-5) 【点拨】(1)求一个数的平方根时,注意它的平方根通常用 “a”的形式来描述,切不可丢掉“”号;而求一个数的算术 平方根时,通常用“a”的形式来描述,前面没有“士”号. (2)本题的易错之处就是在求平方根与算术平方根时分不清何 时有“士”号,何时没有“士”号
课内讲练 1．平方根和算术平方根的概念及其表 示方法 【典例 1】 求下列各数的平方根与算术平方根： (1)64; (2)0.49； (3)0; (4)(－5)2 . 【点拨】 (1)求一个数的平方根时，注意它的平方根通常用 “± a”的形式来描述，切不可丢掉“±”号；而求一个数的算术 平方根时，通常用“ a”的形式来描述，前面没有“±”号． (2)本题的易错之处就是在求平方根与算术平方根时分不清何 时有“±”号，何时没有“±”号．
【解析】(1)∵(±82=64,∴64的平方根是8,即±64= ±8;64的算术平方根是8,即、64=8 (2)∵(出0.7)2=0.4,∴0.49的平方根是±0.7,即±0.49= 士07;049的算术平方根是07,即0.49=07 (3)∵02=0,∴0的平方根是0,即±0=0;0的算术平方根是 ,即√0=0 (4)∷(±5}2=(-52,∴(-52的平方根是5,即士(-5)2 ±5;(-5)2的算术平方根是5,即√(-5)2=5
【解析】 (1)∵(±8)2＝64，∴64 的平方根是±8，即± 64＝ ±8；64 的算术平方根是 8，即 64＝8. (2)∵(±0.7)2＝0.49，∴0.49 的平方根是±0.7，即± 0.49＝ ±0.7；0.49 的算术平方根是 0.7，即 0.49＝0.7. (3)∵0 2＝0，∴0 的平方根是 0，即± 0＝0；0 的算术平方根是 0，即 0＝0. (4)∵(±5)2＝(－5)2，∴(－5)2的平方根是±5，即± （－5）2＝ ±5；(－5)2的算术平方根是 5，即 （－5）2＝5
【跟踪练习1】求下列各数的平方根与算术平方根: 16 (1)25;(2)-3 25 【解折】0321:的平方根是与专即2 ;25的算术平方根是,即、/4 16 255 (2)∵(±32=|-3,∴}-32的平方根是3,即士|-32=+3 -32的算术平方根是3,即32=3
【跟踪练习 1】 求下列各数的平方根与算术平方根： (1)16 25； (2)|－3|2 . 【解析】 (1)∵ ± 4 5 2＝ 16 25，∴ 16 25的平方根是± 4 5，即± 16 25＝ ± 4 5； 16 25的算术平方根是4 5，即 16 25＝ 4 5 . (2)∵(±3)2＝|－3|2 ，∴|－3|2的平方根是±3，即± |－3|2＝±3； |－3|2的算术平方根是 3，即 |－3|2＝3
典例2】计算: 25 (2)(-25 (3)(-7)2;(432+(-4)2-52 【点拨】(1)本题主要考查对“平方与开平方之间互为逆运算关系” 的理解 2)在计算时要注意正负号 【解析】(1) 25 (2)(-√25)2=(-52=25 (3)(-7)2=√49=7 (4)32+(-4)2-52=9+16-25=0 【答案】(1) s()25③3)7(4)0
【典例 2】 计算： (1)－ － 9 25 ； (2)(－ 25) 2 ； (3) （－7）2 ； (4) 3 2＋（－4）2－5 2 . 【点拨】 (1)本题主要考查对“平方与开平方之间互为逆运算关系” 的理解． (2)在计算时要注意正负号． 【解析】 (1)－ － 9 25 ＝－ 9 25＝－ 3 5 . (2)(－ 25) 2＝(－5)2＝25. (3) （－7）2＝ 49＝7. (4) 3 2＋（－4）2－5 2＝ 9＋16－25＝0. 【答案】 (1)－ 3 5 (2) 25 (3) 7 (4) 0
跟踪练习2】计算: (1)士 解析】(1) (2)52-42=125-16=√9=3 【答案】(1)±。(2)3
【跟踪练习 2】 计算： (1)± － 4 9 2 ； (2) 5 2－4 2 . 【解析】 (1)± － 4 9 2＝± 4 9 . (2) 5 2－4 2＝ 25－16＝ 9＝3. 【答案】 (1)± 4 9 (2) 3
2.平方根和算术平方根的性质 【典例3】如果一个正数a的平方根是x+2和x-4,求这 个正数a 【点拨】一个正数有两个平方根,它们互为相反数 【解析】由平方根的性质,得(x+2)+(x-4)=0, 解得x=1. x+2=3,x-4=-3. ∴a=(x+2)2=9或a=(x-4)2=9 【答案】9
2．平方根和算术平方根的性质 【典例 3】 如果一个正数 a 的平方根是 x＋2 和 x－4，求这 个正数 a. 【点拨】 一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【解析】 由平方根的性质，得(x＋2)＋(x－4)＝0， 解得 x＝1. ∴x＋2＝3，x－4＝－3. ∴a＝(x＋2)2＝9 或 a＝(x－4)2＝9. 【答案】 9
〖跟踪练习3】(1)已知实数x,y满足x-5++4=0,求 代数式(x+y)204的值; (2)如果一个正数m的平方根是2x-3和3x-7,求正数m 解析】(1)∵kx-5+y+4=0,kx-520,y+40, ∴x-5=0,y+4=0, 5, ∴(x+y) 2014 2014 (2)由平方根的性质,得(2x-3)+(3x-7)=0, 解得x=2. 2x-3=1,3x-7=-1 m=(2x-3)2=1或m=(3x-72=1. 【答案】(1)1(2)1
【跟踪练习 3】 (1)已知实数 x，y 满足|x－5|＋ y＋4＝0，求 代数式(x＋y) 2014的值； (2)如果一个正数 m 的平方根是 2x－3 和 3x－7，求正数 m. 【解析】 (1)∵|x－5|＋ y＋4＝0，|x－5|≥0， y＋4≥0， ∴x－5＝0，y＋4＝0， ∴x＝5，y＝－4. ∴(x＋y) 2014＝1 2014＝1. (2)由平方根的性质，得(2x－3)＋(3x－7)＝0， 解得 x＝2. ∴2x－3＝1，3x－7＝－1. ∴m＝(2x－3)2＝1 或 m＝(3x－7)2＝1. 【答案】 (1) 1 (2) 1