免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 9.3分式方程 【知识精读】 含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的,但用含有字母 的式子去乘以或除以方程的两边,这个式子的值不能为零 公式变形实质上是解含有字母系数的方程 对于含字母系数的方程,通过化简,一般归结为解方程若b≠O,原方程变为x这是个矛盾等式,故原方程无解。 含字母系数的分式方程主要有两类问题:(一)求方程的解,其中包括:字母给出条件 和未给出条件:(二)已知方程解的情况,确定字母的条件。 【分类解析】 1.分式有意义的应用 例1.若,试判断 2s,;是否有意义。 练习:当x取何值时,分式一1有意义?值为0 2.在数学、物理、化学等学科的学习中,都会遇到有关公式的推导,公式的变形等问题。 而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。 例2.已知x 试用含x的代数式表示y,并证明 3 3.求含有字母系数的一元一次方程的解 例3.解关于x的方程2ax bc a≠b) 分析:将x以外字母看作数字,类似解一元一次方程,但注意除数不为零的条件 4.已知字母系数的分式方程的解,确定字母的条件 例4.如果关于x的方程 有唯一解,确定a、b应满足的条件。 5.在其它学科中的应用(公式变形 例5.在物理学中我们学习了公式S以x,其中所有的字母都不为零已知S、vo、 t,试求a 例6.解关于x的方程 例7.解关于x的方程。 练习:已知三“=C,求z。(tE∈) 【实战模拟】 1、填空:在1如中,已知以bO且cC,则= 2、在公式P=中,已知P、F、t都是正数,则s等于() 解压密码联系qq11139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 9.3 分式方程 【知识精读】 含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母 的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。 公式变形实质上是解含有字母系数的方程 对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程 ax=b 型，讨论如下： （1）当 a0 时，此时方程 ax=b 为关于 x 的一元一次方程，解为： x b a = （2）当 a=0 时，分以下两种情况： 若 b=0 ，原方程变为 0x=0 ，为恒等时，此时 x 可取任意数，故原方程有无数个 解； 若 b0 ，原方程变为 0x=b(b0) ，这是个矛盾等式，故原方程无解。 含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件 和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例 1. 若 ab+a−b−1=0 ，试判断 1 1 1 a − b + 1 ， 是否有意义。 练习： 当 x 取何值时，分式 2 1 1 1 x x + − 有意义？值为 0？ 2. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。 而公 式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。 例 2. 已知 x y y = + − 2 3 3 2 ，试用含 x 的代数式表示 y，并证明 (3x−2)(3y−2)=13。 3. 求含有字母系数的一元一次方程的解 例 3. 解关于 x的方程 2 3 6 ax 2 b bx ac − = + a b c ( ) 分析：将 x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。 4. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件 例 4. 如果关于 x 的方程 a x a b x b + = + 1 1 有唯一解，确定 a、b 应满足的条件。 5. 在其它学科中的应用（公式变形） 例5. 在物理学中我们学习了公式 S=vt− at 0 1 2 2 ，其中所有的字母都不为零。已知S、v0 、 t，试求 a。 例 6. 解关于 x 的方程 xab c xbc b xca − + − + − b =3(a，b，c0) 例 7. 解关于 x 的方程。 ax(x+a)bx(x+b)=(a+b)(x+a)(x+b)(ab0) 练习： 已知 z a b z c d − − = ，求 z。（ c+d0 ） 【实战模拟】 1、 填空：在 v=v0+at 中，已知 v、v0、a 且 a0 ，则 t=________。 2、 在公式 P Fs t = 中，已知 P、F、t 都是正数，则 s 等于（ ）
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ D.以上都不对 3、解关于x的方程 其中,。 4、解关于x的方程 x+12x 5.a为何值时,关于x的方程 的解等于零 6.已知关于x的方程 2有一个正整数解,求m的取值范围。 7.已知一 的值 已知之,求代数式(D 1 的值。 9.已知 1≤,求x4+的值 10.如果a、b为定值,关于x的一次方程 e 无论取何值,它的根总 是1,求a、b的值。 【实战模拟】 1.解关于x的方程 ,其中) 2.解关于x的方程← 3.a为何值时,关于x的方程x+12+三的解等于零? 4.已知关于x的方程 有一个正整数解,求m的取值范围 SteL 5.如果a、b为定值,关于x的一次方程 ,无论取何值,它的根总 是1,求a、b的值 例1.解关于x的方程个个个“x 解:原方程化为: 即 (x-a-b-c)(-+ a>0,b>0,c>0 0 a+b 说明:本题中,常数“3”是一个重要的量,把3拆成3个1,正好能凑成公因式 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com A. P t F B. F t P C. F P t D. 以上都不对 3、解关于 x 的方程 x m n x n m − = − 1 1 ，其中 m0，n0，mn。 4、 解关于 x 的方程 (a−1)(a−4)x+2x=a−2。 5. a 为何值时，关于 x 的方程 x x a a + − = − + 1 2 2 3 5 的解等于零？ 6. 已知关于 x 的方程 x x m − x − = 3 − 2 3 有一个正整数解，求 m 的取值范围。 7. 已知 4x−3y−6z=0，x+2y−7z=0，xyz0 ，求 x y z x y z + − − + 2 的值 8．已知 x 2−3x−2=0 ，求代数式 (x ) x x − − + − 1 1 1 3 2 的值。 9. 已知： x x 2−−1=0 ，求 x x 4 4 1 + 的值。 10. 如果 a、b 为定值，关于 x 的一次方程 3 3 2 6 kx+a xbk =+ − ，无论取何值，它的根总 是 1，求 a、b 的值。 【实战模拟】 1. 解关于 x 的方程 x m n x n m − = − 1 1 ，其中 m0，n0，mn。 2. 解关于 x 的方程 (a−1)(a−4)x+2x=a−2。 3. a 为何值时，关于 x的方程 x x a a + − = − + 1 2 2 3 5 的解等于零？ 4. 已知关于 x 的方程 x x m − x − = 3 − 2 3 有一个正整数解，求 m 的取值范围。 5. 如果 a、b 为定值，关于 x 的一次方程 3 3 2 6 kx+a xbk =+ − ，无论取何值，它的根总 是 1，求 a、b 的值。 例 1. 解关于 x 的方程 xab c xbc b xca − + − + − b =3(a，b，c0) 解：原方程化为： xab c xbc b xca b −− −1+ −− −1+ −− −1=0 即 xabc c xbca a xcab b −−− + −−− + −−− =0 − − − + + = + + − − − = = + + (x a b c)( ) a b c a b c a b c x a b c x a b c 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 ， ， 说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把 3 拆成 3 个 1，正好能凑成公因式
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ κx。若按常规在方程两边去分母,则解法太繁,故解题中一定要注意观察方程的 结构特征,才能找到合适的办法。 例2.解关于x的方程 解:去括号: 说明:解含字母系数的方程,在消未知数的系数时,一定要强调未知数的系数不等于0 如果方程的解是分式形式,必须化成最简分式或整式。 例3.已知 求z。(ce) d 分析:本题是求z,实质上是解含有字母系数的分式方程,应确定已知量和未知量,把 方程化归为<x乙的形式,便可求解。 解:-<z∈ d(二-a)=c(b de-ad= bc-c d+c=ad+bc (d+c)z=ad+bc 又正 5、中考点拨 例1.填空:在1飞,已知以咕且cC,则t= 解: 0 例2.在公式P=二中,已知P、F、t都是正数,则s等于() D.以上都不对 解: P.故选 F 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com x−a−b−c 。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的 结构特征，才能找到合适的办法。 例 2. 解关于 x 的方程。 ax(x+a)bx(x+b)=(a+b)(x+a)(x+b)(ab0) 解：去括号： ax 2+a 2 x+bx2+b 2 x=(a+b)x 2+(ab) 2 x+ab(a+b) (ab)x(ab)xab(ab)abxab(ab) ab x ab 2 2 2 2 0 2 + −+ = +− = + =− + 说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于 0， 如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。 例 3. 已知 z a b z c d − − = ，求z。（ c+d0 ） 分析：本题是求 z，实质上是解含有字母系数的分式方程，应确定已知量和未知量，把 方程化归为 ax=b(a0) 的形式，便可求解。 解： d0 − = − − = − + = + + = + d z a c b z dz ad bc cz dz cz ad bc d c z ad bc ( ) ( ) ( ) 又 d+c0 = + + z bc ad c d 5、中考点拨 例 1. 填空：在 v=v0+at 中，已知 v、v0、a 且 a0 ，则 t=________。 解： v=0+atat=v−0 a t v v a = − 0 0 例 2. 在公式 P Fs t = 中，已知 P、F、t 都是正数，则 s 等于（ ） A. P t F B. F t P C. F P t D. 以上都不对 解： P Fs t = Pt=Fs s = Pt F ，故选A
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 【试题答案】 1.解:去分母,得nx-m=mx-n 2x-MX=2-2 n-m2)x=m2-1 n2≠n n-m≠0 72 说明:以上两题均考察了公式变形 2.解:原方程变为多L (1)当c且时,得x、1 (2)当←时,原方程变为 为任意数,即原方程有无数个解 3)当d时,原方程为Q№三,此时原方程无解。 3.解:去分母,得 当∠8时,方程有唯一解,x=1 8-a O,则15O 综上所述,当a=-时,原方程的解为0 4.分析:解分式方程综合了分式的运算,整式方程等知识,除此之外,分式方程一般还 可能应用代数式的恒等变形的知识 2(x-3)= x=6-m ∴原方程有解,6-m不能为增根 6-m≠3,即m≠3 又…方程解为正整数 ,则P 当P且门时,原方程有正整数解 5.分析:原方程是关于x的一元一次方程,由题意把根代入原方程转化为解关于k的方 程 解 由题意得x代入上式得: 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 说明：以上两题均考察了公式变形 2. 解：原方程变为 (a 2−5a+4)x+2x=a−2 (a 2−5a+6)x=a−2 即 (a−2)(a−3)x=a−2 （1）当 a2 且 a3 时，得 x a = − 1 3 （2）当 a=2 时，原方程变为 0x=0 x 为任意数，即原方程有无数个解 （3）当 a=3 时，原方程为 0x=1 ，此时原方程无解。 3. ( 解：去分母，得 8−a)x=1−5aax+a5x=2ax−4a3x+6 当 a8 时，方程有唯一解， x a a = − − 1 5 8 设 1 5 8 0 − − = a a ，则 15 0 1 5 −a=，a= 综上所述，当 a = 1 5 时，原方程的解为 0。 4. 分析：解分式方 程综合了分式的运算，整式方程等知识，除此之外，分式方程一般还 可能应用代数式的恒等变形的知识。 又 方程解为正整数 6−m0 ，则 m6 当 m6 且 m3 时，原方程有正整数解 5. 分析：原方程是关于 x 的一元一次方程，由题意把根代入原方程转化为解关于 k 的方 程。 解： 6kx+2a=12+x−bk (6k−1)x=12−2a−bk 由题意得 x=1 代入上 式得：
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ DB属 ro+ 2z 6+b=0 人有无数解, O 解得a 6.已知一 求x+y-三的值 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ( ) ( ) 6 1 122 6 132 k x abk bk a − = − − + = − k 有无数解， + = − = 6 0 13 2 0 b a 解得 a= b=− 13 2 ， 6 6. 已知 4x−3y−6z=0，x+2y−7z=0，xyz0 ，求 x y z x y z + − − + 2 的值