免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 19.3一元二次方程的根的判别式教案 教学目标 1.了解根的判别式的概念 2.能用判别式判别根的情况。 3.进一步渗透转化和分类的思想方法 4、培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力。 教学重点:会用判别式判定根的情况. 教学难点:正确理解“当b2-4ac0。因此只需研究b2-4ac的值就可 以了,从而由学生得出:(向学生渗透转化和分类的思想方法 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根 (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根 (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根 教师通过引导之后,提问:究竟谁决定了一元二次方程根的情况? 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 19.3 一元二次方程的根的判别式 教案 教学目标 1．了解根的判别式的概念。 2．能用判别式判别根的情况。 3．进一步渗透转化和分类的思想方法． 4、培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力。 教学重点：会用判别式判定根的情况． 教学难点：正确理解“当 b 2 -4ac＜0 时，方程 ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．” 教学内容 1、解下列方程： ①（x-2）2＝9；②（x-1）2＝0；③x 2＝-3 2、平方根的性质是什么？ 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平 方根。 3、一元二次方程 ax 2 =c(a≠0)变形为 x 2 =c/a 后，你能判断它根的情况吗？ ①当 a、c 为同号两数时，原方程有两个不相等的实数根； ②当 a、c 为异号两数时，原方程没有实数根； ③当 c 为 0 时，原方程有两个相等的实数根。 4、将下列方程化为（x+h）2 =k 的形式，并判断它的实数根的个数：①x 2 +2mx=7 ②2x2 -4mx=-2m2 ③x 2 -4mx=-5m2 -1 5、把一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）写成（x+h） 2 =k 的形式。 由学生完成，变形得（x+b/2a）2 =（b 2 -4ac）/ 4a2 6、引导学生观察方程的右边，因为 a≠0, 所以 4a2＞0。因此只需研究 b 2 -4ac 的值就可 以了，从而由学生得出：（向学生渗透转化和分类的思想方法） （1）当 b 2 -4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根． （2）当 b 2 -4ac=0 时，方程 有两个相等的实数根． （3）当 b 2 -4ac＜0 时，方程没有实数根． 教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 7、引出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的概念: ①定义:把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,通常用符号“△” 表示 ②一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 当△>0时,有两个不相等的实数根; 当△=0时,有两个相等的实数根; 当△0; 当方程有两个相等的实数根时,△=0 当方程没有实数根时,△0, 原方程有两个不相等的实数根 (2)原方程可变形为 l6y2-24y+9=0 △=(-24)2-4×16×9=576-576=0, 原方程有两个相等的实数根 (3)原方程可变形为 5x2-7x+5=0 ∵△=(-7)2-4×5×5=49-100<0, 原方程没有实数根 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 答：b 2 -4ac． 7、引出一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判别式的概念： ①定义：把 b 2 -4ac 叫做一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 的根的判别式，通常用符号“△” 表示． ②一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）． 当△＞0 时，有两个不相等的实数根； 当△＝0 时，有两个相等的实数根； 当△＜0 时，没有实数根． 8、然后，引导学生写出上述命题的逆命题： 一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 （a≠0） 当方程有两个不相等的实数根时，△＞0； 当方程有两个相等的实数根时，△＝0； 当方程没有实数根时，△＜0． 教师说明此命题成立。 9、例题讲解 例 1： 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y； （3）5（x 2＋1）-7x＝0． 解： （1）∵ △＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0， ∴ 原方程有两个不相等的实数根． （2）原方程可变形为 1 6y2 -24y＋9＝0． ∵ △＝（-24）2-4×16×9＝576-5 76＝0， ∴ 原方程有两个相等的实数根． （3）原方程可变形为 5x2 -7x+5=0． ∵ △＝（-7） 2 -4×5×5＝49-100＜0， ∴ 原方程没有实数根．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 学生口答,教师板书,引导学生总结步骤: (1)化方程为一般形式,以便于确定a、b、c的值 (2)计算b2-4ac的值 (3)判别根的情况 强调两 (1)只要能判别△值的符号就行,具体数值不必计算出 (2)判别根的情况时,不必求出方程的根 10、练习.不解方程,判别下列方程根的情况: (1)3x2+4x-2=0;(2)2y2+5=6y (3)4(p1)-3=0:(4)x25=2x 学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨. 11、不解方程,判别下列方程根的情况 (2m2+1)x2-2mx+1=0 解:△=(-2m)2-4(2m2+1)×1 不论m取何值,-4m2-40时,有两个不相等的实数根 当△=0时,有两个相等的实数根 当△<0时,没有实数根.反之亦然 (2)通过根的情况的研究过程,深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法 布置作业教材中A1、2 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 学生口答，教师板书，引导学生总结步骤： （1）化方程为一般形式，以便于确定 a、b、c 的值； （2）计算 b 2 -4ac 的值； （3）判别根的情况． 强调两点： （1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出． （2）判别根的情况时，不必求出方程的根． 10、练习．不解方程，判别下列方程根的情况： （1）3x2 +4x-2=0；（2）2y2 +5=6y； （3）4p（p-1）-3＝0；（4）x 2 +5= 学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨． 11、不解方程，判别下列方程根的情况． （2m2＋1）x 2－2mx＋1=0． 解：△＝（-2m）2 -4（2m2＋1）×1 ＝4m2 -8m2 -4 ＝-4m2 -4． ∵ 不论 m 取何值，-4m2 -4＜0，即△＜0． ∴ 方程无实数解． 由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值． 12、练习：第 27 页 B 组第 1 题 小结：（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况． ①定义：把 b 2 -4ac 叫做一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 的根的判别式．用“△”表 示 ②一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）． 当△＞0 时，有两个不相等的实数根； 当△＝0 时，有两个相等的实数根； 当△＜0 时，没有实数根．反之亦然． （2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法． 布置作业教材 中 A 1、2
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 元二次方程的根的判别式(二) 素质教育目标 (一)知识教学点 1.熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况 2.学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明 (二)能力训练点: 1.培养学生思维的严密性,逻辑性和灵活性 2.培养学生的推理论证能力 (三)德育渗透点:通过例题教学,渗透分类的思想 教学重点、难点、疑点及解决方法 1.教学重点:运用判别式求出符合题意的字母的取值范围 2.教学难点:教科书上的黑体字“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当△>0时, 有两个不相等的实数根;当△=0时,有两个相等的实数根:当△0时,有两个不相等的实数根;当△=0时,有两个相等的实数根;当△<0时,没有 实数根.”这个结论可以看作是一个定理.在这个判别方法中,包含了所有各种情况,所以 反过来也成立,也就是说上述结论的逆命题是成立的可作为定理用.本节课的目标就是利用 其逆定理,求符合题意的字母的取值范围,以及进行有关的证明 (二)整体感知 本节课是上节课的延续和深化,主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用.通过本 节课的内容的学习,更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用.不但不求根就可以 知道根的情况,而且知道根的情况,还可以确定待定的未知数系数的取值,本节课内容对学 生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 一元二次方程的根的判别式（二） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况． 2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明． （二）能力训练点： 1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性． 2．培养学生的推理论证能力． （三）德育渗透点：通过例题教学，渗透分类的思想． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围． 2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0 时， 有两个不相等的实数根；当△=0 时，有两个相等的实数根； 当△＜0 时，没有实数根”可 看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解 是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理． 三、教学步骤 （一）明确目标 上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）， 当△＞0 时，有两个不相等的实数根；当△=0 时，有两个相等的实数根；当△＜0 时，没有 实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以 反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的可作为定理用．本节课的目标就是利用 其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明． （二）整体感知 本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本 节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以 知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学 生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (三)重点、难点的学习及目标完成过程 1.复习提问 (1)一元二次方程的一般形式?说出二次项系数,一次项系数及常数项 (2)一元二次方程的根的判别式是什么?用它怎样判别根的情况? 2.将复习提问中的问题(2)的正确答案板书,反之,即此命题的逆命题也成立,即“ 元二次方程ax2+bx+c=0,如果方程有两个不相等的实数根,则△>0:如果方程有两个相等 的实数根,则△=0:如果方程没有实数根,则△0,即k>-时 方程有两个不相等的实数根 (2)当欲+9=0,即k=-9时, 方程有两个相等的实数根 (3)当8k+9<0,即k<-时, 方程无实数根. 本题应先算出“△”的值,再进行判别.注意书写步骤的简练清楚 练习1.已知关于x的方程x2+(2t+1)x+(t-2)2=0 t取什么值时,(1)方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个相等的实数根?(3) 方程没有实数根? 学生模仿例题步骤板书、笔答、体会. 教师评价,纠正不精练的步骤 假设二项系数不是2,也不是1,而是k,还需考虑什么呢?如何作答? 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com （三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项． （2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？ 2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一 元二次方程 ax 2 +bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等 的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定 △值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题： 例 1 已知关于 x 的方程 2x2 -（4k+1）x+2k2 -1＝0，k 取什么值时 （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （1）方程无实数根． 解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2 -1， ∴ b 2 -4ac＝（-4k-1）2 -4×2×（2k2 -1） ＝8k+9． 方程有两个不相等的实数根． 方程有两个相等的实数根． 方程无实数根． 本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚． 练习 1．已知关于 x 的方程 x 2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0． t 取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3） 方程没有实数根？ 学生模仿例题步骤板书、笔答、体会． 教师评价，纠正不精练的步骤． 假设二项系数不是 2，也不是 1，而是 k，还需考虑什么呢？如何作答？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uysl 练习2.已知:关于x的一元二次方程: kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根,求k的取值范围 和学生一起审题(1)“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0.(2)“方程有两个 实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根,可得到△≥0.由k≠0且△≥ 0确定k的取值范围 解: △=[2(k+L)]2-4k2=8k+4 由题意得 j8k+4>0 k≠0 解得k≥--且k≠0 当k≥-且k≠0时, 原方程有两个实数根 学生板书、笔答,教师点拨、评价 例求证:方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根 分析:将△算出,论证△0. 4(m2+2)2<0,即△<0. ∴(m2+1)x2-2mx+(m2-4)=0,没有实根 本题结论论证的依据是“当△<0,方程无实数根”,在论证△<0时,先将△恒等变 形,得到判断.一般情况都是配方后变形为:a2,a2+2,(a2+2)2,-a2,-(a2+2)2, (a+2)2 从而得到判断 本题是一道代数证明题,和几何类似,一定要做到步步有据,推理严谨. 此种题型的步骤可归纳如下: (1)计算△:(2)用配方法将△恒等变形 (3)判断△的符号:(4)结论 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 练习 2．已知：关于 x 的一元二次方程： kx2 +2（k+1）x+k=0 有两个实数根，求 k 的取值范围． 和学生一起审题（1）“关于 x 的一元二次方程”应考虑到 k≠0．（2）“方程有两个 实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由 k≠0 且△≥ 0 确定 k 的取值范围． 解：∵ △＝[2（k＋1）] 2 -4k2＝8k＋4． 原方程有两个实数根． 学生板书、笔答，教师点拨、评价． 例 求证：方程（m 2＋1）x 2 -2mx＋（m 2＋4）＝0 没有实数根． 分析：将△算出，论证△＜0 即可得证． 证明：△＝（-2m）2 -4（m 2 +1）（m 2 +4） ＝4m2 -4m4 -20m2 -16 ＝-4（m 4＋4m2＋4） ＝-4（m 2＋2）2． ∵ 不论 m 为任何实数，（m 2＋2）2＞0． ∴ -4（m 2＋2） 2＜0，即△＜0． ∴ （m 2＋1）x 2 -2mx＋（m 2 -4）＝0，没有实根． 本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0 时，先将△恒等变 形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a 2，a 2＋2，（a 2＋2）2，-a 2，-（a 2＋2）2，- （a＋2） 2，……从而得到判断． 本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨． 此种题型的步骤可归纳如下： （1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形； （3）判断△的符号；（4）结论．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 练习:证明(x-1)(x2)=k2有两个不相等的实数根 提示:将括号打开,整理成一般形式 学生板书、笔答、评价、教师点拨 (四)总结、扩展 1.本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用,求符合题意的字母的取值范围以及进 行有关的证明.须注意以下几点 (1)要用b2-4ac,要特别注意二次项系数不为零这一条件 (2)认真审题,严格区分条件和结论,譬如是已知△>0,还是要证明△>0. (3)要证明△≥0或△0,… 练习1…… 练习2 (2)当△=0,…… (3)当△<0,… 反之也成立 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 练习：证明（x-1）（x-2）=k2 有两个不相等的实数根． 提示：将括号打开，整理成一般形式． 学生板书、笔答、评价、教师点拨． （四）总结、扩展 1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进 行有关的证明．须注意以下几点： （1）要用 b 2 -4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件． （2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0． （3）要证明△≥0 或△＜0，需将△恒等变形为 a 2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断． 2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力． 四、布置作业 1．教材中 B1，2，3． 2．当方程 x 2 + 2（a+1）x+a2 +4a-5=0 有实数根时，求 a 的正整数解． （2、3 学有余力的学生做．） 五、板书设计 19．3 一元二次方程根的判别式（二） 一、判别式的意义：…… 三、例 1…… 四、例 2…… △=b2 -4ac …… …… 二、方程 ax 2＋bx＋c＝0(a≠0) （1）当△＞0，…… 练习 1…… 练习 2…… （2）当△＝0，…… （3）当△＜0，…… 反之也成立．