3.3.1几何概型
【课标要求】 1.了解几何概型与古典概型的区别; 2.了解几何概型的定义及其特点; 3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率
【课标要求】 1.了解几何概型与古典概型的区别； 2.了解几何概型的定义及其特点； 3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率
自主学习基础认识 几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件的长度(或面 定义积体积成比例测称这样的概率模型为几何概率模型 简称几何概型 特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 概率公式P)= 构成事件A的区域长度(面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积
自主学习 基础认识 几何概型 定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件的长度(或面 积、体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型， 简称几何概型 特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等 概率公式 P(A)＝ 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
「化解疑难 (1)几何概型的概率公式的理解 ①公式中“长度”的理解:公式中的“长度”并不是实际意义 的长度.有些书上也叫测度,测度的意义依试验的全部结果构成的 区域而定,若区域分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的测 度分别是长度、面积和体积 ②等可能性:当试验全部结果所构成的区域长度一定时,A的 概率只与构成事件A的区域长度有关,而与A的位置形式无关
[化解疑难] (1)几何概型的概率公式的理解 ①公式中“长度”的理解：公式中的“长度”并不是实际意义 的长度．有些书上也叫测度，测度的意义依试验的全部结果构成的 区域而定，若区域分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的测 度分别是长度、面积和体积． ②等可能性：当试验全部结果所构成的区域长度一定时，A 的 概率只与构成事件 A 的区域长度有关，而与 A 的位置形式无关．
(2)几何概型与古典概型的区别与联系 名称 古典概型 几何概型 相同点 基本事件发生的可能性相等 ①基本事件有限个②P(4)=0①基本事件无限个②P(A 不同点A为不可能事件③PB)=1=04为不可能事件 B为必然事件 ③P(B)=1+B为必然事件
(2)几何概型与古典概型的区别与联系 名称 古典概型 几何概型 相同点 基本事件发生的可能性相等 不同点 ①基本事件有限个②P(A)＝0 ⇔A 为不可能事件③P(B)＝1 ⇔B 为必然事件 ①基本事件无限个②P(A) ＝0⇐A 为不可能事件 ③P(B)＝1⇐B 为必然事件
自我尝试 判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)从区间[一10,10中任取出一个数,求取到1的概率.(×) (2)从区间[一10,10]中任取出一个数,求取到绝对值不大于1的 数的概率.(√) (3)从区间[一10,10]中任取出一个数,求取到大于1且小于2的 数的概率.(√) (4)向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离 正方形的中心不超过1cm的概率.(√)
|自我尝试| 1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到 1 的概率．( ) (2)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于 1 的 数的概率．( ) (3)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到大于 1 且小于 2 的 数的概率．( ) (4)向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 离 正方形的中心不超过 1 cm 的概率．( ) × √ √ √
2·下列概率模型中,几何概型的个数为() ①从区间[-10,10内任取出一个数,求取到1的概率 ②从区间[-10,10内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的 数的概率; ③从区间[-10,10内任取出一个整数,求取到大于1而小于2 的数的概率; ④向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离 中心不超过1cm的概率 A·1个B.2个 C·3个D.4个
2．下列概率模型中，几何概型的个数为( ) ①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到 1 的概率； ②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于 1 的 数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于 1 而小于 2 的数的概率； ④向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 离 中心不超过 1 cm 的概率． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析:①不是几何概型,虽然区间[-10,101有无限多个点,但 取到“1”只是一个数字,不能构成区域长度 ②2是几何概型,因为区间[-1010]和[一1,1上有无限多个数可 取(满足无限性),且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的 (满足等可能性); ③不是几何概型,因为区间[一10,10]上的整数只有21个(是有 限的),不满足无限性特征; ④是几何概型,因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的 圆内均有无数多个点,且这两个区域内的任何一个点都有相等可能 被投到,故满足无限性和等可能性 答案:B
解析：①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但 取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度； ②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可 取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的 (满足等可能性)； ③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有 21 个(是有 限的)，不满足无限性特征； ④是几何概型，因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为 1 cm 的 圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能 被投到，故满足无限性和等可能性． 答案：B
3·在区间[0,3]上任取一个数,则此数不大于2的概率是() A 解析:此数不大于2的概率P 间[0,2]的长度2 区间[0,3的长度3 答案:C
3．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于 2 的概率是( ) A.1 3 B. 1 2 C.2 3 D. 7 9 解析：此数不大于 2 的概率 P＝ 区间[0，2]的长度 区间[0，3]的长度＝ 2 3 . 答案：C
4·(辽宁卷若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概 率是() A π2元6 B D 4π8 解析:由几何概型的概率公式可知,质点落在以AB为直径的 半圆的面积27兀 半圆内的概率P 长方形的面积2=4故选B 答案:B
4．(辽宁卷)若 将—个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB＝2，BC＝1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概 率是( ) A.π 2 B. π 4 C.π 6 D. π 8 解析：由几何概型的概率公式可知，质点落在以 AB 为直径的 半圆内的概率 P＝ 半圆的面积 长方形的面积＝ 1 2 π 2 ＝ π 4 .故选 B. 答案：B