3.3.1几何概型 课前预习案 【知识梳理】 问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次求两次出现相同面的概率? 问题(2)试验L取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断问剪得两段的长都不小于1m的概率有多 大 试验2射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄 心”奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为122cm运动员在70m外射箭假设射箭都能射中靶面内 任何一点都是等可能的问射中黄心的概率为多少 问题(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么? (4)什么是几何概型?它有什么特点? (1)定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成 则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称为几何概型 问题(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式 (2)计算公式 在几何概型中,事件A的概率的计算公式是: P(A)= 2.均匀分布 当X为区间[a,b]上的任意实数,并且是的,我们称X服从a,b]上的均匀分布,X为a,b]上的均 匀 自主小测 1、一个红绿灯路口,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为45秒.当你到达路 时,恰好看到黄灯亮的概率是() 1 B.3 2、X服从[3,40上的均匀分布,则X的值不能等于() A.15 B.25 D.45 3、在长度为1的线段AB上随机地选取一点P,则得到PA2的概率是 课上导学案 教师点拨: 1、几何概型的两个特点,一是无限性,即在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的;二是等可能性, 即每一个基本事件发生的可能性是均等的 2、几何概型的概率计算公式中的“长度”并不是实际意义上的长度,它的意义取决于试验的全部结果构成的 区域,当区域分别是线段、平面图形和几何体时,相应的“长度”分别是线段的长度、平面图形的面积和几 何体的体积 3、古典概型和几何概型有什么区别和联系? 几何概型的特征:一是无限性,试验中所有出现的结果(基本事件)有无限个,即有无限个不同的基本事件
3.3.1 几何概型 课 前 预 习 案 【知识梳理】 问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？ 问题(2)试验 1.取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多 大？ 试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄 心”.奥运会的比赛靶面直径为 122 cm,靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内 任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？ 问题(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么? (4)什么是几何概型?它有什么特点? (1)定义． 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____`(面积或体积)成______，则称这样的概率模型为几何 概率模型，简称为几何概型． 问题(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式? (2)计算公式． 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式是： P(A)＝____________ . 2．均匀分布 当 Χ 为区间[a，b]上的任意实数，并且是______的，我们称 Χ 服从[a，b]上的均匀分布，Χ 为[a，b]上的均 匀______． 自主小测 1、 一个红绿灯路口，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 45 秒．当你到达路 口时，恰好看到黄灯亮的概率是( ) A． 1 12 B． 3 8 C． 1 16 D． 5 6 2、 Χ 服从[3,40]上的均匀分布，则 Χ 的值不能等于( ) A．15 B．25 C．35 D．45 3、在长度为 1 的线段 AB 上随机地选取一点 P，则得到|PA|≤ 1 2 的概率是__________． 课上导学案 教师点拨： 1、几何概型的两个特点，一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性， 即每一个基本事件发生的可能性是均等的． 2、几何概型的概率计算公式中的“长度”并不是实际意义上的长度，它的意义取决于试验的全部结果构成的 区域，当区域分别是线段、平面图形和几何体时，相应的“长度”分别是线段的长度、平面图形的面积和几 何体的体积． 3、古典概型和几何概型有什么区别和联系? 几何概型的特征：一是无限性，试验中所有出现的结果(基本事件)有无限个，即有无限个不同的基本事件；
二是等可能性,每个结果出现的可能性是均等的.而古典概型的特征:一是有限性,指在一次试验中,可 能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件;二是等可能性,指每个结果出现的可能性(概率) 是均等的 因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是: (1)确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是否均等,如果不均等,那么既不属于古典概型也 不属于几何概型 (2)如果试验中每个结果出现的可能性是均等的,再判断试验结果的有限性.当试验结果有有限个时,这个 概率模型属于古典概型;当试验结果有无限个时,这个概率模型属于几何概型. 【例题讲解】 【例题1】某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,则他等待的时间不多于10分钟 的概率为 反思:如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段(或者区间)长度,这种概率 称为长度型的几何概型,可按下列公式来计算其概率: P(A)=事件A构成的区域长度 【例题2】取一个边长为4a的正方形及其内切圆,如图所示,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入 圆内的概率 反思:如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积,这种概率称为面积型的几何概 型,可按下列公式来计算其概率: PA)=构成事件A的区域面积 【例题3】有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0升水,求这一小杯水中 含有这个细菌的概率 反思:如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积,这种概率称为体积型的几何概型 可按下列公式来计算其概率 构成事件A的区域体积 全部试验结果构成的区域体积 【例题4】向面积为S的矩形ABCD内任投一点P,试求△PBC的面积小于的概率 【例题5】假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30-7.30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工 作的时间在早上7:00-800之间,问你父亲在离开家钱能得到报纸的概率是多少? 【当堂检测】
二是等可能性，每个结果出现的可能性是均等的．而古典概型的特征：一是有限性，指在一次试验中，可 能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是等可能性，指每个结果出现的可能性(概率) 是均等的． 因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是： (1)确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是否均等，如果不均等，那么既不属于古典概型也 不属于几何概型； (2)如果试验中每个结果出现的可能性是均等的，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个 概率模型属于古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型． 【例题讲解】 【例题 1】 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于 10 分钟 的概率为__________． 反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段（或者区间）长度，这种概率 称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率： P(A)＝ 事件A构成的区域长度 全部试验结果构成的区域长度. 【例题 2】 取一个边长为 4a 的正方形及其内切圆，如图所示，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入 圆内的概率 ． 反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率称为面积型的几何概 型，可按下列公式来计算其概率： P(A)＝ 构成事件A的区域面积 全部试验结果构成的区域面积. 【例题 3】 有一杯 2 升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升水，求这一小杯水中 含有这个细菌的概率 ． 反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率称为体积型的几何概型， 可按下列公式来计算其概率： P(A)＝ 构成事件A的区域体积 全部试验结果构成的区域体积. 【例题 4】 向面积为 S 的矩形 ABCD 内任投一点 P，试求△PBC 的面积小于S 4 的概率． 【例题 5】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:30-7:30 之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工 作的时间在早上 7:00-8:00 之间，问你父亲在离开家钱能得到报纸的概率是多少？ 【当堂检测】
1.一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随意地飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器 6个表面中至少有一个面的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,若始终保持与正方体玻璃容 器6个表面的距离均大于10,则飞行是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相 同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是() B.16 C.27 2.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点 的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则所投的点落在E中的概率是 3.一只蚂蚁在三边边长分别为3,45的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超 过1的概率为 4.如图,在直角坐标系内,射线OT落在60°角的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在∠xOT内 的概率 A 【问题与收获】 知识梳理答案:1.(1)长度比例 (2)构成事件A的区域长度或面积或体积 2.等可能随机数 自主小测答案:1、C设看到黄灯亮为事件A,构成事件A的“长度”等于5,试验的全部结果所构成的 区域长度是30+5+45=80,所以P(A)=5=1 2、D由于X∈[3,40],则3≤X≤40,则X≠45 3、2解析:设线段AB的中点为C,如图所示,则点P在线段AC上时满足PA2,设PA2成立 AC 2 I 为事件M,则有P(M)=AB=1=2 例题答案 【例题1】6,解析见教材 【例题2】解:记“豆子落入圆内”为事件A
1．一只小蜜蜂在一个棱长为 30的正方体玻璃容器内随意地飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个面的距离不大于 10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，若始终保持与正方体玻璃容 器 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的．假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相 同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是( ) A． 1 8 B． 1 16 C． 1 27 D． 3 8 2．在平面直角坐标系 xOy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域，E 是到原点 的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投的点落在 E 中的概率是__________． 3.一只蚂蚁在三边边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超 过 1 的概率为__________． 4．如图，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60°角的终边上，任作一条射线 OA，求射线 OA 落在∠xOT 内 的概率． 【问题与收获】 知识梳理答案：1．(1)长度 比例 (2) 构成事件A的区域长度 或面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度 或面积或体积 2．等可能 随机数 自主小测答案：1、 C 设看到黄灯亮为事件 A，构成事件 A 的“长度”等于 5，试验的全部结果所构成的 区域长度是 30＋5＋45＝80，所以 P(A)＝ 5 80＝ 1 16. 2、 D 由于 X∈[3,40]，则 3≤X≤40，则 X≠45. 3、 1 2 解析：设线段 AB 的中点为 C，如图所示，则点 P 在线段 AC 上时满足|PA|≤ 1 2 ，设|PA|≤ 1 2 成立 为事件 M，则有 P(M)＝ AC AB ＝ 1 2 1 ＝ 1 2 . 例题答案： 【例题 1】 6 1 ，解析见教材. 【例题 2】 解：记“豆子落入圆内”为事件 A
则P(A)=圆的面积后一工22=故豆子落入圆内的概率为 【例题3】解:判断这个细菌所在的位置看成一次试验,设小水杯中含有这个细菌为事件A,则事件A构 成的区域体积是0.1升,全部试验结果构成的区域体积是2升,所以PA)= 【例题4】正解:如图所示,设△PBC的边BC上的高为PF,线段PF所在的直线交AD于E,当△PBC 的面积等于时,即BCPF=BCEF,有PF=EF过点P作GH平行于BC交AB于G,交CD于H H 则满足S△PBC=的点P的轨迹是线段GH 所以满足条件“△PBC的面积小于”的点P应落在矩形区域GBCH内,设“△PBC的面积小于”为事件A 则A表示的范围是0 所以由几何概型求概率的公式,得P(A)==2 【例题4】见教材(略) 当堂检测答案:I、C蜜蜂的飞行区域是棱长为30的正方体内部V=303=27000,蜜蜂安全飞行的区域 是棱长为30-10-10=10的正方体内部V=103=100,所以蜜蜂飞行是安全的概率是V=27 x下≤2,j-2≤x≤2, 2、16设点P(xy)是区域D内任意一点,则(y2即(25y≤2,则区域D是直线x=2与y=2 围成的正方形, 如图所示.区域E是以原点为圆心,半径为1的圆面.设点P落在区域E中为事件A, Sg兀×12兀 则PA)=SD=4×4=16 3、解析:如图所示,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5
则 P(A)＝ 圆的面积 正方形的面积＝ π 2a 2 4a 2 ＝ π 4 .故豆子落入圆内的概率为π 4 . 【例题 3】 解：判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设小水杯中含有这个细菌为事件 A，则事件 A构 成的区域体积是 0.1 升，全部试验结果构成的区域体积是 2 升，所以 P(A)＝ 0.1 2 ＝0.05. 【例题 4】 正解：如图所示，设△PBC 的边 BC 上的高为 PF，线段 PF 所在的直线交 AD 于 E，当△PBC 的面积等于S 4 时，即1 2 BC·PF＝ 1 4 BC·EF，有 PF＝ 1 2 EF.过点 P 作 GH 平行于 BC 交AB 于 G，交 CD 于 H. 则满足 S△PBC＝ S 4 的点 P 的轨迹是线段 GH. 所以满足条件“△PBC 的面积小于S 4 ”的点 P 应落在矩形区域 GBCH 内，设“△PBC 的面积小于S 4 ”为事件 A， 则 A 表示的范围是 0， S 2 . 所以由几何概型求概率的公式，得 P(A)＝ S 2 S ＝ 1 2 . 【例题 4】见教材（略） 当堂检测答案：1、C 蜜蜂的飞行区域是棱长为 30 的正方体内部 V＝303＝27 000，蜜蜂安全飞行的区域 是棱长为 30－10－10＝10 的正方体内部 V′＝103＝1 000，所以蜜蜂飞行是安全的概率是 V V ＝ 1 27 . 2、 π 16 设点 P(x，y)是区域 D 内任意一点，则 | | 2, | | 2, x y ≤ ≤ 即 2 2, 2 2, x y − − ≤ ≤ ≤ ≤ 则区域 D 是直线 x＝±2 与 y＝±2 围成的正方形， 如图所示．区域 E 是以原点为圆心，半径为 1 的圆面．设点 P 落在区域 E 中为事件 A， 则 P(A)＝ E D S S ＝ 2 π 1 4 4 ＝ π 16 . 3、 1 2 解析：如图所示，△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5
I D 则△ABC的周长为3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A, 则P( DE+FG+MN3+2+1_1 BC+CA+AB 12 2 4、解:记事件M为射线OA落在∠xOT内”,因为∠xOr=60°,所以P(M)=3600=6 即射线OA落在∠xOT内的概率为6
则△ABC 的周长为 3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 为事件 A， 则 P(A)＝ DE＋FG＋MN BC＋CA＋AB＝ 3＋2＋1 12 ＝ 1 2 . 4、解：记事件 M 为“射线 OA 落在∠xOT 内”，因为∠xOT＝60°，所以 P(M)＝ 60 360 ＝ 1 6 . 即射线 OA 落在∠xOT 内的概率为 1 6