几何概型 一教材分析: 本节课是高中数学人教A版必修三第三章第三节,共有两个课时,本节课为第一课 时,它是古典概型之后学习的另一类等可能概型。为教材新增加的内容,历年高考 说明中要求了解几何概型的意义,可见大纲、考纲对几何概型的教学要求都比较低。几何 概型的研究,是古典概型的拓广,将古典概型试验结果有限个拓广到无限个;这 充分体现了新课改强调的数学与实际生活的紧密关系,是学生思维从有限到无限 的自然延伸。课本介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要.概率 教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,运用数学方法去研究不确 定现象的规律,让学生初步形成用随机的观念去观察、分析、研究客观世界的态 度,并获取认识世界的初步知识和科学方法 二学情分析: 学生前面己经学习了随机事件的概率和古典概型,了解了互斥事,学会了用 古典概型公式解决概率问题,能尝试把一些问题模型化.学生在学习本节课时容易把 几何概型认为是古典概型的一种特殊情况,究其原因是思维不严谨,对几何概型的概念理解 不清,此外学生在分析问题,解决问题的能力,应用数学的意识等方面发展有待 加强 三设计思想 利用建构主义学习理论,引导学生从身边的、生活中的实际问题出发,发现 问题,思考如何解决问题,进而联系所学的旧知识,首先明确问题的实质,然后 总结出新知识的有关概念和规律,形成知识点,把知识点按照逻辑线索和内在联 系,串成知识线,再由若干条知识线形成知识面,最后由知识面按照其内容、性 质、作用、因果等关系组成综合的知识体。同时以学生为主体,强调学生对知识 的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构.让学生在观察分析 自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型公式,运 用实物、多媒体、投影仪辅助,倡导“自主、合作、探究”的学习方式.具体流 程如下 情境引內一医探索总结一匾念形國→箧际应用]→课堂反恩一业布置 四教学目标: 知识与技能:解几何概型的概念以及几何概型与古典概型的区别.会计算简单的 几何概型事件,并解决实际问题 过程与方法:让学生经历概念的建构这一过程,进一步体会从特殊到一般的思想; 通过实际应用,进一步培养学生数形结合的能力和数学建模思想 情感与态度:通过情境引入激发学生学习兴趣趣,培养其积极探索的精神.通过 实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值,加强对世界客观性的认识。 五教学重点与难点 重点:理解几何概型的定义、特点,利用公式计算几何概率
1 几 何 概 型 一.教材分析: 本节课是高中数学人教 A 版必修三第三章第三节，共有两个课时，本节课为第一课 时,它是古典概型之后学习的另一类等可能概型。为教材新增加的内容，历年高考 说明中要求了解几何概型的意义，可见大纲、考纲对几何概型的教学要求都比较低。几何 概型的研究，是古典概型的拓广，将古典概型试验结果有限个拓广到无限个；这 充分体现了新课改强调的数学与实际生活的紧密关系，是学生思维从有限到无限 的自然延伸。课本介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要．概率 教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，运用数学方法去研究不确 定现象的规律，让学生初步形成用随机的观念去观察、分析、研究客观世界的态 度，并获取认识世界的初步知识和科学方法． 二.学情分析: 学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型,了解了互斥事，学会了用 古典概型公式解决概率问题,能尝试把一些问题模型化．学生在学习本节课时容易把 几何概型认为是古典概型的一种特殊情况，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解 不清，此外学生在分析问题，解决问题的能力，应用数学的意识等方面发展有待 加强． 三.设计思想: 利用建构主义学习理论，引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现 问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后 总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联 系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性 质、作用、因果等关系组成综合的知识体。同时以学生为主体，强调学生对知识 的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构．让学生在观察分析、 自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型公式，运 用实物、多媒体、投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式．具体流 程如下: 情境引入 →探索总结 →概念形成 → 实际应用 → 课堂反思 →作业布置 四.教学目标: 知识与技能:解几何概型的概念以及几何概型与古典概型的区别．会计算简单的 几何概型事件，并解决实际问题。 过程与方法:让学生经历概念的建构这一过程，进一步体会从特殊到一般的思想； 通过实际应用，进一步培养学生数形结合的能力和数学建模思想。 情感与态度:通过情境引入激发学生学习兴趣趣，培养其积极探索的精神．通过 实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值,加强对世界客观性的认识。 五.教学重点与难点: 重点：理解几何概型的定义、特点，利用公式计算几何概率．
难点:从实际问题的背景中分辨几何度量 六教学过程设计 (一)情景引入 问题1我们前面都学过哪些求概率的方法? 问题2下面事件的概率能否用古典概型的方法求解? [情景一] 下面是运动会射箭比赛的靶面,靶面半径为 10cm,黑心半径为lcm现一人随机射箭,假设每 箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问射中黄心的概率是多少? 探索:1.是古典概型吗? 2.如何求得概率? 4对应区域的面积 P(A)= 试验全部结果构成区域的面积100 200mm [情景二] 500m1水样中有一只草履虫,从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察,问 发现草履虫的概率? 探索:1.是古典概型吗? 2.如何求得概率? A对应区域的体积 P(A) 试验全部结果构成区域的体积500250 情景三 某人在7:00-8:00任一时刻随机到达单位 问此人在7:00-7:10到达单位的概率? 探索:1.是古典概型吗? 2.如何求得概率? A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度6 问题3同学们观察对比,找出三个情景的共同点与不同点? 问题4同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型? 【设计意图】情境一、情境二、三的设计从面积、体积和长度方面考虑问题 是为了让学生全面了解几何概型的概念,三个情景让学生发现试验的结果有无限 个,因此不是古典概型,无法用古典概型的方法求解,然后探索此问题怎样解决, 然后总结出几何概型的概念。并且渗透数形结合的数学思想方法 (二)概念形成 几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体 积)成比例则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型 问题6古典概型与几何概型的区别和联系是什么? 古典概型几何概型」
2 难点：从实际问题的背景中分辨几何度量． 六.教学过程设计: （一）情景引入 问题 1 我们前面都学过哪些求概率的方法？ 问题 2 下面事件的概率能否用古典概型的方法求解？ [情景一] 下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为 10cm,黑心半径为 1cm.现一人随机射箭 ，假设每 箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问射中黄心的概率是多少? 探索：1.是古典概型吗？ 2.如何求得概率？ [情景二] 500ml 水样中有一只草履虫，从中随机取出 2ml 水样放在显微镜下观察，问 发现草履虫的概率？ 探索：1.是古典概型吗？ 2.如何求得概率？ [情景三] 某人在 7：00-8：00 任一时刻随机到达单位． 问此人在 7：00-7：10 到达单位的概率？ 探索：1.是古典概型吗？ 2.如何求得概率？ 问题 3 同学们观察对比，找出三个情景的共同点与不同点？ 问题 4 同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型？ 【设计意图】情境一、情境二、三的设计从面积、体积和长度方面考虑问题, 是为了让学生全面了解几何概型的概念，三个情景让学生发现试验的结果有无限 个,因此不是古典概型, 无法用古典概型的方法求解，然后探索此问题怎样解决， 然后总结出几何概型的概念。并且渗透数形结合的数学思想方法． (二) 概念形成 几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体 积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型． 问题 6 古典概型与几何概型的区别和联系是什么？ 古典概型 几何概型 6 1 ( ) = = 试验全部结果构成区域的长度 A对应区域的长度 P A 100 1 ( ) = = 试验全部结果构成区域的面积 A对应区域的面积 P A 250 1 500 2 ( ) = = = 试验全部结果构成区域的体积 A对应区域的体积 P A
所有的试验结果 有限个(m个)无限个 每个试验结果的发生等可能等可能 每个实验结果发生的概率 1/n 概率的计 引导学生通过对前面三个情境的总结,得到在几何概型中,事件A发生的概 率的计算公式为 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A) 全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 【设计意图】通过用表格列出相同和不同点,直观体现了数学中类比的思想 又能让学生更好的了解几何概型,从而突出教学重点 (三)实际应用 例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间 不多于10分钟的概率 此例首先让学生独立思考,然后教师再画龙点睛的分析并求解 解完此例题后归纳求解几何概型问题的步骤: 1判断该概率模型是不是几何概型 2如果是,把实际问题中的度量关系转化成长度、面积、体积等形式 3根据几何概型计算公式求出概率. 例2一海豚在水中自由游弋,水池为长30m,宽20m的长方形,求此刻海豚嘴 尖离岸边超过2m的概率 变式:一海豚在水中自由游弋,水池为长30m,宽20m,深40米的长方体,求 此刻海豚嘴尖离岸边离水面、水底都不超过2m的概率 此例可让学生将答案做在作业纸上,挑选几个有代表性的解答用实物投影展出, 请一些同学进行点评,教师进行总结 例3:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到你 家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间,问你父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件A)的概率是多少? 跟踪训练甲、乙两人约定6时到7时之间在某处会面,并约定先到者等候另一人一刻钟, 过时即可离去,求两人会面的概率 【设计意图】让学生体会解决与面积相关的几何概型问题的关键:根据题意确认市级问题 涉及几个变量,是与长度、面积或者体积有关的几何概型问题;找出或构造出随机事件对应 的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积:套用公式,从而求得随机事件的概率 课堂训练 1.某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过,乘客到达汽车站的任一时刻都 是等可能的,求乘客等车不超过3分钟的概率 2.如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率
3 所有的试验结果 有限个(n 个) 无限个 每个试验结果的发生 等可能 等可能 每个实验结果发生的概率 1/n ？ 概率的计算 P(A)=m/n ？ 引导学生通过对前面三个情境的总结，得到在几何概型中，事件 A 发生的概 率的计算公式为： A P A( ) = 构成事件 的区域长度(面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 【设计意图】通过用表格列出相同和不同点，直观体现了数学中类比的思想 又能让学生更好的了解几何概型，从而突出教学重点． (三)实际应用 例 1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间 不多于 10 分钟的概率． 此例首先让学生独立思考，然后教师再画龙点睛的分析并求解． 解完此例题后归纳求解几何概型问题的步骤： 1 判断该概率模型是不是几何概型． 2 如果是，把实际问题中的度量关系转化成长度、面积、体积等形式． 3 根据几何概型计算公式求出概率． 例 2 一海豚在水中自由游弋，水池为长 30m，宽 20m 的长方形，求此刻海豚嘴 尖离岸边超过 2m 的概率． 变式：一海豚在水中自由游弋，水池为长 30m，宽 20m，深 40 米的长方体，求 此刻海豚嘴尖离岸边离水面、水底都不超过 2m 的概率． 此例可让学生将答案做在作业纸上,挑选几个有代表性的解答用实物投影展出, 请一些同学进行点评,教师进行总结． 例 3:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30 之间把报纸送到你 家,你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00—8:00 之间,问你父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件 A)的概率是多少? 跟踪训练 甲、乙两人约定 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者等候另一人一刻钟， 过时即可离去，求两人会面的概率。 【设计意图】让学生体会解决与面积相关的几何概型问题的关键：根据题意确认市级问题 涉及几个变量，是与长度、面积或者体积有关的几何概型问题；找出或构造出随机事件对应 的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；套用公式，从而求得随机事件的概率。 课堂训练: 1.某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都 是等可能的,求乘客等车不超过 3 分钟的概率. 2．如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率
3.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10m,含有 麦锈病种子的概率是多少? 【设计意图】实际应用部分有问题,有例题,也有学生的训练, 实际应用是为了让学生认识到数学源于生活,又应用于生活,生活中处处有数学 让学生对几何概型的题目有了更深刻的理解,认识到几何概型主要是要把概率问 题与几何问题完美的结合,几何度量中到底是长度、面积还是体积呢?我们要认 真加以判断,要学会用数形结合的思想解决概率问题 四)课堂小结 教师引导学生小结本节课我们学了什么?学会了什么?还有哪些问题没有解 决? 该环节让学生归纳讨论,教师将结果梳理写于黑板上 1.几何概型的特点:无限性、等可能性 2.几何概型的计算公式 3.度:线段的度是长度 平面图形的度是面积 立体图形的度是体积 【设计意图】学生自己梳理本节所学知识,以便于对知识有一个系统的理解与认 识同时让学生学会反思是一个非常良好的学习习惯的养成也是学生将来处理 工作生活问题的一个很好的习惯 团五作业布置 必做题:课时作业A组 选做题:课时作业B组 探究题 1.平面上画了彼此相距为2a的平行线,把一枚半径为r(0<r<a)的硬币 任意掷在平面上,求硬币不与任意条平行线相碰的概率 2.在等腰Rt△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM的长小于AC 的长的概率 【设计意图】对课后书面作业实施分层设置,使学生在完成必修教材基本 学习任务的同时,拓展自主发展的空间,使不同的人在数学上得到不同的发展 充分体现了课改精神 七.教学反思 教师要改变教学观念,以生为本,以学定教在师生双边活动中,教师不是作为一个权威 来告诉学生结果是什么,而是尊重学生的主体地位,使学生学会学习,获得知识,掌握方法 不仅要为当前的学习,而且要为今后的终身学习和终身发展奠定良好的基础,这正是新课程 标准的基本理念,也是当前素质教育的要求
4 3．在 1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10mL,含有 麦锈病种子的概率是多少? 【设计意图】实际应用部分有问题,有例题,也有学生的训练, 实际应用是为了让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学; 让学生对几何概型的题目有了更深刻的理解,认识到几何概型主要是要把概率问 题与几何问题完美的结合，几何度量中到底是长度、面积还是体积呢？我们要认 真加以判断,要学会用数形结合的思想解决概率问题． (四)课堂小结 教师引导学生小结:本节课我们学了什么?学会了什么?还有哪些问题没有解 决? 该环节让学生归纳讨论,教师将结果梳理写于黑板上． 1．几何概型的特点：无限性、等可能性． 2．几何概型的计算公式 3．度： 线段的度是长度； 平面图形的度是面积； 立体图形的度是体积． 【设计意图】学生自己梳理本节所学知识，以便于对知识有一个系统的理解与认 识;同时让学生学会反思,是一个非常良好的学习习惯的养成,也是学生将来处理 工作生活问题的一个很好的习惯． (五)作业布置 必做题:课时作业 A 组 选做题:课时作业 B 组 探究题: 1． 平面上画了彼此相距为 2 a 的平行线，把一枚半径为 r r a (0 ) 的硬币 任意掷在平面上，求硬币不与任意条平行线相碰的概率． 2．在等腰 Rt△ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM 的长小于 AC 的长的概率. 【设计意图】对课后书面作业实施分层设置，使学生在完成必修教材基本 学习任务的同时，拓展自主发展的空间，使不同的人在数学上得到不同的发展, 充分体现了课改精神． 七．教学反思: 教师要改变教学观念，以生为本，以学定教.在师生双边活动中，教师不是作为一个权威 来告诉学生结果是什么，而是尊重学生的主体地位，使学生学会学习，获得知识，掌握方法. 不仅要为当前的学习，而且要为今后的终身学习和终身发展奠定良好的基础，这正是新课程 标准的基本理念，也是当前素质教育的要求