【成才之路】2015-2016学年高中数学3.3.1几何概型练习新人教A版 必修3 基础巩固 选择题 1.如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1),如果撒一粒黄豆落在阴影部分, 则可中奖.小明希望中奖,则应选择的游戏盘是() [答案]A [解析]P(A)= P(B P(O= P(D=I 则P(A最大,故选A 2.如图,在正方形围栏内均匀撒米粒,一只小鸡在其中随意啄食,此刻小鸡正在正方形的内切 圆中的概率是 413 [答案]B [解析]设事件A={小鸡正在正方形的内切圆中},则事件A的几何区域为内切圆的面积S= F(2R为正方形的边长),全体基本事件的几何区域为正方形的面积,由几何概型的概率公式可得 2R24 即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为 3.在正方体 ABCI-ABCE内随机取点则该点落在三棱锥A-ABC内的概率是(
1 【成才之路】2015-2016 学年高中数学 3.3.1 几何概型练习 新人教 A 版 必修 3 基础巩固 一、选择题 1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位 1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分， 则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是( ) [答案] A [解析] P(A)＝ 3 8 ， P(B)＝ 2 6 ＝ 1 3 ， P(C)＝ 1－ π 4 1 ＝1－ π 4 ， P(D)＝ 1 π . 则 P(A)最大，故选 A. 2.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切 圆中的概率是( ) A. 1 4 B. π 4 C. 1 3 D. π 3 [答案] B [解析] 设事件 A＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件 A 的几何区域为内切圆的面积 S＝ πR 2 (2R 为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得 P(A)＝ πR 2 2R 2＝ π 4 ，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为π 4 . 3．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 内随机取点则该点落在三棱锥 A1－ABC 内的概率是( ) A. 1 3 B. 1 6
[答案]B [解析]体积型几何概型问题. VAL-ABC 1 VABCD-ABGE 6 4如图,在一个边长为a,0>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底边分别为与高 为b.向该矩形内随机地投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为() 5 [答案]C [解析]S矩形=ab 故所投的点落在梯形内部的概率为 5.(2015·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数,则这两个数的平方和也在[0,1]内的概 率是() 4π0 D 0π0 答案]A [解析]设在[0,1]内取出的数为a,b,若a+b也在[0,1]内,则有0≤a2+b≤1. 如右图,试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形,满足ay 在[0,1]内的点在单位圆内(如阴影部分所示),故所求概率为1=4 6.在面积S为△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是( [答案]C 2
2 C. 1 2 D. 1 4 [答案] B [解析] 体积型几何概型问题． P＝ VA1－ABC VABCD－A1B1C1D1 ＝ 1 6 . 4.如图，在一个边长为 a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a 3 与 a 2 ，高 为 b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( ) A. 1 12 B. 1 4 C. 5 12 D. 7 12 [答案] C [解析] S 矩形＝ab. S 梯形＝ 1 2 1 3 a＋ 1 2 a b＝ 5 12ab. 故所投的点落在梯形内部的概率为 P＝ S梯形 S矩形 ＝ 5 12ab ab ＝ 5 12. 5．(2015·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概 率是( ) A. π 4 B. π 10 C. π 20 D. π 40 [答案] A [解析] 设在[0,1]内取出的数为 a，b，若 a 2＋b 2 也在[0,1]内，则有 0≤a 2＋b 2≤1. 如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为 1 的正方形，满足 a 2 ＋ b 2 在[0,1]内的点在1 4 单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为 1 4 π 1 ＝ π 4 . 6．在面积 S 为△ABC 的边 AB 上任取一点 P，则△PBC 的面积大于S 4 的概率是( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 2 3 [答案] C
解析]如图,设点C到边AB的距离为b,则Sm=2A1·b,Sm PB·h又因为Sm>)S△mc,所以|PBx|AB,故△PBC的面积大于的概A 率是 、填空题 7.(2013·福建)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率 为 [分析」解不等式,求出a的取值范围,算出此范围与所给区间的比值即可 [答案] [解析]由题意,得0<a≤,所以根据几何概型的概率计算公式,得事件“3a-1<0”发生 的概率为三 8.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行,若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与 正方体的6个表面的距离均大于1,则称其为“安全飞行”.那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为 [答案] [解析]棱长为3的正方体的体积为3×3×3=27,若小蜜蜂“安全飞行”,则需控制在以原 正方体的中心为中心的棱长为1的小正方体内部,故小蜜蜂飞行区域的体积为1×1×1=1.根据几 何概型的概率公式,可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为 解答题 9.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒(没 有两灯同时亮),当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少? (1)红灯;(2)黄灯:(3)不是红灯 [解析]在75秒内,每一时刻到达路口是等可能的,属于几何概型 )=亮红灯的时间=30=2 (2)=亮黄灯的时间二5=1 (3)/≈不是红灯亮的时间_黄灯或绿灯亮的时间453 全部时间 全部时间 10.一海豚在水池中自由游弋,水池为长30m、宽20m的长方形,求海豚嘴尖离岸边不超过 m的概率
3 [解析] 如图，设点 C 到边 AB 的距离为 h，则 S△ABC＝ 1 2 |AB|·h，S△PBC ＝ 1 2 |PB|·h.又因为 S△PBC> 1 4 S△ABC，所以|PB|>1 4 |AB|，故△PBC 的面积大于S 4 的概 率是3 4 . 二、填空题 7．(2013·福建)利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机数 a，则事件“3a－1＜0”发生的概率 为________． [分析] 解不等式，求出 a 的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可． [答案] 1 3 [解析] 由题意，得 0＜a＜ 1 3 ，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a－1＜0”发生 的概率为1 3 . 8．一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与 正方体的 6 个表面的距离均大于 1，则称其为“安全飞行”．那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为 ________． [答案] 1 27 [解析] 棱长为 3 的正方体的体积为 3×3×3＝27，若小蜜蜂“安全飞行”，则需控制在以原 正方体的中心为中心的棱长为 1 的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为 1×1×1＝1.根据几 何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为 1 27. 三、解答题 9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 40 秒(没 有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯． [解析] 在 75 秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P＝ 亮红灯的时间 全部时间 ＝ 30 30＋40＋5 ＝ 2 5 ； (2)P＝ 亮黄灯的时间 全部时间 ＝ 5 75＝ 1 15； (3)P＝ 不是红灯亮的时间 全部时间 ＝ 黄灯或绿灯亮的时间 全部时间 ＝ 45 75＝ 3 5 . 10．一海豚在水池中自由游弋，水池为长 30 m、宽 20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率．
[分析]海豚在水中自由游弋,它的嘴尖在水池中的位置有无限多个,并且每个位置都是等可 能的,满足几何概型的条件,本题可先求出所求事件对应部分面积及整个区域面积,再利用几何概 型概率公式求解 [解析]如下图,该区域是长30m、宽20m的长方形.图中阴影部分表示事件A:“海豚嘴 尖离岸边不超过2m”,问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率,由于该区域的 面积为30×20=600(m),阴影部分的面积为30×20-26×16=184(m),所以P(A=60075 0.31 [点评]解决此类题的关键 (1)根据题意确定是与面积(体积)有关的几何概型: (2)找出或构造出对应的几何图形,求出面积(体积) 能力提升 选择题 1.(2015·东曲阜师大附中月考)在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,则该点到此三角 形的直角顶点的距离小于1的概率为( A c 丌 [答案]B [解析]该点到此三角形的直角顶点的距离小于1,则此点落在以直角顶点为圆心,1为半径 丌 的圆内,所以所求的概率为 2.(2015·虹宁大连质检)一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行,则其恰在 离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为() B.1 D.1 [答案]B [解析]作出满足题意的区域如右图,则由几何概型的知识得,所求概
4 [分析] 海豚在水中自由游弋，它的嘴尖在水池中的位置有无限多个，并且每个位置都是等可 能的，满足几何概型的条件，本题可先求出所求事件对应部分面积及整个区域面积，再利用几何概 型概率公式求解． [解析] 如下图，该区域是长 30 m、宽 20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件 A：“海豚嘴 尖离岸边不超过 2 m\”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，由于该区域的 面积为 30×20＝600(m2 )，阴影部分的面积为 30×20－26×16＝184(m2 )，所以 P(A)＝ 184 600＝ 23 75 ≈0.31. [点评] 解决此类题的关键： (1)根据题意确定是与面积(体积)有关的几何概型； (2)找出或构造出对应的几何图形，求出面积(体积)． 能力提升 一、选择题 1．(2015·东曲阜师大附中月考)在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角 形的直角顶点的距离小于 1 的概率为( ) A. π 16 B. π 8 C. π 4 D. π 2 [答案] B [解析] 该点到此三角形的直角顶点的距离小于 1，则此点落在以直角顶点为圆心，1 为半径 的 1 4 圆内，所以所求的概率为π 8 . 2．(2015·虹宁大连质检)一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5 的三角形区域内随机爬行，则其恰在 离三个顶点距离都不小于 1 的地方的概率为( ) A. π 2 B．1－ π 12 C．1－ π 6 D．1－ π 3 [答案] B [解析] 作出满足题意的区域如右图，则由几何概型的知识得，所求概 率 P
×3×4--x×12 2×3×4 3.某人从甲地去乙地共走了500m,途中要过一条宽为xm的河流,他不小心把一件物品丢 在途中,若物品掉在河里就找不到,物品不掉在河里就能找到,已知该物品能被找到的概率为, 则河宽为() A.16m m D.10 [答案]B [解析]物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的,所以符合几何概型的条件.找到的概率 为24,即掉到河里的概率为,则河流的宽度占总距离的,所以河宽为500×1=20(m) 014湖北,理7)由不等式组{≥0 确定的平面区域记为91,不等式组 x+≤1, 确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为() a [答案]D y-x-2=0 [解析]如图,由题意知平面区域Ω1的面积S91=S△m=2 2×2=2. 2,与2:的公共区域为阴影部分,面积Sn=SQ,-S=2-=2 7 1 由几何概型得该点恰好落在Q2内的概率Sm12-8故选D 填空题 5.一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三 个顶点的距离均超过1的概率为
5 ＝ 1 2 ×3×4－ 1 2 π×12 1 2 ×3×4 ＝1－ π 12. 3．某人从甲地去乙地共走了 500 m，途中要过一条宽为 x m 的河流，他不小心把一件物品丢 在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为24 25， 则河宽为( ) A．16 m B．20 m C．8 m D．10 m [答案] B [解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率 为 24 25，即掉到河里的概率为 1 25，则河流的宽度占总距离的 1 25，所以河宽为 500× 1 25＝20(m)． 4．(2014·湖北，理 7)由不等式组 x≤0， y≥0， y－x－2≤0 确定的平面区域记为 Ω1，不等式组 x＋y≤1， x＋y≥－2 确定的平面区域记为 Ω2，在 Ω1 中随机取一点，则该点恰好在 Ω2 内的概率为( ) A. 1 8 B. 1 4 C. 3 4 D. 7 8 [答案] D [解析] 如图，由题意知平面区域 Ω1 的面积 SΩ1＝S△AOM＝ 1 2 ×2×2＝2. Ω1 与 Ω2 的公共区域为阴影部分，面积 S 阴＝SΩ1－S△ABC＝2－ 1 2 ×1× 1 2 ＝ 7 4 . 由几何概型得该点恰好落在 Ω2 内的概率 P＝ S阴 SΩ1 ＝ 7 4 2 ＝ 7 8 .故选 D. 二、填空题 5．一只蚂蚁在三边边长分别为 3、4、5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三 个顶点的距离均超过 1 的概率为________．
[答案] [解析]如图所示,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5, 则△ABC的周长为3+4+5=12设某时刻该妈蚁距离三角形的三,8 个顶点 DE+FG+M3+2+11 的距离均超过1为事件A,则P(A BC+CA-+AB 12 2 6.在一个球内挖去一个几何体,其三视图如图 R=5::6 正视图 侧视图 俯视图 在球内任取一点P,则点P落在剩余几何体上的概率为 答案]53 [解析]由三视图可知,该几何体是球与圆柱的组合体,球半径R=5,圆柱底面半径r=4, 高h=6,故球体积|=P=500m 3’圆柱体积H=x2·h=96, ∴所求概率P 解答题 7.(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点,过该点作垂直于直径的弦,其长度超过该圆内 接正三角形的边长√3的概率是多少? (2)在半径为1的圆内任取一点,以该点为中点作弦,问其长超过该圆内接正三角形的边长3 的概率是多少? (3)在半径为1的圆周上任取两点,连成一条弦,其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是 多少? 解析]()设事件A=“弦长超过√3”,弦长只与它跟圆心的距离有关 ∵弦垂直于直径,∴当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件,由几何概率公式知P(A
6 [答案] 1 2 [解析] 如图所示，△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5， 则△ABC 的周长为 3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三 个顶点 的距离均超过 1 为事件 A，则 P(A)＝ DE＋FG＋MN BC＋CA＋AB ＝ 3＋2＋1 12 ＝ 1 2 . 6．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图． 在球内任取一点 P，则点 P 落在剩余几何体上的概率为________． [答案] 53 125 [解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径 R＝5，圆柱底面半径 r＝4， 高 h＝6，故球体积 V＝ 4 3 πR 3＝ 500π 3 ，圆柱体积 V1＝πr 2·h＝96π， ∴所求概率 P＝ 500π 3 －96π 500π 3 ＝ 53 125. 三、解答题 7．(1)在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内 接正三角形的边长 3的概率是多少？ (2)在半径为 1 的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长 3 的概率是多少？ (3)在半径为 1 的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长 3的概率是 多少？ [解析] (1)设事件 A＝“弦长超过 3”，弦长只与它跟圆心的距离有关， ∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于1 2 时才能满足条件，由几何概率公式知 P(A) ＝ 1 2
(2)设事件B=“弦长超过Ⅴ3”,弦被其中点唯一确定,当且仅当 其中 点在半径为的同心圆内时,才能满足条件,由几何概率公式知一 (3)设事件C=“弦长超过√”,固定一点A于圆周上,以此点为 作内接正三角形ABC,显然只有当弦的另一端点D落在BC上时,才有 ADN>|AB=√3,由几何概率公式知PO 8.(2015·江西南昌摸底)两人约定在20时到21时之间相见,并且先到者必须等迟到者40分 钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的 求两人在约定时间内相见的概率 探究]两人不论谁先到都要等迟到者40分钟,即小时,设两人分别于(20+x)时和(20+y 时到达约见地点,要使两人在约定的时间范围内相见,则有≤x-y≤,因此转化成与面积有关 的几何概型问题,利用几何概型概率公式求解 [解析]设两人分别于(20+x)时和(20+y)时到达约定地点,要使两人能在约定时间范围内相 见,则有一x≤2(x,y的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示,满足两 人在约定的时间范围内相见的(x,y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示 x-y=-3 因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小,也就是 所求的概率,即P= 位正方形
7 (2)设事件 B＝“弦长超过 3”，弦被其中点唯一确定，当且仅当 其 中 点在半径为1 2 的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知 P(B)＝ 1 4 . (3)设事件 C＝“弦长超过 3”，固定一点 A 于圆周上，以此点为 顶 点 作内接正三角形 ABC，显然只有当弦的另一端点 D 落在BC︵ 上时，才有 |AD|>|AB|＝ 3，由几何概率公式知 P(C)＝ 1 3 . 8．(2015·江西南昌摸底)两人约定在 20 时到 21 时之间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分 钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在 20 时到 21 时之间各时刻相见的可能性是相等的， 求两人在约定时间内相见的概率． [探究] 两人不论谁先到都要等迟到者 40 分钟，即2 3 小时，设两人分别于(20＋x)时和(20＋y) 时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，则有－2 3 ≤x－y≤ 2 3 ，因此转化成与面积有关 的几何概型问题，利用几何概型概率公式求解． [解析] 设两人分别于(20＋x)时和(20＋y)时到达约定地点，要使两人能在约定时间范围内相 见，则有－2 3 ≤x－y≤ 2 3 .(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两 人在约定的时间范围内相见的(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示． 因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是 所求的概率，即 P＝ S阴影 S单位正方形 ＝ 1－ 1 3 2 1 2 ＝ 8 9