最新人教版数学精品教学资料 第三章 3.3几何概型 3.3.1几何概型 3.3.2均匀随机数的产生 高效演练知能提升 A级基础巩固 选择题 1.下列关于几何概型的说法中,错误的是() A.几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性 B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析:几何概型和古典概型是两种不同的概率模型 答案:A 2.有下列四个游戏盘,将它们水平放稳后,向上面扔一颗小玻璃球,若小球落在阴影 部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是 的A 解析:A中奖概率为,B中奖概率为,C中奖概率为,D中奖概率为 答案:A 3.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观 察,则发现大肠杆菌的概率为 A.0.008 B.0.004 C.0.002 D.0.005 答案:D 4.在2016年春节期间,3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班 在车站停1分钟,则乘客到达站台立即乘上车的概率是()
最新人教版数学精品教学资料 第三章 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生 A 级 基础巩固 一、选择题 1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( ) A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型． 答案：A 2．有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影 部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 解析：A 中奖概率为3 8 ，B 中奖概率为1 4 ，C 中奖概率为1 3 ，D 中奖概率为1 3 . 答案：A 3．在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观 察，则发现大肠杆菌的概率为( ) A．0.008 B．0.004 C．0.002 D．0.005 答案：D 4．在 2016 年春节期间，3 路公交车由原来的每 15 分钟一班改为现在的每 10 分钟一班， 在车站停 1 分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A. 1 10 B. 1 9 C. 1 11 D. 9 10
解析:记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A,则A所占时间区域长度为1分钟,而 整个区域的时间长度为10分钟,故由几何概型的概率公式,得P(A)≈1 答案:A 5.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,则该点到此三角形的直角顶点的距离小 于1的概率为() 4 D. 解析:该点到此三角形的直角顶点的距离小于1,则此点落在以直角顶点为圆心、1为 半径的圆内.所以所求的概率为 ×2×2 答案:B 二、填空题 6.在正方体 ABCD-AIBICID1内随机抽取一点,则该点在三棱锥AABC内的概率是 解析:P VABCD-ABICID 6 答案: 7.某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该 台节目时,看不到广告的概率 那么该台每小时约有 分钟的广告 解析:60×(1-10=6(分钟) 答案:6 8.有一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段的长度都不小 于1m的概率是 解析:从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任 如上图,记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处 在中间一段上时,事件A发生·由于中间一段的长度等于绳长的,于是事件A发生的概率 P(A)
解析：记“乘客到达站台立即乘上车”为事件 A，则 A 所占时间区域长度为 1 分钟，而 整个区域的时间长度为 10 分钟，故由几何概型的概率公式，得 P(A)＝ 1 10. 答案：A 5．在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小 于 1 的概率为( ) A. π 16 B. π 8 C. π 4 D. π 2 解析：该点到此三角形的直角顶点的距离小于 1，则此点落在以直角顶点为圆心、1 为 半径的1 4 圆内．所以所求的概率为 1 4 π 1 2 ×2×2 ＝ π 8 . 答案：B 二、填空题 6．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机抽取一点，则该点在三棱锥 A1-ABC 内的概率是 ________． 解析：P＝ VA1-ABC VABCD-A1B1C1D1 ＝ 1 6 . 答案：1 6 7．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该 台节目时，看不到广告的概率为 9 10，那么该台每小时约有________分钟的广告． 解析：60× 1－ 9 10 ＝6(分钟)． 答案：6 8．有一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小 于 1 m 的概率是________． 解析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任 意一点． 如上图，记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A.把绳子三等分，于是当剪断位置处 在中间一段上时，事件 A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的1 3 ，于是事件 A 发生的概率 P(A)＝ 1 3
答案 三、解答题 9.一海豚在水池中自由游弋,水池为长30m、宽20m的长方形,求此刻海豚嘴尖离 岸边不超过2m的概率 解:如下图所示,四边形ABCD是长30m、宽20m的长方形.图中的阴影部分表示事 件A“海豚嘴尖离岸边不超过2m”. 问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率 因为S长方形ABD=30×20=600(m2) S长方形Bcp=(30-4)×(20-4)=416(m2), 所以S明影部分=S长方形ABC-S长方形ABCD=600-416=184(m2) 根据几何概型的概率公式,得P(A) 0.31. 10.一个路口的红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒, 当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少? (1)红灯亮 (2)黄灯亮 (3)不是红灯亮 解:在75秒内,每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的,属于几何概型. ()1=红灯亮的时间=30=2 (2)P=黄灯亮的时间二5=1 全部时间7515 ()P不是红灯亮的时间_黄灯亮或绿灯亮的时间453 全部时间全部时间 23 P(红灯亮)=1 B级能力提升 1.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0,1随机抽取2n个数x,x2,…,x,y1,y2,…,yn, 构成n个数对(x1,y),(x2,y2),…,(xa,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个, 则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()
答案：1 3 三、解答题 9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长 30 m、宽 20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离 岸边不超过 2 m 的概率． 解：如下图所示，四边形 ABCD 是长 30 m、宽 20 m 的长方形．图中的阴影部分表示事 件 A“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”． 问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率． 因为 S 长方形 ABCD＝30×20＝600(m 2 )， S 长方形 A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m 2 )， 所以 S 阴影部分＝S 长方形 ABCD－S 长方形 A′B′C′D′＝600－416＝184(m 2 )， 根据几何概型的概率公式，得 P(A)＝ 184 600＝ 23 75≈0.31. 10．一个路口的红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 40 秒， 当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮． 解：在 75 秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P＝ 红灯亮的时间 全部时间 ＝ 30 30＋40＋5 ＝ 2 5 . (2)P＝ 黄灯亮的时间 全部时间 ＝ 5 75＝ 1 15. (3)P＝ 不是红灯亮的时间 全部时间 ＝ 黄灯亮或绿灯亮的时间 全部时间 ＝ 45 75＝ 3 5 ， 或 P＝1－P(红灯亮)＝1－ 2 5 ＝ 3 5 . B 级 能力提升 1．(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn， 构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个， 则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
答案:C 2.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到 圆心的距离大于,则周末去看电影:若此点到圆心的距离小工1则去打篮球:否则,在家 看书.则小波周末不在家看书的概率为 解析:记“小波周末去看电影”为事件A, 则P()=1--=4,记“小波周末去打篮球”为事件B,则P(B) 点到圆心的距离大于与点到圆心的距离小于不可能同时发生,所以事件A与事件B互斥, 则小波周末不在家看书为事件A+BP(A+B)=P(A)+P(B)=+=13 答案: 3.如图所示,已知AB是半圆0的直径,AB=8,M,N,P是将半圆圆周四等分的三个分 (1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,求这3个点组成直角三角形的概率; (2)在半圆内任取一点S,求△SAB的面积大于8V2的概率 解:(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,一共可以组成10个三角形:△ABM, △ABN,△ABP,△AMN,△AMP,△ANP,△BN,△BMP,△BNP,△MNP,其中是直角三角形 的只有△ABM,△ABN,△ABP3个,所以组成直角三角形的概率为10 (2)如下图所示,连接MP,取线段MP的中点D,则0D⊥P易求得0=2E 当点S在线段MP上时,S△ms=×2V2×8=8V2 所以只有当点S落在阴影部分时,△SAB的面积才能大于8√E, 扇形MoP一S△oP
A. 4n m B. 2n m C. 4m n D. 2m n 答案：C 2．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到 圆心的距离大于1 2 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1 4 ，则去打篮球；否则，在家 看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 解析：记“小波周末去看电影”为事件 A， 则 P(A)＝1－ π· 1 2 2 π ＝ 3 4 ，记“小波周末去打篮球”为事件 B，则 P(B)＝ π· 1 4 2 π ＝ 1 16， 点到圆心的距离大于1 2 与点到圆心的距离小于1 4 不可能同时发生，所以事件 A 与事件 B 互斥， 则小波周末不在家看书为事件 A＋B.P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝ 3 4 ＋ 1 16＝ 13 16. 答案：13 16 3.如图所示，已知 AB 是半圆 O 的直径，AB＝8，M，N，P 是将半圆圆周四等分的三个分 点． (1)从 A，B，M，N，P 这 5 个点中任取 3 个点，求这 3 个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点 S，求△SAB 的面积大于 8 2的概率． 解：(1)从 A，B，M，N，P 这 5 个点中任取 3 个点，一共可以组成 10 个三角形：△ABM， △ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形 的只有△ABM，△ABN，△ABP 3 个，所以组成直角三角形的概率为 3 10. (2)如下图所示，连接 MP，取线段 MP 的中点 D，则 OD⊥MP.易求得 OD＝2 2. 当点 S 在线段 MP 上时，S△ABS＝ 1 2 ×2 2×8＝8 2， 所以只有当点 S 落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于 8 2，而 S 阴影＝S 扇形 MOP－S△OMP
2·2·4-2×4=4x=8,所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8V2的概率 1-8丌-2 8丌
＝ 1 2 · π 2 ·4 2－ 1 2 ×4 2＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于 8 2的概率 为 4π－8 8π ＝ π－2 2π