人教A版高中数学必修3第三章 概率3.3 几何概型导学案(2)

3.3.1《几何概型》 教材分析:和古典概型一样,在特定情形下,我们可以用几何概型来计算事件发生的概率.它也是 种等可能概型.教材首先通过实例对比概念给予描述,然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介 绍,给出了几何概型的一种常用计算方法.与本课开始介绍的P(A)的公式计算方法前后对应,使 几何概型这一知识板块更加系统和完整.这节内容中的例题既通俗易懂,又具有代表性,有利于我 们的教与学生的学.教学重点是几何概型的计算方法,尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知 量:教学难点是突出用样本估计总体的统计思想,把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题 【学习目标】 1.通过这节内容学习,让学生了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用 2.。通过对照前面学过的知识,让学生自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法,设计估计未知 量的方案,培养学生的实际操作能力 3.通过学习,让学生体会试验结果的随机性与规律性,培养学生的科学思维方法,提高学生对自然 界的认知水平 【重点难点】 随机模拟部分.这节内容的教学需要一些实物模型作为教具,如教科书中的转盘模型、例2中的随 机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后 再通过计算杋或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.随机模拟的教学中要充分 使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进行模拟活动 【知识链接】 如图,有两个转盘.甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜. 问题:在下列两种情况下分别求甲获胜的概率 B (2) 图30-1 【学习过程】 建立模型 1.提出问题 首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系,若有关系,和几何体图形的什么表面特征有关系? 学生凭直觉,可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关.即:字母B所在扇形弧长(或面积) 与整个圆弧长(或面积)的比.接着提出这样的问题:变换图中B与N的顺序,结果是否发生变化? (教师还可做出其他变换后的图形,以示决定几何概率的因素的确定性) 题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关,我们就说它是几何概型

3.3.1《几何概型》 教材分析：和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是 一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介 绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的 P（A）的公式计算方法前后对应，使 几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我 们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知 量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题． 【学习目标】 1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用． 2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知 量的方案，培养学生的实际操作能力． 3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然 界的认知水平． 【重点难点】 随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例 2 中的随 机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后 再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分 使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动． 【知识链接】 如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜． 问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率． 【学习过程】 建立模型 1. 提出问题 首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？ 学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母 B 所在扇形弧长（或面积） 与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中 B 与 N 的顺序，结果是否发生变化？ （教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）． 题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．

注意:(1)这里“只”非常重要,如果没有“只”字,那么就意味着几何概型的概率可能还与其他 因素有关,这是错误的 (2)正确理解“几何因素”,一般说来指区域长度(或面积或体积) 2.引导学生讨论归纳几何概型定义,教师明晰一—一抽象概括 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型 为几何概率模型,简称为几何概型 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下: P(A) 构成事件A的区域长度(或面积或体积) 试验的全部结果构成的区域长度(或面积或体积) 3.再次提出问题,并组织学生讨论 (1)情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少? (2)在50oml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的 概率. (3)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10min的 概率. 通过以上问题的研讨,进一步明确几何概型的意义及基本计算方法 典型例题 1.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,而你父亲离开 家去工作的时间在早上7:00~8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率 是多少 父亲离开家去工作的时间 7:00 6:307:30送报人送到报纸的时间 图30-2 分析:我们有两种方法计算事件的概率 (1)利用几何概型的公式 (2)利用随机模拟的方法

注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他 因素有关，这是错误的． （2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）． 2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称为几何概型． 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： 3. 再次提出问题，并组织学生讨论 （1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？ （2）在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的 概率． （3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于 10min 的 概率． 通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法． 典型例题 1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6：30～7：30 之间把报纸送到你家，而你父亲离开 家去工作的时间在早上 7：00～8：00 之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件 A）的概率 是多少． 分析：我们有两种方法计算事件的概率． （1）利用几何概型的公式． （2）利用随机模拟的方法．

解法1:如图,方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间,纵坐标表示父亲离开家 去工作的时间.假设随机试验落在方形内任一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意, 只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以 60 87.5% 解法2:设X,Y是0~1之间的均匀随机数.X+6.5表示送报人送到报纸的时间,Y+7表示父亲离 开家去工作的时间.如果Y+7>X+6.5,即Y>X一0.5,那么父亲在离开家前能得到报纸.用计算 机做多次试验,即可得到P(A) 教师引导学生独立解答,充分调动学生自主设计随机模拟方法,并组织学生展示自己的解答过程, 要求学生说明解答的依据.教师总结,并明晰用计算机(或计算器)产生随机数的模拟试验.强调: 这里采用随机数模拟方法,是用频率去估计概率,因此,试验次数越多,频率越接近概率. 2.如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比,并 此估计圆周率的值 图30-3 解:随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个 区域的面积近似成正比,即 圆的面积 落在圆中的豆子数 正方形的面积~落在正方形中的豆子数 假设正方形的边长为2,则 圆的面积 正方形的面积 2x2=4 由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以 落在圆中的豆子数 ≈落在正方形中的豆子数4 这样就得到了π的近似值 另外,我们也可以用计算器或计算机模拟,步骤如下:

解法 1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家 去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意， 只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件 A 发生，所以 解法 2：设 X，Y 是 0～1 之间的均匀随机数．X＋6.5 表示送报人送到报纸的时间，Y＋7 表示父亲离 开家去工作的时间．如果 Y＋7＞X＋6.5，即 Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算 机做多次试验，即可得到 P（A）． 教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程， 要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调： 这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率． 2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并 以此估计圆周率的值． 解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个 区域的面积近似成正比，即 假设正方形的边长为 2，则 由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以 这样就得到了 π 的近似值． 另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：

(1)产生两组0~1区间的均匀随机数,a1=RAND,b=RAND; (2)经平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2 (3)数出落在圆内a2+b2<1的豆子数N,计算”N(N代表落在正方形中的豆子数) 可以发现,随着试验次数的增加,得到π的近似值的精度会越来越高 本例启发我们,利用几何概型,并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积. 【基础达标】 1.如图30-4,如果你向靶子上射200镖,你期望多少镖落在黑色区域. 2.利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分(y=1和y=x2围成的部分)的面积 樂 O 图30-4 图30-5 3.画一椭圆,让学生设计方案,求此椭圆的面积

（1）产生两组 0～1 区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND； （2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2； （3）数出落在圆内 a 2＋b 2＜1 的豆子数 N1，计算 （N 代表落在正方形中的豆子数）． 可以发现，随着试验次数的增加，得到 π 的近似值的精度会越来越高． 本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积． 【基础达标】 1. 如图 30-4，如果你向靶子上射 200 镖，你期望多少镖落在黑色区域． 2. 利用随机模拟方法计算图 30-5 中阴影部分（y＝1 和 y＝x 2 围成的部分）的面积． 3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．

3.3.1《几何概型》导学案 【学习目标】 了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用 【重点难点】几何概型的计算方法 【学法指导】 预习目标 1.了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用 2.通过对照前面学过的知识,让学生自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法,设计估计未知 量的方案,培养学生的实际操作能力 、预习内容 1 简称为 几何概型. 2.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下: 3.讨论: (1)情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少? 2)在500m1的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,求发现草履虫 的概率 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 惑内容 【学习过程】 例1.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,而你父亲离 开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概 率是多少

3.3.1《几何概型》导学案 【学习目标】 了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用． 【重点难点】几何概型的计算方法． 【学法指导】 一、预习目标 1. 了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用． 2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知 量的方案，培养学生的实际操作能力． 二、预习内容 1. ，简称为 几何概型． 2.在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： 3. 讨论： （1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？ （ 2）在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫 的概率． 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 【学习过程】 例 1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6：30～7：30 之间把报纸送到你家，而你父亲离 开家去工作的时间在早上 7：00～8：00 之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件 A）的概 率是多少．

父亲离开家去工作的时间 6:307:30送报人送到报纸的时间 图30-2 分析:我们有两种方法计算事件的概率 (1)利用几何概型的公式 (2)利用随机模拟的方法 解法 解法 例2.如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比, 并以此估计圆周率的值 图30-3

分析：我们有两种方法计算事件的概率． （1）利用几何概型的公式． （2）利用随机模拟的方法． 解法 1： 解法 2： 例 2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比， 并以此估计圆周率的值． 解：

用计算器或计算机模拟,步骤如下 【学习反思】 1、数学知识: 2、数学思想方法: 【基础达标】 、选择题 1.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长 都不小于1m的概率是 D.不确定 2.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.则乘客到达站台立即乘上 车的概率是 1 1 3.在1万km的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油,假如在海域中任意 点钻探,钻到油层面的概率是 D 251 252 、填空题 1.如下图,在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形 向大正方形内随机投点,则所投的点落入小正方形内的概率是 CIm 3 cm 2.如下图,在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为1a与1a, 高为b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为

用计算器或计算机模拟，步骤如下： （1） （2） （3） 【学习反思】 1、数学知识： 2、数学思想方法： 【基础达标】 一、选择题 1. 取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长 都不小于 1 m 的概率是. A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D.不确定 2. 已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停 1 min.则乘客到达站台立即乘上 车的概率是 A. 10 1 B. 9 1 C. 11 1 D. 8 1 3. 在 1 万 km2 的海域中有 40 km2 的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意 一点钻探，钻到油层面的概率是. A. 251 1 B. 249 1 C. 250 1 D. 252 1 二、填空题 1. 如下图，在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形， 向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________. 3 cm 2 c m 2. 如下图，在一个边长为 a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为 3 1 a 与 2 1 a， 高为 b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________

12va 三解答题 1在等腰Rt△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM的长小于AC的长的概率 【参考答案】 、选择题 1.B2.A3.C 、填空题 三、解答题解:在AB上截取AC=AC,于是P(AM<AC)=P(AM<AC') 答:AM的长小于AC的长的概率为 AC′AC√2 ABAB 2 【拓展提升】 1.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2m的概率是 2.如下图,在直角坐标系内,射线O7落在60°的终边上,任作一条射线OA,则射线落在∠xO7内 的概率是 A

a a a b 1 1 2 3 三解答题 1 在等腰 Rt△ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM 的长小于 AC 的长的概率. 【参考答案】 一、选择题 1. B 2. A 3. C 二、填空题 1. 9 4 2. 12 5 三、解答题 解：在 AB 上截取 AC′=AC，于是 P（AM＜AC）=P（AM＜ AC ） = A B C M C' 答：AM 的长小于 AC 的长的概率为 2 2 . 2 2 = =  AB AC AB AC 【拓展提升】 1．两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概率是 ________. 2. 如下图，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60°的终边上，任作一条射线 OA，则射线落在∠xOT 内 的概率是________. x y O A T

如下图,在半径为1的半圆内,放置一个边长为的正方形ABCD,向半圆内任投一点,,该点落 在正方形内的概率为 4.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概 率是多少? 答案1. 4解:取出10mL麦种,其中“含有病种子”这一事件记为 则P()=取出种子的体积101 所有种子的体积1000100 答:含有麦锈病种子的概率为

3. 如下图，在半径为 1 的半圆内，放置一个边长为 2 1 的正方形 ABCD，向半圆内任投一点，该点落 在正方形内的概率为_________. A B C D 4. 在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 10 mL，含有麦锈病种子的概 率是多少？