331几何概型
3.3.1 几何概型
引例 取一根长为米的绳子拉直后 在任意位置剪断那么剪得两段的长 都不少于1的概率有多大? 熊否用古典概型的公式来求解? 事件A包含的基本事件有多少?
引例 ⚫ 取一根长为3米的绳子,拉直后 在任意位置剪断,那么剪得两段的长 都不少于1米的概率有多大? 能否用古典概型的公式来求解? 事件A包含的基本事件有多少?
B B NB (1) 问题图中有两个转盘甲乙两人玩转 盘游戏规定当指针指向黄色区域时, 甲获胜,否则乙获胜在两种情况下分 别求甲获胜的概率是多少?
⚫问题:图中有两个转盘.甲乙两人玩转 盘游戏,规定当指针指向黄色区域时, 甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分 别求甲获胜的概率是多少? （1） （2）
上述问题中,基本事件有无限多个,虽然类 似于古典概型的“等可能性”还存在,但显 然不能用古典概型的方法求解,怎么办呢? 事实上甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的 圆孤长度有关而与黄色所在区域的位置无关 因为转转盘时指针指向圆弧上哪一点都是等 可能的不管这些区域是相邻还是不相邻甲 获胜的概率是不变的 因此:把转盘的圆周的长度设为1 则以转盘(1)为游戏工具时 甲获胜)=2 以转盘(2)为游戏工具时甲获胜
事实上,甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的 圆弧长度有关,而与黄色所在区域的位置无关. 因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等 可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲 获胜的概率是不变的. 1 2 1 (" ") 1 2 P 甲获胜 = = 因此：把转盘的圆周的长度设为1， 则以转盘（1）为游戏工具时 以转盘（2）为游戏工具时 3 5 3 (" ") 1 5 P 甲获胜 = = 上述问题中，基本事件有无限多个，虽然类 似于古典概型的“等可能性”还存在，但显 然不能用古典概型的方法求解，怎么办呢？
对于一个随机试验,将每个基本事件 理解为从某个特定的几何区域內随机地取 点,该区域中每一点被取到是等可能的; 而一个随机事件的发生则理解为恰好 取到上述区域内的某个指定区域中的点 这里的区域可以是长度,面积,体积 等。用这种方法处理随机试验,称为几何 概率模型
对于一个随机试验，将每个基本事件 理解为从某个特定的几何区域内随机地取 一点，该区域中每一点被取到是等可能的； 而一个随机事件的发生则理解为恰好 取到上述区域内的某个指定区域中的点. 这里的区域可以是长度，面积，体积 等。用这种方法处理随机试验，称为几何 概率模型
几何概型的定义 0如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(画面积或体积)成比例则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型 几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下: IP(A) 构成事件A的区域长度(面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积
几何概型的定义 ⚫ 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. ⚫ 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下: 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
例1某人午觉醒来发现表停了,他 打开收音机想听电台报时求他等 待的时间不多于10分钟的概率 分析:假设他在060分钟之间任何一个时刻打开收音 机是等可能的,但Q060之间有无穷个时刻,不能用古 典概型的公式计算随机事件发生的概率。我们可以通 过随机模拟的方法得到随机事件发生的概率的近似值, 也可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概 率。因为电台每隔1小时报时一次,他在0°60之间 任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个 时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关, 而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等 待的时间不多于10分钟的概率. 分析：假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音 机是等可能的，但0~60之间有无穷个时刻，不能用古 典概型的公式计算随机事件发生的概率。我们可以通 过随机模拟的方法得到随机事件发生的概率的近似值， 也可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概 率。 因为电台每隔1小时报时一次，他在0~60之间 任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个 时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关， 而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件
练习1:公共汽车在05分钟内随机地到 达车站,求汽车在13分钟之间到达的 概率。 分析:将0°5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段,则13分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解:设“汽车在13分钟之间到达”为事件A P(A) 所以“汽车在13分钟之间到达”的概率 为
练习1：公共汽车在0~5分钟内随机地到 达车站，求汽车在1~3分钟之间到达的 概率。 分析：将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1~3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解：设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A， 则 5 2 5 3 1 ( ) = − P A = 所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率 为 5 2
0对于复杂的实际问题解题的关 键是要建立模型,找出随机事件 与所有基本事件相对应的几何 区域把问题转化为几何概率问 题利用几何概率公式求解
⚫对于复杂的实际问题,解题的关 键是要建立模型,找出随机事件 与所有基本事件相对应的几何 区域,把问题转化为几何概率问 题,利用几何概率公式求解
练习2.取一根长为3米的绳子拉直后在任意位置剪 断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大? 1m 3m 解:如上图,记“剪得两段绳子长都不小于1m”为 事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间 段上时,事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一,所以事件A发生的概率P(A)=1/3
练习2.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪 断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大? 解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为 事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一 段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一，所以事件A发生的概率P（A）=1/3。 3m 1m 1m