《几何概型》习题 1.在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17<a<20的概率是( 5 2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G,用AG为半径作圆,则圆的面积介于36平方厘米到 64平方厘米的概率是 3.当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为45秒, 那么你看到黄灯的概率是 D- 4.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇 形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域 内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是 5.一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻 璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全;若始终保 持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻璃容 器内飞行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是 6.在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率为,则m 7.在圆心角为90°的扇形AOB中,以圆心0为起点作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于 0°的概率 8.在区间[-1,1]上任取两数x和y,组成有序实数对(x,y),记事件A为“x2+y2<1”,则P(A) 等于 9.有四个游戏盘,如下图所示,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖,小明希望中奖机会 大,他应当选择的游戏盘为
《几何概型》习题 1．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数 a，则这个实数满足 17<a<20 的概率是( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 3 10 D. 5 10 2．在长为 10 厘米的线段 AB 上任取一点 G，用 AG 为半径作圆，则圆的面积介于 36π 平方厘米到 64π 平方厘米的概率是 ( ) A. 9 25 B. 16 25 C. 3 10 D. 1 5 3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 45 秒， 那么你看到黄灯的概率是 ( ) A. 1 12 B. 3 8 C. 1 16 D. 5 6 4．如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇 形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域 内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ( ) A．1－ π 4 B. π 2 －1 C．2－ π 2 D. π 4 5．一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻 璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保 持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容 器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________． 6．在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为5 6 ，则 m＝________. 7．在圆心角为 90°的扇形 AOB 中，以圆心 O 为起点作射线 OC，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°的概率． 8．在区间[－1,1]上任取两数 x 和 y，组成有序实数对(x，y)，记事件 A 为“x2＋y 2 <1”，则 P(A) 等于 ( ) A. π 4 B. π 2 C．π D．2π 9．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会 大，他应当选择的游戏盘为 ( )
10.有一个圆面,圆面内有一个内接正三角形,若随机向圆面上投一镖都中圆面,则镖落在三角 形内的概率为 11.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即 可离去.求两人能会面的概率 12.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0. (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述 方程有实根的概率 (2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实 根的概率
10．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角 形内的概率为________． 11．甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即 可离去．求两人能会面的概率． 12．设关于 x 的一元二次方程 x 2＋2ax＋b 2＝0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求上述 方程有实根的概率． (2)若 a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实 根的概率．
1.答案C 20-173 解析a∈(15,25],∴P(17<a<20)= 25-1510 2.答案D 解析以AG为半径作圆,面积介于36平方厘米到64平方厘米,则AG的长度应介于6 厘米到8厘米之间,所求概率P(A)=10=5 A88-B 3.答案C 解析由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的,可以认为是无限次等可能 出现的,符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒,而整个灯的变换时间 长度为80秒,据几何概型概率计算公式,得看到黄灯的概率为P=80=16 4答案A 解析由题意得无信号的区域面积为2×1-2×2x×1=2-,由几何概型的概率公式 得无信号的概率为P= 5.答案1 解析记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A,则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大 于10的区域飞行时是安全的,故P()=20 6.答案3 解析由|x|≤m,得一m≤x≤m 当m≤2时,由题意得 解得m=2.5,矛盾,舍去 当2<m<4时,由题意得 ,解得m=3 即m的值为3 7.解
1.答案 C 解析 a∈(15,25]，∴P(17<a<20)＝ 20－17 25－15＝ 3 10 . 2.答案 D 解析 以 AG 为半径作圆，面积介于 36π 平方厘米到 64π 平方厘米，则 AG 的长度应介于 6 厘米到 8 厘米之间．∴所求概率 P(A)＝ 2 10＝ 1 5 . 3.答案 C 解析 由题意可知在 80 秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能 出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为 5 秒，而整个灯的变换时间 长度为 80 秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为 P＝ 5 80＝ 1 16. 4.答案 A 解析 由题意得无信号的区域面积为 2×1－2× 1 4 π×12＝2－ π 2 ，由几何概型的概率公式， 得无信号的概率为 P＝ 2－ π 2 2 ＝1－ π 4 . 5.答案 1 27 解析 记“蜜蜂能够安全飞行”为事件 A，则它位于与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大 于 10 的区域飞行时是安全的，故 P(A)＝ 103 303＝ 1 27. 6.答案 3 解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m. 当 m≤2 时，由题意得2m 6 ＝ 5 6 ，解得 m＝2.5，矛盾，舍去． 当 2<m<4 时，由题意得m－ －2 6 ＝ 5 6 ，解得 m＝3. 即 m 的值为 3. 7.解
如图所示,把圆弧AB三等分,则∠AOF=∠BOE=30°,记A为“在扇形AOB内作一射线OC 使∠AOC和∠BOC都不小于30°”,要使∠AOC和∠BOC都不小于30°,则OC就落在∠EOF 内 30°1 ∴P(A) 8.答案A 解析如图,集合S={(x,y)-1≤x≤1,一1≤y≤1},则S中每个元素与随机事件的结果 一一对应,而事件A所对应的事件(x,y)与圆面x2+y2<1内的点一一对应 ∴P(A)= 9.答案A 解析A中P 8B中P=21 C中设正方形边长为2,则P3 4-丌×124- =×2×1 D中设圆直径为2,则P 在P1,P2,P3,P4中,P1最大 1答案2E 4丌 设圆面半径为R,如图所示△ABC的面积Sa=3.S△m=3.0,00=3,cD,0
如图所示，把圆弧 AB 三等分，则∠AOF＝∠BOE＝30°，记 A 为“在扇形 AOB 内作一射线 OC， 使∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°，则 OC 就落在∠EOF 内， ∴P(A)＝ 30° 90°＝ 1 3 . 8.答案 A 解析 如图，集合 S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则 S 中每个元素与随机事件的结果 一一对应，而事件 A 所对应的事件(x，y)与圆面 x 2＋y 2 <1 内的点一一对应， ∴P(A)＝ π 4 . 9.答案 A 解析 A 中 P1＝ 3 8 ，B 中 P2＝ 2 6 ＝ 1 3 ， C 中设正方形边长为 2，则 P3＝ 4－π×12 4 ＝ 4－π 4 ， D 中设圆直径为 2，则 P4＝ 1 2 ×2×1 π ＝ 1 π . 在 P1，P2，P3，P4 中，P1 最大． 10.答案 3 3 4π 解析 设圆面半径为 R，如图所示△ABC 的面积 S△ABC＝3·S△AOC＝3· 1 2 AC·OD＝3·CD·OD
=3·Rsin60°·Rcos60° R24丌 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x y|≤15.在如图所示的平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域 而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得: P()=5=6045=36002025=7 3600 所以,两人能会面的概率是g 12.解设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根 当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b (1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2), (3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值 事件A包含9个基本事件,故事件A发生的概率为 P(A)≈9 (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2} 构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b 所以所求的概率为P(A) 3×2
＝3·Rsin 60°·Rcos 60°＝ 3 3R 2 4 ， ∴P＝ S△ABC πR2＝ 3 3R 2 4πR2 ＝ 3 3 4π. 11.解 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－ y|≤15.在如图所示的平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形区域， 而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得： P(A)＝ SA S ＝ 602－452 602 ＝ 3 600－2 025 3 600 ＝ 7 16. 所以，两人能会面的概率是 7 16. 12.解 设事件 A 为“方程 x 2＋2ax＋b 2＝0 有实根”． 当 a≥0，b≥0 时，方程 x 2＋2ax＋b 2＝0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)， (3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值． 事件 A 包含 9 个基本事件，故事件 A 发生的概率为 P(A)＝ 9 12＝ 3 4 . (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}． 构成事件 A 的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}． 所以所求的概率为 P(A)＝ 3×2－ 1 2 ×22 3×2 ＝ 2 3