几何概型课后练习 题一:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,金 色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭. 假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少? 题二:如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q 取自△ABE内部的概率等于() B 题三:在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥P-SBC的体积大于一的概率 题四:一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,在包围该三棱锥的外接球内任取一点 该点落在三棱锥内部的概率为 正视图 侧 俯视图 题五:已知P是△ABC所在平面内一点,PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△PBC内, 则黄豆落在△PBC内的概率是() 题六:在区间(0,1内任取两个实数,则这两个实数的和大于的概率为() 18
起 几何概型课后练习 题一：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色，金 色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为 122 cm，靶心直径为 12.2 cm．运动员在 70 m 外射箭. 假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．问射中黄心的概率为多少？ 题二：如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 [来源:www.sh u lih ua.netwww.sh ulihua.n et] 题三：在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 P-SBC 的体积大于 3 V 的概率 是 ． 题四：一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，在包围该三棱锥的外接球内任取一点， 该点落在三棱锥内部的概率为 ． 题五：已知 P 是△ABC 所在平面内一点， PB ＋ PC ＋2 PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内， 则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A． 1 4 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 2 题六：在区间(0, 1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于1 3 的概率为( ) A． 17 18 B． 7 9 C． 2 9 D． 1 18
题七:若m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率 为 题八:平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上,求硬币 不与任何一条平等线相碰的概率是() B 题九:在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的 概率是 题十:若不等式组y2-x 表示的平面区域为M,x2+y2s1所表示的平面区域为N,现随机向 区域M内抛一粒豆子,则豆子落在区域N内的概率为 题十一:在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则这个正方形的面 积介于36cm2与81cm2之间的概率为() 题十二:在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是() B D 题十三:设有一个正方形网格,每个小正方形的边长为4,用直径等于1的硬币投掷到此网格上, 硬币下落后与网格线没有公共点的概率为 题十四:在地上画一正方形线框,其边长等于一枚硬币的直径的2倍,向方框中投掷硬币,硬币完 全落在正方形外的不计,则硬币完全落在正方形内的概率为 题十五:设点A为半径是1的圆O上一定点,在圆周上等可能地任取一点B.求弦AB的长超过圆 半径的概率 题十六:已知AB是圆O的一条直径,CD是一条动弦且与AB垂直,假设CD与直径AB的交点在 AB上是等可能的,则弦CD长大于半径的概率是 题十七:下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布,共有队员40人,成绩分为1~5五个档次, 例如表中所示跳高成绩为4分,跳远成绩为2分的队员为5人.将全部队员的姓名卡混合在一起 任取一张,该卡片队员的跳高成绩为x分,跳远成绩为y分
题七：若 m∈(0, 3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0 与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于9 8 的概率 为________． 题八：平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线，把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币 不与任何一条平等线相碰的概率是( ) A． a－r a B． a－r 2a C． 2a－r 2a D． a＋r 2a 题九：在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P，则使点 P 到三个顶点的距离至少有一个小于 1 的 概率是________． 题十：若不等式组 y≤x y≥－x 2x－y－3≤0 表示的平面区域为 M，x 2＋y 2≤1 所表示的平面区域为 N，现随机向 区域 M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域 N 内的概率为________． 题十一：在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，则这个正方形的面 积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为( )． A． 1 4 B． 1 3 C． 4 27 D． 4 15 题十二：在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P，则△PBC 的面积大于S 4 的概率是( )． A． 1 4 B． 1 2 C． 3 4 D． 2 3 [学优] 题十三：设有一个正方形网格，每个小正方形的边长为 4，用直径等于 1 的硬币投掷到此网格上， 硬币下落后与网格线没有公共点的概率为 ． [来源:www.sh u lih ua.net] 题十四：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的 2 倍，向方框中投掷硬币，硬币完 全落在正方形外的不计，则硬币完全落在正方形内的概率为 ． 题十五：设点 A 为半径是 1 的圆 O 上一定点，在圆周上等可能地任取一点 B．求弦 AB 的长超过圆 半径的概率． 题十六：已知 AB 是圆 O 的一条直径，CD 是一条动弦且与 AB 垂直，假设 CD 与直径 AB 的交点在 AB 上是等可能的，则弦 CD 长大于半径的概率是 ． 题十七：下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布，共有队员 40 人，成绩分为 1～5 五个档次， 例如表中所示跳高成绩为 4 分，跳远成绩为 2 分的队员为 5 人．将全部队员的姓名卡混合在一起， 任取一张，该卡片队员的跳高成绩为 x 分，跳远成绩为 y 分． y x [来源:www.sh u lih ua.net] 跳 远[来 源:www.sh u lihu a.n et][来源:www.shulihu a.n et] 5 4 3 2 1 5 1 3 1 0 1
(1)求m+n的值;(2)求x=4的概率及x≥3且y=5的概率 题十八:下表为某学年随机抽出的100名学生的数学及语文成绩,成绩分为1~5个档次,设x、y 分别表示数学成绩和语文成绩,例如表中数学成绩为5分的共有2+6+2+0+2=12,语文成绩2分的共 有0+10+18+0+2=30人 (1)求亡3的概率及在x3的基础上,y=3的概率 (2)求x2的概率及m+n的值 5 6 4 2 0 14 10 2 2 12 0 6n6 2
跳 高 4 1 0 2 5 1 3 2 1 0 4 3 2 1 m 6 0 n 1 0 0 1 1 3 （1）求 m+n 的值；（2）求 x=4 的概率及 x ≥ 3 且 y = 5 的概率． 题十八：下表为某学年随机抽出的 100 名学生的数学及语文成绩，成绩分为 1～5 个档次，设 x、y 分别表示数学成绩和语文成绩，例如表中数学成绩为 5 分的共有 2+6+2+0+2=12，语文成绩 2 分的共 有 0+10+18+0+2=30 人． （1）求 x≥3 的概率及在 x≥3 的基础上，y=3 的概率； （2）求 x=2 的概率及 m+n 的值．
几何概型 课后练习参考答案 题一:001 详解:如图,记“射中黄心”为事件B,由于射中靶面随机地落在面积为亠xπ×122cm2的大圆内,而当中靶点落在面 积为元×x122m的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的队x×122 =0.01 ○ 题二:C. 详解:点E为边CD的中点,故所求的概率、△ABE的面积1 巨形ABCD的面积2 2 题三 详解:如图,由于三棱锥P-SBC和三棱锥SPBC的体积相等,三棱锥SPBC与三棱锥SABC等高 故在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P,三棱锥PSBC的体积大于一,即在面积为S的△ABC的边 AB上任取一点P,则△PBC的面积大于等于一即可 记事件扫={△PBC的面积大于一},基本事件空间是线段AB的长度,(如图), S 因为SPBC>一,则有BC·PE>×BC·AD 2 Pe 1 化简记得到 因为PE平行AD则由三角形的相似性 PE 1 AD 3 AD 3 所以,事件A的几何度量为线段AP的长度, dF乐图 AP 2 AB,所以△PBC的面积大于一的概率 Ab 3
几何概型 课后练习参考答案 题一： 0.01． 详解：如图，记“射中黄心”为事件 B，由于射中靶面随机地落在面积为 4 1 ×π×1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面 积为 4 1 ×π×12.22 cm2的黄心内时，事件 B 发生，于是事件 B 发生的概率 P(B)= 2 2 122 4 1 12.2 4 1 =0.01． 题二： C． 详解：点 E 为边 CD 的中点，故所求的概率 P＝ △ABE的面积 矩形ABCD的面积＝ 1 2 ． 题三： 3 2 ． 详解：如图，由于三棱锥 P-SBC 和三棱锥 S-PBC 的体积相等，三棱锥 S-PBC 与三棱锥 S-ABC等高， 故在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P，三棱锥 P-SBC 的体积大于 3 V ，即在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P，则△PBC 的面积大于等于 3 S 即可． 记事件 A={△PBC 的面积大于 3 S }，基本事件空间是线段 AB 的长度，（如图）， 因为 3 S SPBC ，则有 BC PE BC AD 2 1 3 1 2 1 ； 化简记得到： 3 1 AD PE ，因为 PE 平行 AD 则由三角形的相似性 3 1 AD PE ； 所以，事件 A 的几何度量为线段 AP 的长度， 因为 AP AB 3 2 = ，所以△PBC 的面积大于 3 S 的概率 3 2 = AB AP ．
题四: 27丌 详解:由题意可知,本题是一个等可能事件的概率,试验发生的所有的事件对应着球的体积,满足条件的事件是对 应三棱锥的体积 由三视图得到三棱锥的侧棱长度,球的直径√16+16+4=6, 4丌 球的体积是×33=36z,满足条件的事件是对应三棱锥的体积,三棱锥的三条侧棱互相垂直,体积是 16 ×4×-×4 在三校锥的外接球内任取一点,该点落在三棱锥内部的概率为3=4 36丌27x 题五:D 详解:由题意可知,点P位于BC边的中线的中点处, 记黄豆落在△PBC内为事件D,则P(D) 题六:A 许解:设这两个实数分别为x,y,则)(1,满足x十y的部分如图中阴影部分所示 所以这两个实数的和大于的概率为1-233=18 题七:3
题四： 4 27 ． 详解：由题意可知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有的事件对应着球的体积，满足条件的事件是对 应三棱锥的体积， 由三视图得到三棱锥的侧棱长度，球的直径 16+16+ 4 = 6 ， ∴球的体积是 3 36 3 4 3 = ，满足条件的事件是对应三棱锥的体积，三棱锥的三条侧棱互相垂直，体积是 3 16 4 2 2 1 4 3 1 = ， ∴在三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为 27 4 36 3 16 = ． 题五： D． 详解：由题意可知，点 P 位于 BC 边的中线的中点处． 记黄豆落在△PBC 内为事件 D，则 P(D)＝ S△PBC S△ABC ＝ 1 2 ． 题六： A． 详解：设这两个实数分别为 x，y，则 0 1 3 的部分如图中阴影部分所示． 所以这两个实数的和大于1 3 的概率为 1－ 1 2 × 1 3 × 1 3 ＝ 17 18． 题七： 2 3 ．
详解:直线与两个坐标轴的交点分别为(m+2·0,(0,3-m 解得0<m2,:2-020,:3 又当m∈(0,3)时, 2m+23-m8 题丿 详解:∵硬币的半径为r,∴当硬币的中心到直线的距离dr时,硬币与直线不相碰 题九 详解:以A、B、C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时,符合要求.∴P √3z 详解:如图,△AOB为区域M,扇形COD为区域M内的区域N,A(3,B(,-1),S△B=V2×x32=3,S OD=所以豆子落在区域N内的概率为P=00= 3=0 KDB Yy-- 题十一:A 详解:面积为36cm2时,边长AM=6cm:面积为81cm2时,边长AM=9cm. 9-63 题十二:C. 详解:如图,在AB边上取点P,使AB=4,则P只能在AP上(不包括P点运动 则所求概率为
详解：直线与两个坐标轴的交点分别为( 3 m＋2 ，0)，(0， 3 3－m )， 又当 m∈(0,3)时， 3 m＋2 >0， 3 3－m >0，∴ 1 2 · 3 m＋2 · 3 3－m r 时，硬币与直线不相碰． ∴P＝ 2(a－r) 2a ＝ a－r a ． 题九： 3 6 π． 详解：以 A、B、C 为圆心，以 1 为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形，当 P 落在其内时，符合要 求．∴P＝ 3×( 1 2 × π 3 ×12 ) 3 4 ×22 ＝ 3π 6 ． 题十： π 12． 详解：如图，△AOB 为区域 M，扇形 COD 为区域 M 内的区域 N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝ 1 2 × 2×3 2＝3，S 扇形 CO D＝ π 4 ，所以豆子落在区域 N 内的概率为 P＝ S扇形COD S△AOB ＝ π 12． 题十一： A． 详解：面积为 36 cm2时，边长 AM＝6 cm；面积为 81 cm2时，边长 AM＝9 cm． ∴P＝ 9－6 12 ＝ 3 12＝ 1 4 ． 题十二： C． 详解：如图，在 AB 边上取点 P′，使AP′ AB＝ 3 4 ，则 P 只能在 AP′上(不包括 P′点)运动， 则所求概率为AP′ AB＝ 3 4 ．
题十三,9 详解:因为硬币的直径是1,所以半径是一,要使硬币下落后与网格线没有公共点,只需硬币下落在正中心的边长为 329 3的正方形的内部∴所求概率为 题十四 详解:设硬币的直径为2cm,正方形线框的边长为4.考虑圆心的运动情况 因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点,所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张1个 小圆半径的区域,且四角为四分之圆弧:此时总面积为:4×4+4×4×1+x×12=32+x:完全落在最大的正方形内时,圆 心的位置在2为边长的正方形内,其面积为:2×2=4:∴硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为: 32+丌 题十五: 详解:在圆上其他位置任取一点B,圆半径为1,则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2x,其中满足条件AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为×2丌×1,则AB弦的长度大于等于半径长度的概率 ×2x×1 P 2
题十三： 16 9 ． 详解：因为硬币的直径是 1，所以半径是1 2 ，要使硬币下落后与网格线没有公共点，只需硬币下落在正中心的边长为 3 的正方形的内 部∴所求概率为 16 9 4 3 2 2 = ． 题十四： 32 + 4 ． 详解：设硬币的直径为 2cm，正方形线框的边长为 4．考虑圆心的运动情况． 因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张 1 个 小圆半径的区域，且四角为四分之圆弧；此时总面积为：4×4+4×4×1+π×12=32+π；完全落在最大的正方形内时，圆 心的位置在 2 为边长的正方形内，其面积为：2×2=4；∴硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为： 32 + 4 ． 题十五： 3 2 ． 详解：在圆上其他位置任取一点 B，圆半径为 1，则 B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长 2π，其中满足条件 AB 的 长 度 大 于 等 于 半 径 长 度 的 对 应 的 弧 长 为 2 1 3 2 ， 则 AB 弦 的 长 度 大 于 等 于 半 径 长 度 的 概 率 3 2 2 2 1 3 2 = = P ．
C 题十六: 详解:设弦CD长大于半径的概率是P,如图所示:E,F两点为CD长恰为半径时的位置,根据几何概型长度类型 可得,EF2xy3 R AB D 9 题十七:(1)m+n的值为3:(2)x=4的概率为。,x≥3且y=5的概率为 详解:(1)表中反映了队员的跳高、跳远的综合成绩,其中各单元格的数字之和等于40 即:1+3+1+0+1+1+0+2+5+1+2+1+0+4+3+1+m+6+0+n+0+0+1+1+3=40 整理,得m+n+37=40,因此m+r=3 (2):4的人数为1+0+25+1=,∴:=4的概率为:B=0 e3且5的人数为1+2:23里15的概率为2=10 答:(1)m+n的值为3:(2)x4的概率为 40,3且=5的概率为1 题十八:(1) 10’35:(2),6 详解:(1)当x=3时,共有4+2+0+18+6=30人:当x4时,共有2+0+14+10+2=28人 当x=5时,共有12人,故当x3时:概率p_30+28+12707 =,,在3的基础上,=3时有2+14+0=16
题十六： 2 3 ． 详解：设弦 CD 长大于半径的概率是 P，如图所示：E，F 两点为 CD 长恰为半径时的位置，根据几何概型长度类型， 可得： 2 3 2 2 3 2 = = = R R AB EF P ． 题十七： （1）m+n 的值为 3；（2）x = 4 的概率为 40 9 ，x ≥ 3 且 y = 5 的概率为 10 1 ． 详解：（1）表中反映了队员的跳高、跳远的综合成绩，其中各单元格的数字之和等于 40 即：1+3+1+0+1+1+0+2+5+1+2+1+0+4+3+1+m+6+0+n+0+0+1+1+3=40． 整理，得 m+n+37=40，因此 m+n=3． （2） ∵x=4 的人数为 1+0+2+5+1=9，∴x=4 的概率为： 40 9 P1 = ． 又∵x≥3 且 y=5 的人数为 1+1+2=4，∴x≥3 且 y=5 的概率为 10 1 P2 = ． 答：（1）m+n 的值为 3；（2）x=4 的概率为 40 9 ，x≥3 且 y=5 的概率为 10 1 ． 题十八： （1） 7 10 ， 35 8 ；（2） ,6 5 1 ． 详解：（1）当 x=3 时，共有 4+2+0+18+6=30 人；当 x=4 时，共有 2+0+14+10+2=28 人； 当 x=5 时，共有 12 人，故当 x≥3 时：概率 10 7 100 70 100 30 28 12 = = + + P = ，在 x≥3 的基础上，y=3 时有 2+14+0=16
人,故此时概率为P168 (2)当x1时,共有0+0+2+2+6=10人,故当x2时,共有100-(10+70)=20人 此时概率为P、201 ∴2+m+12+0+n=20,∴m+n=6 1005
人，故此时概率为 35 8 70 16 P = = ． （2）当 x=1 时，共有 0+0+2+2+6=10 人，故当 x=2 时，共有 100-（10+70）=20 人， 此时概率为 5 1 100 20 P = = ，∴2+m+12 +0+n=20，∴m+n=6．