第三章概率 33几何概型 教学目标 核心素养 通过学习古典概型,初步形成基本的数学抽象和数学建模能力 2.学习目标 (1)理解几何概型基本事件的特点 (2)会用几何概型公式解决实际实际问题. (2)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法 3.学习重点 理解几何概型的特点,会用几何概型解决随机事件岀现的概率如何计算问题. 4.学习难点 基本事件出现等可能性 、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 任务1 阅读P135-P140,思考:几何概型与古典概型的异同在哪儿? 任务2 如何利用几何概型公式解决实际问题中的概率问题? 预习自测 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√"或“x”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.() (2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的 每一点被取到的机会相等.() (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.() (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.() (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关,() 解:√√ 2.在50om的水中有一个草履虫,现从中随机取出2m水样放到显微镜下观察,则发现草履 虫的概率是()
第三章 概率 3.3 几何概型 一、教学目标 1．核心素养 通过学习古典概型，初步形成基本的数学抽象和数学建模能力． 2．学习目标 （1）理解几何概型基本事件的特点． （2）会用几何概型公式解决实际实际问题． （2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法． 3．学习重点 理解几何概型的特点，会用几何概型解决随机事件出现的概率如何计算问题． 4．学习难点 基本事件出现等可能性． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务 1 阅读 P135-P140，思考:几何概型与古典概型的异同在哪儿？ 任务 2 如何利用几何概型公式解决实际问题中的概率问题? 2．预习自测 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的 每一点被取到的机会相等．( ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) 解：√√√√× 2．在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履 虫的概率是（ ）
A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 解:C 3用均匀随机数进行随机模拟可以解决() A.只能求几何概型的概率不能解决其他问题 B不仅能求几何概型的概率还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率 解:C (二)课堂设计 1.知识回顾 (1)古典概型的基本事件的特点 (2)古典概型计算公式 2.问题探究 问题探究一几何概型基本事件的特点有哪些?(★▲) 活动一创设情景,区分古典概型与几何概型 飞镖游戏:如图所示,规定射中红色区域表示中奖则下列各圆盘的中奖概率如何计算 呢? (2) 图(1)是将圆盘五等分,飞镖分别射在五个相同的扇形区域作为五个等可能基本事件,每 个基本事件的发生是等可能性的概率为 图(2)三块区域圆心角之比为123。圆盘(2)的求解虽然可以由等分的观点得到答案 图(3)圆盘两圆的半径之比为12,实现了完全的面积化, 分析上述三种情况,不难发现,基本事件实现从有限到无限,从古典概型到几何概型的 过渡。 活动二变换情景,深化基本事件特点的理解 如何计算下列情况的概率 (1)在区间[0,9上任取一个整数,恰好取在区间[0,3]上的概率为多少?
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定 解：C 3.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决( ) A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率. 解：C （二）课堂设计 1．知识回顾 （1）古典概型的基本事件的特点． （2）古典概型计算公式． 2．问题探究 问题探究一 几何概型基本事件的特点有哪些？（★▲） ●活动一 创设情景，区分古典概型与几何概型 飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖.则下列各圆盘的中奖概率如何计算 呢？ (1) (2) (3) 图(1)是将圆盘五等分，飞镖分别射在五个相同的扇形区域作为五个等可能基本事件，每 个基本事件的发生是等可能性的,概率为 5 1 . 图(2)三块区域圆心角之比为 1:2:3。圆盘(2)的求解虽然可以由等分的观点得到答案。 图（3）圆盘两圆的半径之比为 1:2，实现了完全的面积化， 分析上述三种情况，不难发现，基本事件实现从有限到无限，从古典概型到几何概型的 过渡。 ●活动二 变换情景，深化基本事件特点的理解 如何计算下列情况的概率 （1）在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？
(2)在区间[,9上任取一个实数,恰好取在区间[,3上的概率为多少? (1)是一个古典概型问题,概率为;(1)是一个几何概型问题,概率为 般地,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例 则称这样的概率模型为几何概型.参照古典概型的特性,几何概型有哪两个基本特征? (1)可能出现的结果有无限多个 (2)每个结果发生的可能性相等 (3)几何概型的概率公式 P(A) 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 问题探究二应用古典概型解决随机事件出现的概率如何计算问题 几何概型公式在实际问题中有哪些应用 例1取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内 的概率 【知识点:几何概型;数学思想:数学抽象,数学建模】 详解: 记“豆子落入圆内”为事件A,则P)=、圆面积xa2=x 正方形面积4a24 点拨:由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的(符合几何 概型),于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比. 例2在LL高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病 种子的概率是多少? 【知识点:几何概型;数学思想:数学抽象,数学建模】 详解:取出10mL麦种,其中“含有麦锈病种子这一事件记为A, 取出种子的体积1 则P(A 所有种子的体积1000100 点评:病种子在这ⅡL种子中的分布可以看做是随机的(符合几何概型),取得10mL种子可 视作区域d,所有种子可视为区域D.测度是体积
（2）在区间[0，9]上任取一个实数，恰好 取在区间[0，3]上的概率为多少？ (1)是一个古典概型问题，概率为 5 2 ；(1)是一个几何概型问题，概率为 3 1 . 一般地，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例， 则称这样的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？ （1）可能出现的结果有无限多个； （2）每个结果发生的可能性相等. （3）几何概型的概率公式： P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 构成事件A的区域长度（面积或体积） ； 问题探究二 应用古典概型解决随机事件出现的概率如何计算问题★▲ 几何概型公式在实际问题中有哪些应用 例 1 取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内 的概率. 【知识点：几何概型；数学思想：数学抽象，数学建模】 详解： 记“豆子落入圆内”为事件 A，则 2 2 ( ) 4 4 圆面积 ＝ 正方形面积 a P A a = = 点拨：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何 概型），于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比. 例 2 在 1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 10mL，含有麦锈病 种子的概率是多少？ 【知识点：几何概型；数学思想：数学抽象，数学建模】 详解： 取出 10mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为 A， 则 10 1 ( ) 1000 100 P A = = 取出种子的体积 ＝ 所有种子的体积 。 点评：病种子在这 1L 种子中的分布可以看做是随机的（符合几何概型），取得 10mL 种子可 视作区域 d，所有种子可视为区域 D.测度是体积
【知识点:几何概型;数学思想:数学抽象,数学建模】 例3在等腰直角三角形中ABC中,在斜边AB上任取一点M, 求AM小于AC的概率 B 详解:在AB上截取AC=AC.于是 AC P(AM AC)=P(AM <AC) AbAB 2 点拨:点M随机地落在线段AB上(符合几何概型),故线段AB为区域D当点M位于右下 图中线段AC内时,AM<AC,故线段AC即为区域d.测度是线段的长度。 问题探究三如何用随机模拟的方法? 在古典概型中,涉及到用随机模拟的方法求随机事件的概率,那么能否用随机模拟的方 法解一些几何概型问题呢? 例4.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于lm的 概率有多大? 【知识点:几何概型,随机模拟方法;数学思想:数学抽象,数学建模】 详解1:(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a=RAND (2)经过伸缩变换,a=a1*3 (3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N (4)计算频率fA即为概率P(A)的近似值. 详解2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里3和0重合).转动 圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2范围内)的次数N1及试验总次数N,则 fn(A)=即为概率P(A)的近似值 点拨:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且每 个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3] 上的均匀随机数,其中取得的[,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[,2]内,也就 是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3内个数之比就是事件
【知识点：几何概型；数学思想：数学抽象，数学建模】 例 3 在等腰直角三角形中 ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M， 求 AM 小于 AC 的概率. 详解： 在 AB 上截取 ' AC AC = ．于是 ' P AM AC P AM AC ( ) ( ) = ' AC AB = AC AB = 2 2 = . 点拨：点 M 随机地落在线段 AB 上（符合几何概型），故线段 AB 为区域 D.当点 M 位于右下 图中线段 ' AC 内时， AM AC ，故线段 ' AC 即为区域 d .测度是线段的长度。 问题探究三 如何用随机模拟的方法？ 在古典概型中，涉及到用随机模拟的方法求随机事件的概率，那么能否用随机模拟的方 法解一些几何概型问题呢？ 例 4. 取一根长度为 3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1m 的 概率有多大？ 【知识点：几何概型，随机模拟方法；数学思想：数学抽象，数学建模】 详解 1：（1）利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND． （2）经过伸缩变换，a=a1*3． （3）统计出[1，2]内随机数的个数 N1 和[0，3] 内随机数的个数 N． （4）计算频率 fn(A)= N N1 即为概率 P（A）的近似值． 详解 2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里 3 和 0 重合）．转动 圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数 N1 及试验总次数 N，则 fn(A)= N N1 即为概率 P（A）的近似值． 点拨：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一 个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3] 上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就 是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件
A发生的概率。 例6.在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,求这个正方形 的面积介于36cm2与81cm2之间的概率 【知识点:几何概型,随机模拟方法;数学思想:数学抽象,数学建模】 详解:(1)用计算机产生一组[0,1内均匀随机数a1=RAND (2)经过伸缩变换,a=an*12得到[O,12]内的均匀随机数 (3)统计试验总次数N和6,9内随机数个数N1 (4)计算频率 记事件A={面积介于36cm2与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间},则P(A)的近似 值为f(A= 点拨:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M, 求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率 3.课堂总结 【知识梳理】 (1)几何概型的特点 ①试验中有所有可能出现的基本事件有无穷个; ②每个基本事件出现的可能性是相等的 内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:P=9的测,记 (2)几概型的计算公式:一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其 D的测度 【重难点突破】 (1)“测度”的理解 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位 置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方 法 (2)常见的几何概型 ①线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时, ②面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把两个变量分别作为一 个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解
A 发生的概率。 例 6． 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，求这个正方形 的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率． 【知识点：几何概型，随机模拟方法；数学思想：数学抽象，数学建模】 详解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数 a1=RAND． （2）经过伸缩变换，a=a1*12 得到[0，12]内的均匀随机数． （3）统计试验总次数 N 和[6，9]内随机数个数 N1 （4）计算频率 N N1 ． 记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间}，则 P（A）的近似 值为 fn(A)= N N1 ． 点拨：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M， 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率． 3．课堂总结 【知识梳理】 （1）几何概型的特点 ①试验中有所有可能出现的基本事件有无穷个； ②每个基本事件出现的可能性是相等的 （2）几概型的计算公式: 一般地，在几何区域 D 中随机地取一点，记事件“该点落在其 内部一个区域 d 内”为事件 A，则事件 A 发生的概率： ( ) d P A D = 的测度 的测度 【重难点突破】 （1）“测度”的理解 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位 置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方 法． （2）常见的几何概型 ①线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时． ②面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一 个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解
决 4.随堂检测 1从区间()内任取两个数则这两个数的和小于的概率是 B 【知识点:几何概型】 解:D 2A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B连接A、B两点,它是一条弦它的长度大 于等于半径长度的概率为 B 【知识点:几何概型】 解:B 3已知集合A={-9-7,-5-3-102468},在平面直角坐标系x0y中,点(x,y)的坐标 x∈A,y∈A点(x,y)正好在第二象限的概率是 1 B 2 4 5 【知识点:几何概型】 解:C 4已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率为 【知识点:几何概型数学思想:数学抽象,数学建模】 解: 5.如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分, 据此估计阴影部分的面积为 解0.18由题意知,这是个几何概型问题 SE100=0.18,∵∴S正=1,∴S明=0.18 (三)课后作业 基础型自主突破 1设x是[O,1]内的一个均匀随机数经过变换y=2x+3,则x=0.5对应变换成的均匀随机数是
决． 4．随堂检测 1.从区间 (0,1) 内任取两个数,则这两个数的和小于 5 6 的概率是 A. 3 5 B. 4 5 C. 16 25 D. 17 25 【知识点：几何概型】 解： D 2.A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点 B,连接 A、B 两点,它是一条弦,它的长度大 于等于半径长度的概率为 A. 1 2 B. 2 3 C. 3 2 D. 1 4 【知识点：几何概型】 解: B 3.已知集合 A= − − − − − 9, 7, 5, 3, 1,0,2,4,6,8,在平面直角坐标系 x y 0 中,点 ( x y, ) 的坐标 x A y A , ,点 ( x y, ) 正好在第二象限的概率是 A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 2 5 【知识点：几何概型】 解：C 4.已知地铁列车每 10min 一班，在车站停１min，则乘客到达站台立即乘上车的概率为_____. 【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】 解： 11 1 5．如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为________． 解 0.18 由题意知，这是个几何概型问题，S阴 S正 ＝ 180 1 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18. （三）课后作业 基础型 自主突破 1.设 x 是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换 y=2x+3,则 x=0.5 对应变换成的均匀随机数是
A.0 B.2 C.4 D.5 【知识点:随机模拟方法】 解C:当x=0.5时y=2×0.5+3=4 2.在线段[0,3上任投一点,则此点坐标小于1的概率为() A B 【知识点:几何概型】 解:B 3.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1, 则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是() 【知识点:几何概型】 阴影面积 解B:设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A,则P(A)产长方形面积1×24 4.一个靶子如图所示,随机地掷一个飞镖扎在靶子上假设飞镖既不会落在靶心,也不会落在阴 影部分与空白的交线上现随机向靶掷飞镖30次,则飞镖落在阴影部分的次数约为() A.5 D.20 【知识点:几何概型数学思想:数学抽象,数学建模】 解B阴影部分对应的圆心角度数和为60°,所以飞镖落在阴影内的概率为,飞镖落在阴影内的 次数约为30 5.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则 可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是() 函的人 知识点:几何概型】
A.0 B.2 C.4 D.5 【知识点：随机模拟方法】 解 C :当 x=0.5 时,y=2×0.5+3=4. 2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D．1 【知识点：几何概型】 解：B 3．若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB＝2，BC＝1， 则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( ) A. π 2 B. π 4 C. π 6 D. π 8 【知识点：几何概型】 解 B：设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，则 P(A)＝ 阴影面积 长方形面积＝ 1 2 π·12 1×2 ＝ π 4 . 4．一个靶子如图所示,随机地掷一个飞镖扎在靶子上,假设飞镖既不会落在靶心,也不会落在阴 影部分与空白的交线上,现随机向靶掷飞镖 30 次,则飞镖落在阴影部分的次数约为( ) A.5 B.10 C.15 D.20 【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】 解 B:阴影部分对应的圆心角度数和为 60°,所以飞镖落在阴影内的概率为,飞镖落在阴影内的 次数约为 30× 6 1 =5. 5．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则 可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )． 【知识点：几何概型】
fa P(a)=o, P(B)8,P(c)=, P(D)=,: P(A)>P(C)=P(D)>P(B) 6.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等 可能的.如果甲船停泊时间为1h,乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待 码头空出的概率 【知识点:几何概型数学思想:数学抽象,数学建模】 解:这是一个几何概型问题 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别 为x与y,A为“两船都不需要等待码头空出”’则0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要 等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上,即y-x≥1或x-y ≥2.故所求事件构成集合A={(x,yy-x≥1或x-y≥2,x∈[0,24],y∈[0,241} A对应图中阴影部分,全部结果构成集合9为边长是24的正方形. 由几何概型定义,所求概率为 P()=4的面积_(24-1)2x+(24-2)2 g的面积 576 能力型师生共研 7.若在圆(x-2)2+(y+1)2=16内任取一点P,则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为() B C 16 【知识点:几何概型数学思想:数学抽象】 解D:所求概率为xx= 4-216 8.已知直线y=x+b,b∈[-2,3],则该直线在y轴上的截距大于1的概率是() B 2 5 【知识点:几何概型数学思想:数学抽象】 解:B
解 A P(A)＝ 3 8 ，P(B)＝ 2 8 ，P(C)＝ 2 6 ，P(D)＝ 1 3 ，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)． 6．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等 可能的．如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停泊时间为 2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待 码头空出的概率． 【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】 解：这是一个几何概型问题． 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别 为 x 与 y，A 为“两船都不需要等待码头空出”，则 0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要 等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达 1h 以上或乙比甲早到达 2h 以上，即 y－x≥1 或 x－y ≥2．故所求事件构成集合 A＝{(x，y)| y－x≥1 或 x－y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}． A 对应图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是 24 的正方形． 由几何概型定义，所求概率为 P(A)＝ 的面积 的面积 A ＝ 2 2 2 24 2 1 24－2 2 1 (24－1) +( ) ＝ 576 506.5 ＝0.879 34． 能力型 师生共研 7．若在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16 内任取一点 P，则点 P 落在单位圆 x 2＋y 2＝1 内的概率为( ). A． 2 1 B． 3 1 C． 4 1 D．16 1 【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象】 解 D：所求概率为 2 2 π 4 π 1 ＝16 1 ． 8．已知直线 y＝x＋b，b∈[－2，3]，则该直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是( ) A． 5 1 B． 5 2 C． 5 3 D． 5 4 【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象】 解：B 23 22
9b1是[0,1上的均匀随机数b=2(b1+x),则b是区间2,4]上的均匀随机数则x 【知识点:随机模拟】 解1:∵0≤b1≤1,∴2x0,16-b2>0,0,即a>2, 4<b<4 (a-2)2+b2≥16 设“方程有两个正根”为事件A,则事件A包含的基本事件为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3),共4 个 故所求的概率为P)=6=9 (2)试验的全部结果构成区域={(a,b)2≤≤6,0≤b≤4},其面积为S(Ω)=16, 设“方程无实根”为事件B,则构成事件B的区域为B={(a,b)2≤a≤6,0≤b54,(a-2)2+b2< 16},其面积为SB)=4×42=4x,故所求的概率为FB=16=4 探究型多维突破 9.一只蚂蚁在三边长分别为34,5的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶 点的距离均超过1的概率为 【知识点:几何概型数学思想:数学抽象,数学建模】 解,如图, 该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为:1+2+3=6 故所求概率为P= 122 自助餐 1把,1内的均匀随机数x分别转化为0.4]和-41]的均匀随机数yy2,需实施的变换分别为 A y1=-4x, y2=5x-4 B y1=4x-4 2=4+3 Cy1=4 y2=5x4 Dy1=4x,y2=4x+3
9.b1 是[0,1]上的均匀随机数,b=2(b1+x),则 b 是区间[2,4]上的均匀随机数,则 x= . 【知识点：随机模拟】 解 1: ∵0≤b1≤1,∴2x≤2(b1+x)≤2x+2,∵b 是[2,4]上的随机数,∴2x=2,2x+2=4,即 x=1. 10．已知关于 x 的一元二次方程 x 2－2(a－2)x－b 2＋16＝0. （1）若 a，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； （2）若 a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率． 【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】 解：（1）基本事件(a，b)共有 36 个，方程有正根等价于 a－2＞0,16－b 2＞0，Δ≥0，即 a＞2， －4＜b＜4， (a－2)2＋b 2≥16. 设“方程有两个正根”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共 4 个， 故所求的概率为 P(A)＝ 4 36＝ 1 9 . （2）试验的全部结果构成区域 Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为 S(Ω)＝16， 设“方程无实根”为事件 B，则构成事件 B 的区域为 B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b 2＜ 16}，其面积为 S(B)＝ 1 4 ×π×42＝4π，故所求的概率为 P(B)＝ 4π 16＝ π 4 探究型 多维突破 9．一只蚂蚁在三边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶 点的距离均超过 1 的概率为________． 【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】 解 1 2 , 如图， 该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的长度为：1＋2＋3＝6。 故所求概率为 P＝ 6 12＝ 1 2 . 自助餐 1.把[0,1]内的均匀随机数 x 分别转化为[0,4]和[-4,1]内的均匀随机数 y1,y2,需实施的变换分别为 ( ) A.y1=-4x,y2=5x-4 B.y1=4x-4,y2=4x+3 C.y1=4x,y2=5x-4 D.y1=4x,y2=4x+3
【知识点:随机模拟】 解C∴x∈[0,1l∴4x∈[04].5x-4∈[-4,1] 2.在区间[一兀,可内随机取出两个数分别记为a,b,则函数fx)=x2+2ax-b2+2有零点的 概率为() B.1 3 【知识点:几何概型,二次函数数学思想:数学抽象,数学建模】 解B:由函数(x)=x2+2ax-b2+m2有零点,可得=(2a2-4(-b2+2)0 整理得a2+b2≥x2, 如图所示, (a,b)可看成坐标平面上的点,试验的全部 结果构成的区域为9={(a,b)-≤a≤π,-≤b≤π},其面积Sa=(2x)2=4 事件A表示函数(x)有零点,所构成的区域为M={(a,b)a2+b2x2} 即图中阴影部分,其面积为S=42-x,故PA)=S=4二=1-x y-x-2=0 x+y=1 3由不等式组1y20, 确定的平面区域记为Ω1,不等式组 确定的平面区域 为2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在2内的概率为() A B 【知识点:几何概型,线性规划数学思想:数学抽象,数学建模】 解D:如图,平面区域Ω21就是三角形区域OAB,平面区域Ω2与平面区域Ω21的重叠部分就 是区域OACD,易知C(一,),故由几何概型的概率公式,得所求概率P 边形OACD
【知识点：随机模拟】 解 C :∵x∈[0,1],∴4x∈[0,4],5x-4∈[-4,1]. 2．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为 a，b，则函数 f(x)＝x 2＋2ax－b 2＋π 2 有零点的 概率为( ) A．1－ π 8 B．1－ π 4 C．1－ π 2 D．1－ 3π 4 【知识点：几何概型,二次函数;数学思想：数学抽象，数学建模】 解 B :由函数 f(x)＝x 2＋2ax－b 2＋π 2 有零点，可得 Δ＝(2a) 2－4(－b 2＋π 2 )≥0， 整理得 a 2＋b 2≥π2， 如图所示， (a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部 结果构成的区域为 Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面积 SΩ＝(2π)2＝4π2 . 事件 A 表示函数 f(x)有零点，所构成的区域为 M＝{(a，b)|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为 SM＝4π2－π 3，故 P(A)＝ SM SΩ ＝ 4π2－π 3 4π2 ＝1－ π 4 ， 3.由不等式组 x≤0， y≥0， y－x－2≤0 确定的平面区域记为 Ω1，不等式组 x＋y≤1， x＋y≥－2 确定的平面区域 为 Ω2，在 Ω1 中随机取一点，则该点恰好在 Ω2内的概率为( ) A. 1 8 B. 1 4 C. 3 4 D. 7 8 【知识点：几何概型，线性规划;数学思想：数学抽象，数学建模】 解 D：如图，平面区域 Ω1 就是三角形区域 OAB，平面区域 Ω2 与平面区域 Ω1 的重叠部分就 是区域 OACD，易知 C(－ 1 2 ， 3 2 )，故由几何概型的概率公式，得所求概率 P＝ S四边形OACD S△OAB ＝ 2－ 1 4 2