3.2.1古典概型(一) 、基础过关 1.下列是古典概型的是 A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件时 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件时 C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 2.一枚硬币连掷3次,有且仅有2次出现正面向上的概率为 A. B 3.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率等于 3 A. B D 4.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{,2,3}中随机选取一个数为b,则ba 的概率是 5 5.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球.从 袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率为 7.一个口袋内装有大小相等的1个白球和己编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个 球.求: (1)基本事件总数 (2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件? (3)摸出2个黑球的概率是多少? 二、能力提升 8.有五根细木棒,长度分别为1,3,5,7,9(cm),从中任取三根,能搭成三角形的概率 是()
3.2.1 古典概型(一) 一、基础过关 1．下列是古典概型的是 ( ) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将取出的正整数作为基本事件时 C．从甲地到乙地共 n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 2．一枚硬币连掷 3 次，有且仅有 2 次出现正面向上的概率为 ( ) A. 3 8 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 4 3．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于 ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 3 8 D. 1 2 4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{1,2,3}中随机选取一个数为 b，则 b>a 的概率是 ( ) A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 5．从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是________． 6．袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球，2 个白球和 3 个黑球．从 袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________． 7．一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球，从中摸出 2 个 球．求： (1)基本事件总数； (2)事件“摸出 2 个黑球”包含多少个基本事件？ (3)摸出 2 个黑球的概率是多少？ 二、能力提升 8．有五根细木棒，长度分别为 1,3,5,7,9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率 是( ) A. 3 20 B. 2 5 C. 1 5 D. 3 10
9.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等),则2名都 是女同学的概率等于 10.在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率 是 11.现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求 (1)所取的2道题都是甲类题的概率 (2)所取的2道题不是同一类题的概率 12.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为 1的小球1个,标号为2的小球n个,已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2 的小球的概率是二 (1)求n的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次 取出的小球标号为b.记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率. 三、探究与拓展 13.编号分别为A,A,…,A6的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下 运动员编号A4A444A 得分 1535|21 2825361834 运动员编号AA。A:A2 A A 得分 1726 25 12 31 (1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格 区间[10,20) [20,30) 30,40] 人数 (2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人 ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果: ②求这2人得分之和大于50的概率
9．从三男三女共 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的概率均相等)，则 2 名都 是女同学的概率等于________． 10．在 1,2,3,4 四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的 2 倍的概率 是 ________． 11．现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答．试求： (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率； (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率． 12．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1 的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个．已知从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号是 2 的小球的概率是1 2 . (1)求 n 的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次 取出的小球标号为 b.记事件 A 表示“a＋b＝2”，求事件 A 的概率． 三、探究与拓展 13．编号分别为 A1，A2，…，A16的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下： 运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 (1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格. 区间 [10,20) [20,30) [30,40] 人数 (2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人， ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这 2 人得分之和大于 50 的概率．
1.答案C 解析A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是:B项中的基本事件是无限 的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中基本事件既不是有 限个也不具有等可能性,故D不是 2.答案A 解析所有的基本事件是(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反), (反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共有8个,仅有2次出现正 面向上的有:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),共3个·则所求概率为 3.答案C 解析所有可能的结果是(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正), (正,反,反),(反,反,正),(反,正,反),(反,反,反)共8种,出现一枚正面,二枚 反面的情况有3种,故概率为P= 4答案D 解析设所取的数中ba为事件A,如果把选出的数a,b写成一数对(a,b)的形式,则 基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、 (4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3),共15个,事件A包含的基本事件有(1,2)、(1,3)、 (2,3),共3个,因此所求的概率P(A=1= 答案 解析从5个数中任意取出两个不同的数,有10种,若取出的两数之和等于5,则有 (1,4),(2,3),共有2种,所以取出的两数之和等于5的概率为 2 答案 解析设袋中红球用a表示,2个白球分别用b,b表示,3个黑球分别用c,c,a表 示,则从袋中任取两球所含基本事件为(a,b),(a,b),(a,c),(a,c),(a,a),(b ),(b,a),(b,a),(b,a),(b2,a),(b,c),(b,a),(a,c),(a,a),( ),共15个 两球颜色为一白一黑的基本事件有: (b,c),(b,c2),(b,c3),(b,),(b,c),(b2,c3),共6个 ∴其概率 7.解由于4个球的大小相等,摸出每个球的可能性是均等的,所以是古典概型
1.答案 C 解析 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故 A 不是；B 项中的基本事件是无限 的，故 B 不是；C 项满足古典概型的有限性和等可能性，故 C 是；D 项中基本事件既不是有 限个也不具有等可能性，故 D 不是． 2.答案 A 解析所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)， (反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有 8 个，仅有 2 次出现正 面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共 3 个．则所求概率为3 8 . 3.答案 C 解析 所有可能的结果是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)， (正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，反，反)共 8 种，出现一枚正面，二枚 反面的情况有 3 种，故概率为 P＝ 3 8 . 4.答案 D 解析 设所取的数中 b>a 为事件 A，如果把选出的数 a，b 写成一数对(a，b)的形式，则 基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、 (4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)，共 15 个，事件 A 包含的基本事件有(1,2)、(1,3)、 (2,3)，共 3 个，因此所求的概率 P(A)＝ 3 15＝ 1 5 . 5.答案 1 5 解析 从 5 个数中任意取出两个不同的数，有 10 种，若取出的两数之和等于 5，则有 (1,4)，(2,3)，共有 2 种，所以取出的两数之和等于 5 的概率为 2 10＝ 1 5 . 6.答案 2 5 解析 设袋中红球用 a 表示，2 个白球分别用 b1，b2 表示，3 个黑球分别用 c1，c2，c3 表 示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1， b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2， c3)，共 15 个． 两球颜色为一白一黑的基本事件有： (b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共 6 个． ∴其概率为 6 15＝ 2 5 . 7.解 由于 4 个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．
(1)将黑球编号为黑1,黑2,黑3,从装有4个球的口袋内摸出2个球,所有基本事件构 成集合={(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白)}, 其中共有6个基本事件 (2)事件“摸出2个黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共3个基本事件 (3)基本事件总数n=6,事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m=3,故P=2 8.答案D 解析设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A,任取三根木棒按长度不同共有1 5,1、3、7,1、3、9,1、5、7,1、5、9,1、79,3、5、7,3 3、7、9,5、7、9共10种 情况,由于三角形两边之和大于第三边,构成三角形的只有3、5、7,3、7、9,5、7、9三种 情况,故所求概率为P0=10 9.答案 解析用A,B,C表示三名男同学,用a,b,c表示三名女同学,则从6名同学中选出 2人的所有选法为AB,AC,Aa,Ab,Ae,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,CC,ab,ac,bc, 故所求的概率为 10.答案4 解析用列举法知,可重复地选取两个数共有16种可能,其中一个数是另一个数的 倍的有1,2;2,1;2,4:4,2共4种,故所求的概率为=1 11.解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4:2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题, 基本事件为{1,2},{1,3},(1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4} {3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15个,而且这些基本事件的出现是等可能的 用A表示“都是甲类题”这一事件,则A包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3}, {2,4},{3,4},共6个,所以P(A 62 (2)基本事件同(1),用B表示“不是同一类题”这一事件,则B包含的基本事件有{1,5}, 1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共8个,所以P(B 8 15 12.解(1)由题意可知:1+1+=2,解得n=2 (2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21), (1,2),(21.0),(21),(212),(20),(21),(21),共12个,事件A包含的基本事件 为(0,21),(0,2),(2.0),(220),共4个
(1)将黑球编号为黑 1，黑 2，黑 3，从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球，所有基本事件构 成集合Ω＝{(黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)，(黑 1，白)，(黑 2，黑 3)，(黑 2，白)，(黑 3，白)}， 其中共有 6 个基本事件． (2)事件“摸出 2 个黑球”＝{(黑 1，黑 2)，(黑 2，黑 3)，(黑 1，黑 3)}，共 3 个基本事件． (3)基本事件总数 n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数 m＝3，故 P＝ 1 2 . 8.答案 D 解析 设取出的三根木棒能搭成三角形为事件 A，任取三根木棒按长度不同共有 1、3、 5,1、3、7,1、3、9,1、5、7,1、5、9,1、7、9,3、5、7,3、5、9,3、7、9,5、7、9 共 10 种 情况，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的只有 3、5、7,3、7、9,5、7、9 三种 情况，故所求概率为 P(A)＝ 3 10. 9.答案 1 5 解析 用 A，B，C 表示三名男同学，用 a，b，c 表示三名女同学，则从 6 名同学中选出 2 人的所有选法为 AB，AC，A a，Ab，Ac，BC，Ba，B b，B c，Ca，Cb，Cc，ab，ac，b c， 故所求的概率为 3 15＝ 1 5 . 10.答案 1 4 解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有 16 种可能，其中一个数是另一个数的 2 倍的有 1,2；2,1；2,4；4,2 共 4 种，故所求的概率为 4 16＝ 1 4 . 11.解 (1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4；2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题， 基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}， {3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的． 用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}， {2,4}，{3,4}，共 6 个，所以 P(A)＝ 6 15＝ 2 5 . (2)基本事件同(1)，用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有{1,5}， {1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共 8 个，所以 P(B)＝ 8 15. 12.解 (1)由题意可知： n 1＋1＋n ＝ 1 2 ，解得 n＝2. (2)不放回地随机抽取 2 个小球的所有基本事件为(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)， (1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共 12 个，事件 A 包含的基本事件 为(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共 4 个．
41 ∴P(A 解(1)4,6,6. (2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A,A,A,A0,A1,A,从中随机抽取2 人,所有可能的抽取结果有:{A3,A},A,A},A3,A0},{A3,A},{A3,A3},{A,4}, {A,Ao},{A,A},{A,A3},{,A},{A,A},{A,A},{Ao,An},{Ao,Aa},{A1, A3},共15种 ②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为 事件B的所有可能结果有:{A,},{A,A},{A,A1},{A4,A},{A,A},共5种. 所以P(b= 15
∴P(A)＝ 4 12＝ 1 3 . 13.解 (1)4,6,6. (2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为 A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取 2 人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}， {A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11， A13}，共 15 种． ②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人，这 2 人得分之和大于 50”(记为 事件 B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共 5 种． 所以 P(B)＝ 5 15＝ 1 3