西安电子科技大学：《大学物理》课程教学讲义（上）11 角动量定理和角动量守恒定律

第6节角动量定理和角动量守恒定律 一、质点对固定点的 定义：质点对O点的角动量（动量矩 合外力F L=FxP L=rP sin o=rmVsin o, kgm2s-1,ML2T-1 定义：力F对O点的力矩：M=F×F M=rFsin0 L-Gx=而xP+FxB=PxmP+Fx厅 dt di dt F×F:合外力矩M d - 质点角动量定理 dL Mdt Md:元冲量矩 A-Mdr d:冲量矩，Mms,M2T- 如果合外力矩M=0 =0三i=T×P=C:角动量守恒定律 dt 例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点A和O,讨论 小球受到的张力矩，重力矩 合力矩和角动量 对A:Mr=R×T=0, MG=R×G≠0 M=Mr+MG≠0， G=mg i,=R×mf不守恒 对O:Mr=F×T≠0，MG=F×G≠0 M=M,+MG=F×(T+G)=0 。=r×m守恒

1 第 6 节 角动量定理和角动量守恒定律 一、 质点对固定点的～ 定义：质点对 O 点的角动量(动量矩) 合外力 F  L  = r   P  S L = rP sin  = rmV sin  ， O  2 −1 kgm s ， 2 −1 ML T r  m 定义：力 F  对 O 点的力矩： M  = r   F  V  M = rF sin V mV r F dt dP P r dt dr r P dt d dt dL            = (  ) =  +  =  +  r F    ：合外力矩 M  M dt dL   = ：质点角动量定理 dL Mdt   = Mdt  ：元冲量矩   = 2 1 t t L Mdt    2 1 t t Mdt  ：冲量矩， Nms， 2 −1 ML T 如果合外力矩 M  =0 = 0 dt dL   L r P C     =  = ：角动量守恒定律 A 例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点 A 和 O ，讨论 LA  LO  T  小球受到的张力矩，重力矩 合力矩和角动量 对 A ： MT R T    =  =0， m r  O MG R G    =   0 V  M  = MT  + MG   0， G mg   = LA R mV    =  不守恒 对 O ： MT r T    =   0， MG r G    =   0 M  = MT  + MG  = r (T G)     + =0 LO r mV    =  守恒  R 

例：证明开普勒第二定律 “从恒星到行星的矢径在相同 dh m 的时间内扫过相同的面积” 证：合外力矩M=F×F=0 角动量i=F×md=C FxV=C',rVsin o=C' dh,面积d4=rdh=dssno 2dsmp=2Ψsmp=C'12:常数 dA 1 ds. 1 二、质点系对固定点的 m,:动量：卫=m, 角动量，=×P 定义：质点系对O点的角动量 i-∑i,-∑×月 亚-∑东x月+∑万× 2 dt dt =∑7，×卫+∑×（匠+） =∑×5+∑×方 ∑×项=M外：合外力矩 ∑×：合内力矩，∑×0 L-M"t d 质点系角动量定理 dL=外d山 A-a 如果合外力矩M外=0 -0→i=∑i,=C:角动量守恒定律 dt 例：两只猴子，质量相同，距地面高度相同 一只猴子向上爬，另一只猴子不爬， 请问，哪只猴子先到达滑轮？ 1m mg mg 解：角动量守恒：RmV-RmV,=0 =V2,同时达到滑轮 2

2 例：证明开普勒第二定律  “从恒星到行星的矢径在相同 r  m ds 的时间内扫过相同的面积” F  dA 证：合外力矩 M  = r   F  =0 V  角动量 L  = r  mV   =C  M r  V   =C  ， rV sin  =C dt ，面积 sin  2 1 2 1 dA = rdh = rds sin  2 1 dt ds r dt dA = = sin / 2 2 1 rV  = C ：常数 二、质点系对固定点的～ mi ：动量： Pi miVi   = z Fi  角动量 i i Pi L r    =  m1 i f  定义：质点系对 O 点的角动量 1 r  mi Vi  =  i =  i  Pi L L r     i r  mn =   +  dt dP P r dt dr dt dL i i i i      n r  =  + ( + ) i i i i i V P r F f      = i  i + i  i r F r f     外 ri Fi M      = ：合外力矩  i  i r f   ：合内力矩，  i  i r f   =0 外 M dt dL   = ：质点系角动量定理 dL M dt 外   =   = 2 1 t t L M dt 外   如果合外力矩 外 M  =0 = 0 dt dL   L = Li = C    ：角动量守恒定律 N 例：两只猴子，质量相同，距地面高度相同 V1 O V2 一只猴子向上爬，另一只猴子不爬， 请问，哪只猴子先到达滑轮？ m m mg mg 解：角动量守恒： RmV1 − RmV2 =0 V1 =V2 ，同时达到滑轮 x O y R dr  dh

三、刚体对定轴的~ △m,对z轴的角动量 乙=方×p=元×△m, Fx△m,=rAm,'=Am,o 乙=△m,2o, △m 刚体对：轴的角动量 i=∑Amō=l6, 亚-（=1o=i=M dt dt dt d =M:角动量定理 dt dL Mdt -f Nidr 如果M=0,则i=C:角动量守恒定律 非刚体，I一般随时间变化，M=不成立 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 定轴转动 ,d=M,dl=Mh,△L=jM dt L=C,L=I@,M=IB 演示实验 例：水平面内，均质杆（M,1) 子弹(m,V)击穿杆的 自由端后速度降为V/2 求：杆转动的角速度o 解：角动量守恒 V. 3m/ m7=m51+,Mo,o= 3 2MI 例：r4=0.2m,m4=2kg 0A @OB @oa 50rads-1 ra =0.Im,mg =4kg @oB 200rads-1 求：AB对心衔接后 共同的角速度o, A、B受到的冲量矩，机械能损失。 解：1o4+los=U,+1g0,14=2m,la= 2

3 三、刚体对定轴的~ z mi 对 z 轴的角动量  i i i i miVi L r P r      =  =  ri miVi =    2 i i i i i r m V = m r O i r  Vi  Li  =  2  i i m r ， mi 刚体对 z 轴的角动量 O y L  =     m r I  i i = 2 ， x Iβ M dt dω Iω I dt d dt dL      = ( ) = = = M dt dL   = ：角动量定理 dL Mdt   =   = 2 1 t t L Mdt   如果 M = 0  ，则 L C   = ：角动量守恒定律 非刚体， I 一般随时间变化，    M = I 不成立 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 定轴转动， M dt dL = ，dL = Mdt ，   = 2 1 t t L Mdt L = C ， L = I， M = I 演示实验 例：水平面内，均质杆（ M ，l ）  V / 2 子弹（ m，V ）击穿杆的 O M l 自由端后速度降为 V / 2 求：杆转动的角速度  m V 解：角动量守恒  2 3 1 2 l Ml V mVl = m + ， Ml mV 2 3  = 例： rA = 0.2m， mA = 2kg 0 A 0B  1 0 50 − = rads  A rB = 0.1m， mB = 4kg 1 0 200 − = rads  B 求： A B 对心衔接后 共同的角速度  ， A B A、 B 受到的冲量矩，机械能损失。 解： I A0A + I B0B = (I A + I B ) ， 2 2 1 A A A I = m r ， 2 2 1 B B B I = m r

0=140+1e0oe=100ras- 14+I8 M di=AL=1-100=2Nms Mudt=ALg=Ig-Ig0o8=-2Nms =,+12-o-,oi=-l150 如此衔接，角动量守恒吗？ 注意： 1、和M必须对同一固定点或同一固定轴 2、只适用于惯性系 3、单个质点，合力矩=力矩的和=合力的力矩 质点系及刚体，合力矩=力矩的和≠合力的力矩 4、角动量守恒的充要条件是M外=0，不是[M外d山=0 质点系的内力： ∑i=0,∑j=0,∑M,内-0，∑M,内dt=0 ∑方·d正≠0，对于刚体∑j·d而=0 例：人沿转台边缘相对转台跑动一周 M 求：相对于地面，人和转台各转过多少 0 角度？ 解：mR2a-MR'22=0,2m0=2 2 m adt=M∫2d 2m0=M⊙，0+⊙=2π 2m0=M(2π-0) 0= 2πM ⊙= Anm M+2m' M+2m 4

4 0 0 1 100 − = + + = rads I I I I A B A A B B  M dt L I I Nms A A A A t t A 0 2 2 1 =  = − =    M dt L I I Nms B B B B t t B 0 2 2 1 =  = − = −    E I I I I J A B A A B B 150 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 0 2 0 2  = +  −  −  = − 如此衔接，角动量守恒吗？ 注意： 1、 L  和 M  必须对同一固定点或同一固定轴 2、只适用于惯性系 3、单个质点， 合力矩=力矩的和=合力的力矩 质点系及刚体，合力矩=力矩的和  合力的力矩 4、角动量守恒的充要条件是 外 M  =0，不是  = 2 1 0 t t M dt 外  质点系的内力：  f i = 0  ，  f idt = 0  ，  内 M i  =0，  dt 内 M i  =0  f i  dri  0   ，对于刚体  f i  dri = 0   例：人沿转台边缘相对转台跑动一周 R M 求：相对于地面，人和转台各转过多少  角度？ m A  解： 0 2 2 1 2 mR  − MR  = ， 2m = M  =   t t m dt M dt 0 0 2  A 2m = M， + = 2   2m = M (2 − ) M m M 2 2 + =   ， M m m 2 4 +  = 

例：均质杆可在竖直平面内转动 求：杆与木块完全非弹性碰撞后 木块滑行的距离，（μ） 解：第一阶段：机械能守恒 1/2 0- .号M2o2+(-Mg2) a= 3g 第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 号Mo-写na+mn=传M+mw,P=ol 3 v= Mol M √3g M+3m M+3m 第三阶段：木块匀减速运动 a=上=mS=4g mm S= =、42. 31 2a M+3m 2u 或-=0-以 1 mV2 1 M -m(- 3gl 2M+3m 1 =( M. Limg M+3m 24 关于物体的碰撞： 动量守恒 动量守恒 角动量守恒 5

5 例：均质杆可在竖直平面内转动 求：杆与木块完全非弹性碰撞后 O 木块滑行的距离，（  ） M l 解：第一阶段：机械能守恒 l / 2 ) 2 ( 3 1 2 1 0 2 2 l =  Ml  + −Mg m l 3g  = 第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） Ml  = Ml  + mVl 2 2 3 1 3 1 = M m)lV 3 1 ( + ，V =l gl M m M M m M l V 3 3 + 3 = + =  第三阶段：木块匀减速运动 g m mg m f a   = = = 2 3 ) 3 ( 2 2 2 l M m M a V s  + = = 或 2 2 1 − fs = 0 − mV  2 3 ) 3 ( ) 3 3 ( 2 1 2 1 2 2 2 l M m M mg gl M m M m f mV s  + = + = = 关于物体的碰撞： 动量守恒 动量守恒 角动量守恒